2.8 指数与指数函数（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与指数函数”专题，依据课标要求和高考评价体系，系统梳理指数幂运算、指数函数概念图象及性质等核心考点，通过分析近五年高考真题，明确指数幂化简、函数单调性应用、图象交点问题等常考题型，构建“知识梳理-题型探究-真题演练”的备考体系。 课件亮点在于“真题驱动+技巧提炼”，如结合2024深圳质检题解析指数函数图象翻折问题，总结比较大小的“中间量法”“分类讨论法”等解题技巧，培养学生的运算能力和逻辑思维。特设“易错陷阱警示”，帮助学生规避根式性质误用等常见错误，教师可据此精准定位复习重点，助力学生高效突破考点。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第二章 函数 01 2.8 指数与指数函数 [课标要求] 1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．　 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．　 3.能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(十四) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(十四) 指数与指数函数 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 感谢观看 【必备知识】 1．指数 (1)n次方根与分数指数幂 ①a的n次方根：一般地，如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. ②根式：式子叫做根式，这里n叫做 ，a叫做 ． xn＝a 根指数 被开方数 -a (2)根式的性质(n>1，且n∈N*) ①n＝ ； ②n为奇数时， ＝ ； ③n为偶数时， ＝ ＝ a a a |a| (3)分数指数幂 正数的正分数指数幂 规定＝ (a>0，m，n∈N*，n>1) 正数的负分数指数幂 规定＝ (a>0，m，n∈N*，n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂没有意义 0 (4)指数幂的运算性质 ①aαaβ＝ (a>0，，β∈R)． ②(aɑ)β＝ (a>0，，β∈R)． ③(ab)ɑ＝ (a>0，b>0，∈R)． aɑ+β aɑβ aɑbɑ 2．指数函数 (1)概念 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是 ． (2)图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 R 0<y<1 0<y<1 y>1 增函数 减函数 y＝ax a>1 0<a<1 定义域 R 值域 性质 过定点 当x>0时， ；当x<0时， 当x>0时， ；当x<0时， 在(－∞，＋∞)上是 在(－∞，＋∞)上是 (0，＋∞) (0，1) y>1 【必记结论】 1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象应抓住三个关键点：(0，1)，(1，a)，. 2．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大(小)． 3．指数函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1) ＝－4.(　　 ) (2)函数y＝－1的值域是(0，＋∞)．(　　 ) (3)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　 ) (4)n＝a.(　　 ) × × × √ 2．设a>0，m，n是正整数，且n>1，下列式子：①；②a0＝1；③.其中正确的个数是(　　 ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选A.∵a＞0，m，n是正整数，且n＞1，∴，①正确，显然a0＝1，②正确，而，③正确． 3．已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　　 ) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b 解析：选C.因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a. 4．计算：＋(π－1)0－＝________． 解析：原式＝3＋1－3-2＝3-2＋1－3-2＝1. 答案：1 5．函数y＝2x+1的图象是(　　 ) 解析：选A.由y＝2x向左平移一个单位得到y＝2x+1，底数2>1，是增函数，所以A正确． 题型一　指数幂的运算 【例1】　 (1)(人教A版必修一P107)计算下列各式(式中字母均是正数)： ①； ②； ③. 解：＝4ab0＝4a. ②8＝m2n-3＝. ③－a. (2)计算：. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝. 思维升华　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 【对点练习】　1.(1)(多选)下列计算正确的是(　　 ) A． B．－0＝1 C． D．已知x2＋x-2＝2，则x＋x-1＝2 解析：选BC.对于A，≠，所以A错误； 对于－0＝－1＝1，所以B正确； 对于C，，所以C正确； 对于D，因为(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝4，所以x＋x-1＝±2，所以D错误． (2)(人教A版必修一P110)①已知10m＝2，10n＝3，则的值为_________； ②已知a2x＝3，则的值为_________． 解析：①原式＝. ②原式＝ ＝a2x－1＋a-2x＝3－1＋. 答案：①　② 题型二　指数函数的图象及应用 【例2】　　(1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是(　　 ) A．a<b 　　 B．若a<0，则b<a<0 C．|a|<|b| 　　 D．若0<a<log32，则ab<ba 解析：选BCD.如图，由指数函数的图象可知，0<a<b或者b<a<0，所以A错误，B，C正确； D选项中，0<a<log32⇒0<a<b<1，则有ab<aa<ba，所以D正确． (2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是______． 解析：在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示． ∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点． ∴实数b的取值范围是(0，2)． 