课下巩固精练卷(18) 函数的零点与方程的解（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

课下巩固精练卷(十八)　函数的零点与方程的解 【基础巩固题】 1．(2024·天津红桥一模)函数f(x)＝ex＋2x－6的零点所在的区间是(　　 ) A．(3，4) B．(2，3) C．(1，2) D．(0，1) 解析：选C.函数f(x)＝ex＋2x－6是R上的连续增函数，∵f(1)＝e－4＜0，f(2)＝e2－2＞0，可得f(1)f(2)＜0，∴函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)． 2．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(0，3) B．(1，3) C．(1，2) D．[2，＋∞) 解析：选A.因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增， 由函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内得，f(1)·f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)<0，解得0<a<3. 3．若函数f(x)＝ln x－a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为(　　 ) A． B． C．(0，1) D． 解析：选A.由题意可知，函数f(x)＝ln x－a在区间(1，e)上为增函数，故f(1)＝ln 1－1＋a＜0，f(e)＝ln e－a＞0，解得－2＜a＜2. 4．(人教A版必修一P160)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为(　　 ) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．b>a>c 解析：选B. 由h(x)＝x3＋x＝0得x＝0，∴c＝0， 由f(x)＝0得2x＝－x，由g(x)＝0得log2x＝－x. 在同一平面直角坐标系中画出y＝2x、y＝log2x、y＝－x的图象， 由图象知a<0，b>0，∴a<c<b. 5．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a，b，c，d∈N*)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道＝2.236 067…，令<<，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即<<，若每次都取最简分数，则用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为(　　 ) A．五 B．四 C．三 D．二 解析：选A.第一次用“调日法”后得<<，不符合题意； 第二次用“调日法”后得<<，不符合题意； 第三次用“调日法”后得<<，不符合题意； 第四次用“调日法”后得<<，不符合题意； 第五次用“调日法”后得<<，且<0.01，符合题意， 即用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为五． 6．(2024·安徽名校联考)已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线，且f(x＋2)＋f(x)＝f(1)，f(x)在[0，2]上单调递增，则f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为(　　 ) A．100 B．102 C．200 D．202 解析：选A.令x＝－1，得f(1)＋f(－1)＝f(1)， 即f(－1)＝0， 因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝0， 则f(x＋2)＋f(x)＝f(1)＝0， 则f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的函数． 因为f(x)在[0，2]上单调递增， 则f(x)在[－2，0]上单调递减， 所以f(x)在一个周期内有两个零点， 故f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为50×2＝100. 7．(多选)下列函数在区间(－1，3)内存在唯一零点的是(　　 ) A．f(x)＝x2－2x－8 B．f(x)＝－2 C．f(x)＝2x-1－1 D．f(x)＝1－ln (x＋2) 解析：选BCD.对于A，∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4，∴f(x)在区间(－1，3)内没有零点，故A错误； 对于B，∵f(x)＝－2在[－1，＋∞)上为增函数，且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故B正确； 对于C，∵f(x)＝2x-1－1在R上为增函数，且f(－1)＝－<0，f(3)＝3>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故C正确； 对于D，∵f(x)＝1－ln (x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln 5<0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故D正确． 8．(多选)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，若函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)(a>0且a≠1)在(－1，7)上恰有4个不同的零点，则实数a的值可以是(　　 ) A．log32 B．log32 C．3log23 D．9log23 解析：选AD.