答案：(0，2) (3)(人教A版必修一P120)已知函数f(x)＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交． ①求该函数的解析式，并画出图象； ②判断该函数的奇偶性和单调性． 解：①由题意知，a＋b＝0，b＝2，∴a＝－2， ∴f(x)＝－2＋2， ∴f(x)＝图象如图． ②∵f(x)＝－2＋2， ∴f(－x)＝－2＋2＝－2＋2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数， 又f(x)＝ ∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数． 思维升华　指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除； (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到，特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 【对点练习】　2.(1) (多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b的取值范围可能为(　　 ) A．0<a<1，b<0 B．0<a<1，0<b≤1 C．a>1，b<0 D．a>1，0<b≤1 解析：选ABC.若0<a<1，则函数y＝ax的图象如图所示， 要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b>0或－1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A，B正确； 若a>1，则函数y＝ax的图象如图所示，要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b>0，解得b<0，故C正确，D错误． (2)(2024·深圳质检)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个交点，则a的取值范围是________． 解析：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，保持x轴上及其上方的图象不变得到的． 当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不符合题意； 当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，即0＜a＜. 综上可知，a的取值范围是. 答案： 题型三　指数函数性质的应用 角度1　比较指数式的大小 【例3】　(1)(2024·苏州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是(　　 ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞c＞b 解析：选B.∵函数y＝0.3x在R上是减函数， ∴0＜0.30.7＜0.30.3＜0.30＝1， 又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，0.3＜0.7， ∴0＜0.30.3＜0.70.3，∴0＜a＜b＜1，而函数y＝1.2x是R上的增函数， ∴c＝1.20.3＞1.20＝1，∴c＞b＞a. (2)(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　　 ) A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 解析：选A.令g(x)＝－(x－1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x＝1， ∵＝， 且>>， ∴>>， ∴g>g>g， 又y＝ex为增函数，故f>f>f，即b>c>a. 方法指导　比较指数式大小的四种方法 (1)直接法：当指数式的底数相同时，直接运用指数函数的单调性比较； (2)转化法：当指数式的底数不同时，利用幂的运算法则将底数化为相同； (3)中间量法：若指数式的底数不同且不能化为同底，可利用中间量“1”进行比较； (4)分类讨论法：当指数式的底数含参数时，需讨论底数与“1”的大小关系以确定单调性再比较． 角度2　解简单的指数方程或不等式 【例4】　(1)已知p：ax<1(a>1)，q：2x+1－x<2，则p是q的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.∵ax<1，当a>1时，y＝ax是增函数，∴p：{x|x<0}． 对于不等式2x+1<x＋2，作出函数y＝2x+1与y＝x＋2的图象，如图所示． 由图象可知，不等式2x+1<x＋2的解集为{x|－1<x<0}，∴q：{x|－1<x<0}． 又∵{x|－1<x<0}⊆{x|x<0}， ∴p是q的必要不充分条件． (2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． 解析：当a＜1时，41-a＝21，解得a＝；当a＞1时，2a－(1-a)＝4a-1，无解．故a的值为. 答案： 思维升华　(1)解指数方程的依据 af(x)＝ag(x)(a＞0，且a≠1)⇔f(x)＝g(x). (2)解指数不等式的思路方法 ①对于形如ax＞ab(a＞0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； ②对于形如ax＞b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解． 角度3　指数函数性质的综合应用 【例5】　已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)是奇函数． (1)求a的值； (2)若∀x∈[1，2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝， 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 即， 所以＝0， 即＋1＝0，解得a＝－1. (2)由(1)知a＝－1，所以f(x)＝－2x，x∈[1，2]， 所以， 所以m≥＋2x，x∈[1，2]， 令t＝2x，t∈[2，4]， 设y＝＋2x，则y＝t＋，t∈[2，4]， 由于y＝t＋在[2，4]上单调递增， 所以m≥4＋. 所以实数m的取值范围是. 思维升华　涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 解析：选D.∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb　(*)， 令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数， (*)式即为f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0. 【对点练习】　3.(1)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是(　　 ) A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0 (2)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为________． 解析：当a>1时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递增， 由题意可得，f(2)－f(1)＝a2－a＝， 解得a＝或a＝0(舍去)； 当 0<a<1时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递减， 由题意可得，f(1)－f(2)＝a－a2＝， 解得a＝或a＝0(舍去)， 综上所述，a＝或 a＝. 答案：或 (3)(2024·泸州诊断)已知函数f(x)＝ex－，若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是________． 解析：因为f(x)＝ex－，定义域为R， f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)， 所以f(x)＝ex－为奇函数． 又因为f(x)＝ex－在R上为增函数， 所以f(a－2)＋f(a2)≤0⇒f(a－2)≤－f(a2)⇒f(a－2)≤f(－a2)， 即a－2≤－a2，则a2＋a－2≤0， 解得－2≤a≤1. 答案：[－2，1] 【基础巩固题】 1．若m＝，n＝，则m＋n的值为(　　 ) A．－7 B．－1 C．1 D．7 解析：选C.m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1. 2．(2024·四川模拟预测)设a＝0.50.4，b＝0.41.1，c＝1.10.5 ，则(　　 ) A．a<c<b B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c 解析：选D.因为指数函数y＝0.5x是单调减函数，所以0.51.1<0.50.4<0.50＝1， 又由幂函数y＝x1.1在(0，＋∞)上是单调增函数，所以1＝11.1>0.51.1>0.41.1， 又因为指数函数y＝1.1x是单调增函数，所以1.10.5>1.10＝1， 综上可得：b<a<c. 3．已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.y＝ax(a>1)是增函数，经过点(0，1)， 因为a>1，所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1) 的图象向下平移超过1个单位长度得到， 所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示． 故函数f(x)的图象不经过第二象限． 4．(2024·黑龙江齐齐哈尔三模)若f(x)＝sin x为偶函数，则a＝(　　 ) A．1 B．0 C．－1 D．2 解析：选A.由f(x)＝sin x， 得f(－x)＝sin (－x)， 因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 即sin (－x)＝sin x， 所以－＝＝，解得a＝1. 5．(2024·江西模拟)函数f(x)＝3x2－2|x|的一个单调递减区间为(　　 ) A．(－∞，0) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，＋∞) 解析：选C.令t＝x2－2|x|，则y＝3t， 由复合函数的单调性可知：f(x)的单调递减 区间为函数t＝x2－2|x|的单调递减区间， 又函数t(－x)＝(－x)2－2|－x|＝t(x)， 即函数t(x)为偶函数，结合图象，如图所示， 可知函数t＝x2－2|x|的单调递减区间为(－∞，－1)和(0，1)， 即f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(0，1). 6．“关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是(　　 ) A．a≤ B．a>1 C．a≤或a≥1 D．a<或a≥1 解析：选C.a(2|x|＋1)＝2|x|，因为2|x|＋1>0，所以a＝＝1－， 因为2|x|≥20＝1，所以2|x|＋1≥2，0<≤，≤1－<1， 要使a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解，则a<或a≥1， 由于a<或a≥1不能推出a≤，故A不成立； 由于a<或a≥1不能推出a>1，故B不成立； 由于a<或a≥1⇒a≤或a≥1，且a≤或a≥1不能推出a<或a≥1， 故C正确； D为充要条件，不符合要求． 7．(多选)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则(　　 ) A．2a＋2b>2 B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1 C．2a＋2b＝2 D．a＋b<0 解析：选CD.画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示． 由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确； 由基本不等式可得2＝2a＋2b>2＝，所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误，D正确． 8．(多选)若4x－4y＜5－x－5－y，则下列关系式正确的是(　　 ) A．x＜y B．y－3＞x－3 C. D． 解析：选AD.由4x－4y＜5－x－5－y，得4x－5－x＜4y－5－y，令f(x)＝4x－5－x，则f(x)＜f(y).因为g(x)＝4x，h(x)＝－5－x在R上都是增函数，所以f(x)在R上是增函数，所以x＜y，故A正确；因为G(x)＝x－3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x＜y＜0时，x－3＞y－3，故B错误；当x＜0，y＜0时， ， 无意义，故C错误；因为y＝在R上是减函数，且x＜y，所以＜，即＜3－x，故D正确． 9．＝________． 解析：原式＝＝2－1＋8＋(23×32)＝81. 答案：81 10．已知函数f(x)＝有最大值3，则a的值为________． 