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数， 当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1， ∴当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]， ∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1， 即当x∈[－1，0]时，f(x)＝－2－x＋1， 又对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)， 则f(x)的图象关于直线x＝1对称， 且f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)， ∴f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)是以4为周期的函数， 又由函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)(a>0且a≠1)在(－1，7)上恰有4个不同的零点， 得函数y＝f(x)与y＝loga(x＋2)的图象在(－1，7)上有4个不同的交点， 又f(1)＝f(5)＝1，f(－1)＝f(3)＝f(7)＝－1， 当a>1时，由图可得loga(5＋2)<1＝logaa，解得a>7； 当0<a<1时，由图可得loga(7＋2)>－1＝logaa-1，解得0<a<. 综上可得a∈∪(7，＋∞)， 故选项A，D满足条件． 9．设正实数a，b，c分别满足a·2a＝b·log3b＝c·log2c＝1，则a，b，c的大小关系为________． 解析：由已知可得＝log3b，＝log2c， 作出y＝，y＝2x，y＝log3x，y＝log2x的图象如图所示， 则y＝2x，y＝log3x，y＝log2x的图象与y＝的图象的交点的横坐标分别为a，b，c， 由图象可得b>c>a. 答案：b>c>a 10．(2007·广东高考)已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围． 解：①函数在区间[－1，1]上只有一个零点， 此时 或解得1≤a≤5. ②函数在区间[－1，1]上有两个零点， 此时解得a≥5. 综上所述，如果函数在区间[－1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为[1，＋∞)． 【综合应用题】 11．(2024·安庆模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－|x2－kx|恰有3个零点，则实数k的取值范围是(　　 ) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1]∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪[1，＋∞) 解析：选A.由题意得，方程＝|x－k|有三个不相等的实数根． 而y＝ 分别作出函数y＝和y＝|x－k|的图象， 当k＝1时，y＝|x－1|； 当x≥1时，y＝＝ln x，对其求导得y′＝所以x＝1＝1，所以曲线y＝ln x在点(1，0)处的切线方程为y＝x－1， 如图，直线y＝x－1与曲线y＝ln x在点(1，0)相切． 所以k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 12．如果关于x的方程2x＋3x＋4x＝ax(a∈N*)在区间(1，2)内有解，则a的一个取值可以为________． 解析：因为2x＋3x＋4x＝ax在(1，2)内有解，故a>4，方程2x＋3x＋4x＝ax可化为－1＝0， 令f(x)＝－1， 因为a>4，所以f(x)在R上单调递减， 所以即 解得<a<9， 又a∈N*，所以a＝6或a＝7或a＝8. 答案：6(答案不唯一) 13．已知函数f(x)＝(λ∈R)，若函数f(x)恰有2个零点，则实数λ的取值范围是______． 解析：作出函数y＝x－5，y＝x2－6x＋8的图象，如图所示， 依题意f(x)＝有2个零点， 由图象可得实数λ的取值范围是(2，4]∪(5，＋∞)． 答案：(2，4]∪(5，＋∞) 14．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a＞2c＞2b.求证： (1)a＞0且－3＜＜－； (2)函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点． 证明：(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－， ∴c＝－a－b. ∵3a＞2c＝－3a－2b，∴3a＞－b. ∵2c＞2b，∴－3a＞4b. 若a＞0，则－3＜＜－； 若a＝0，则0＞－b，0＞b，不成立； 若a＜0，则＜－3，＞－，不成立． 综上，a＞0且－3＜＜－. (2)f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c，f(1)＝－， Δ＝b2－4ac＝b2＋4ab＋6a2＝(b＋2a)2＋2a2＞0. 当c＞0时，f(0)＞0，f(1)＜0，∴f(x)在(0，2)内至少有一个零点； 当c＝0时，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＝4a＋2b＝a＞0，∴f(x)在(0，2)内至少有一个零点； 当c＜0时，f(0)＜0，f(1)＜0，b＝－a－c，f(2)＝4a－3a－2c＋c＝a－c＞0，∴f(x)在(0，2)内至少有一个零点． 综上，f(x)在(0，2)内至少有一个零点． 15．(2024·天水模拟)已知函数f(x)＝log2(2＋x)－log2(2－x)． (1)判断f(x)的奇偶性； (2)若关于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)为奇函数，理由如下： 由题意得解得－2<x<2，即函数f(x)的定义域为(－2，2)，故定义域关于原点对称． 又f(－x)＝log2(2－x)－log2(2＋x)＝－f(x)， 故f(x)为奇函数． (2)由f(x)＝log2(a＋x)， 得log2(2＋x)－log2(2－x)＝log2(a＋x)， 所以＝a＋x，所以a＝＋(2－x)－3， 故方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根可转化为方程a＝＋(2－x)－3在区间(－2，2)上有两个不同的实数根， 即函数y＝a与y＝＋(2－x)－3在区间(－2，2)上的图象有两个交点． 设t＝2－x，x∈(－2，2)，则y＝＋t－3，t∈(0，4)． 作出函数y＝＋t－3，t∈(0，4)的图象，如图所示． 当1<a<2时，函数y＝a与y＝＋t－3，t∈(0，4)的图象有两个交点，即关于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根， 故实数a的取值范围是(1，2)． 学科网（北京）股份有限公司 $