解析：令g(x)＝ax2－4x＋3， 则f(x)＝， ∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1， 则解得a＝1. 答案：1 【综合应用题】 11．已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中一定成立的是(　　 ) A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0 C．2－a＜2c D．2a＋2c＜2 解析：选D.作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示， 因为a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，结合图象知， 0＜f(a)＜1，a＜0，c＞0，b的符号不确定，故A，B错误； 因为f(a)>f(c)，所以|2a－1|>|2c－1|，即1－2a>2c－1， 所以2a＋2c<2，故D正确； 又2a＋2c>2，所以2<2，即2a＋c<1， 所以a＋c<0，即c<－a，所以2c<2－a，故C错误． 12．(2024·福建漳州期末)已知正数a，b，c满足2a＋＝4，3b＋＝6，4c＋＝8，则下列判断正确的是(　　 ) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b 解析：选A.由已知可得a＋＝2，b＋＝2，c＋＝2，则a，b，c可分别看作直线y＝2－x和y＝，y＝，y＝的图象的交点的横坐标，画出直线y＝2－x和y＝，y＝，y＝的大致图象，如图所示，由图象可知a＜b＜c. 13．(多选)已知函数f(x)＝m－是定义域为R的奇函数，则下列说法正确的是(　　 ) A．m＝ B．函数f(x)在R上的最大值为 C．函数f(x)是减函数 D．存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根 解析：选AC.因为函数f(x)＝m－是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝m－＝0，解得m＝，此时f(x)＝－， 则f(－x)＝＝－f(x)，符合题意，故A正确； 又f(x)＝， 因为ex>0，所以ex＋1>1，则0<<1，所以－<f(x)<， 即f(x)∈，故B错误； 因为y＝ex是增函数，y＝ex>0，且y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－是减函数，故C正确； 因为f(x)是减函数，所以y＝f(x)与y＝n最多有1个交点，故f(x)－n＝0最多有一个实数根，即不存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根，故D错误． 14．(2024·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________． 解析：∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”， ∴存在x0∈[－1，1]满足f(－x0)＝－f(x0)， ∴＋m－1＝－m＋1， ∴2m＝－＋2， 构造函数y＝－＋2，x0∈[－1，1]， 令t＝，t∈， 则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，在(1，3]上单调递减， ∴当t＝1时，函数取得最大值0， 当t＝或t＝3时，函数取得最小值－， ∴y∈， 又∵m≠0，∴－≤2m<0，∴－≤m<0. 答案： 15．(人教A版必修一P161)对于函数f(x)＝a－(a∈R). (1)探索函数f(x)的单调性； (2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？ 解：(1)函数的定义域为R，而y＝2x为增函数， 所以y＝为减函数，故f(x)＝a－是增函数． 证明如下：任取x1，x2∈R，且x1<x2，则2x2>2x1>0， f(x2)－f(x1)＝(a－)－(a－)＝－＝>0， 所以f(x2)>f(x1)，故f(x)在R上为增函数． (2)假设存在实数a，使f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)， 所以a－＝－a＋，即2a＝＋. 因为＋＝2，所以a＝1， 故存在实数a＝1，使函数f(x)为奇函数． 16．定义在D上的函数f(x)，如果满足： 对任意x∈D，存在常数M>0，都有－M≤f(x)≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知f(x)＝4x＋a·2x－2. (1)当a＝－2时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－2时，f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3， 令2x＝t，由x∈(0，＋∞)，可得t∈(1，＋∞). 令g(t)＝(t－1)2－3，有g(t)>－3， 可得函数f(x)的值域为(－3，＋∞)， 故函数f(x)在(0，＋∞)上不是有界函数． (2)由题意对任意x∈(－∞，0)，有－2≤4x＋a·2x－2≤2， 可化为－2x≤a≤－2x. 因为x<0，所以2x∈(0，1)，因此－2x∈(－1，0)； 又y＝＝4·2－x与y＝－2x都是减函数， 所以y＝－2x在(－∞，0)上单调递减， 所以y＝－2x>－20＝3. 因此为使－2x≤a≤－2x对任意的x∈(－∞，0)恒成立，只需0≤a≤3， 即实数a的取值范围是0≤a≤3. 【创新拓展题】 17．已知α∈，a＝(cos α)sin α，b＝(sin α)cos α，c＝(cos α)cos α，则(　　 ) A．b>c>a B．c>b>a C．c>a>b D．a>b>c 解析：选A.已知α∈，则0<cos α<sin α<1， 因为y＝(cos α)x在(0，1)上单调递减，故c＝(cos α)cos α>(cos α)sin α＝a； 因为幂函数y＝xcos α在(0，1)上单调递增，故c＝(cos α)cos α<(sin α)cos α＝b，故b>c>a. 18．正实数m，n满足e1-2m＋2－2m＝en-1＋n，则的最小值为________． 解析：由e1-2m＋2－2m＝en-1＋n，得e1-2m＋(1－2m)＝en-1＋(n－1)， 令f(x)＝ex＋x，则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数f(x)为增函数， 于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2， 而m>0，n>0，因此， 当且仅当，即m＝n＝时取等号， 所以当m＝n＝时，取得最小值. 答案： $