1.5 基本不等式的综合应用（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式的综合应用”专题，依据课标要求梳理了恒成立问题、实际应用、知识交汇最值三大核心考点。通过分析近三年高考真题，明确恒成立求参数范围占比35%、实际应用占比30%的高频考向，归纳出“1的代换”“换元法”等常考题型解法。 课件亮点在于“真题情境+素养导向”的备考设计，如以2024佛山模拟题为例，通过“问题转化—模型构建—最值求解”三步法，培养学生用数学思维分析实际问题的能力。课下精练卷涵盖双曲线、立体几何等交汇题型，帮助学生熟练运用数学语言表达解题逻辑，教师可据此精准定位学生薄弱环节，提升复习效率。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第一章 集合与常用逻辑 用语、 不等式 01 1．5　基本不等式的综合应用 [课标要求] 1.会求与基本不等式有关的恒成立问题．　 2.理解基本不等式在实际问题中的应用．　 3.掌握基本不等式在其他知识中的应用． 01 03 02 题型一 题型三 题型二 课下巩固精练卷(五) 目 录 目 录 高阶拓展(一) 模板来自于：第一PPT https:/// 4 课下巩固精练卷(五) 基本不等式的综合应用 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 高阶拓展(一) 柯西不等式与权方和不等式 感谢观看 题型一　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 【例1】　(1)已知x>0，y>0，且＝1，若2x＋y<m2－8m有解，则实数m的取值范围为(　　 ) A．(－∞，－1)∪(9，＋∞) B．(－∞，－1]∪[9，＋∞) C．(－9，－1) D．[－9，1] 解析：选A.因为x>0，y>0，且＝1， 所以2x＋y＝(2x＋y)＝9， 当且仅当，且＝1，即x＝y＝3时取等号， 此时2x＋y取得最小值9， 若2x＋y<m2－8m有解，则9<m2－8m，解得m>9或m<－1， 即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． (2)“∀x∈(1，4]，不等式x2－mx＋m>0恒成立”的充分不必要条件是(　　 ) A．m>4 B．m< C．m<4 D．m<2 解析：选D.已知∀x∈(1，4]，由不等式x2－mx＋m>0恒成立， 得>m恒成立， 因为＋2＝4， 当且仅当x－1＝，即x＝2时取等号， 所以m<4， 所以m<2是m<4的充分不必要条件． 思维升华　∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a. 【对点练习】　1.(1)若任意的x>0，不等式≥a恒成立，则实数a的取值范围为(　　 ) A．[5，＋∞) B．(5，＋∞) C．(－∞，5] D．(－∞，5) 解析：选C.令f(x)＝， 由题意可得a≤f(x)min， f(x)＝x＋＋3＝5， 当且仅当x＝，即x＝1时等号成立， a≤f(x)min＝5， 所以实数a的取值范围为(－∞，5]. (2)(2024·佛山模拟)若两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是________. 解析：因为正实数x，y满足4x＋y－xy＝0， 所以xy＝4x＋y≥2， 即≥4⇒xy≥16，当且仅当y＝4x时等号成立， 由xy≥m2－6m恒成立，可得16≥m2－6m，解得－2≤m≤8. 答案：[－2，8] 题型二　基本不等式的实际应用 【例2】　第33届奥运会于2024年7月在巴黎举办，某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格． (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？ 解：(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时， 销售量为15－0.1×100＝5(万套)， 供货单价为50＋＝52(元)， 总利润为5×(100－52)＝240(万元)． 所以能获得的总利润为240万元． (2)每套会徽及吉祥物售价为x元时，销售量为(15－0.1x)万套，供货单价为元，单套利润为x－50－， 因为15－0.1x>0，所以0<x<150， 所以单套利润为y＝x－50－＝－＋100≤100－2＝80， 当且仅当150－x＝10，即x＝140时取等号． 所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元． 【对点练习】　2.某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为____ cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)． 解析：设直角梯形的高为x cm， ∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)＝8x＋＋1 472 ≥2＋1 472＝＋1 472，当且仅当8x＝， 即x＝12时，等号成立． ∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少． 答案：12 题型三　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 【例3】　(1)在△ABC中，点D在线段BC上，且满足＝，点E为线段AD上任意一点．若实数x，y满足，则的最小值为(　　 ) A．2 B．4 C．4＋2 D．9＋4 解析：选D.因为＝， 所以， 由A，E，D三点共线可得x＋4y＝1，且x>0，y>0， 所以(x＋4y)＝9＋， 当且仅当，即时取等号． (2)(2024·江苏南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是双曲线E：＝1的左，右焦点，设点P是E的右支上一点，则的最大值为________． 解析：双曲线E：＝1中a＝2，b＝，则c＝＝3， 设|PF1|＝m(m≥a＋c＝5)，|PF2|＝n(n≥c－a＝1)， 由双曲线的定义可得m－n＝2a＝4， 则(m－n)＝ ＝＝， 当且仅当，即n＝＋1>1，即m＝时取等号， 所以的最大值为. 答案： 【对点练习】　3.(2024·黑龙江哈尔滨三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，BC边上中线AD长为1，则bc最大值为(　　 ) A． B． C． D．2 解析：选A.由题意得∠ADB＋∠ADC＝π， 所以cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0， 又a＝，且D是BC的中点，所以DB＝DC＝， 在△ABD中，cos ∠ADB＝， 在△ADC中，cos ∠ADC＝， 所以cos ∠ADC＋cos ∠ADB＝＝0， 即b2＋c2＝，得2bc≤b2＋c2＝⇒bc≤，当且仅当b＝c＝取等号． 【基础巩固题】 1．已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　 ) A．13 B．12 C．9 D．4 解析：选C.因为|MF1|＋|MF2|＝6，所以|MF1|·|MF2|≤＝＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立，所以|MF1|·|MF2|的最大值为9. 2．若“∃x∈，使得3x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的最大值是(　　 ) A． B． C．4 D．5 解析：选B.由题意，得“∀x∈，3x2－λx＋1≥0成立”是真命题， 故当x∈时，3x＋≥λ恒成立， 由基本不等式，得3x＋≥＝， 当且仅当3x＝，即x＝∈时，等号成立， 故λ≤. 3．若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为(　　 ) A．4π B．8π C．12π D．16π 解析：选B.设底面圆半径为r，则圆柱的高为2，圆柱侧面积为S＝2πr·2＝4πr≤4π·＝8π，当且仅当r＝，即r＝时等号成立． 4．双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为(　　 ) A． B． C．2 D． 解析：选A.因为双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，所以＝tan ＝， 所以b＝a，c＝＝2a. 所以＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝时等号成立． 5．已知正实数x，y满足2x＋3y－xy＝0，若3x＋2y≥t恒成立，则实数t的取值范围是(　　 ) A．(－∞，25] B．(－∞，25) C．(－∞，24] D．[24，＋∞) 解析：选A.由正实数x，y满足 2x＋3y－xy＝0，得＝1， 则3x＋2y＝(3x＋2y)＝＋9＋4＋≥13＋2＝25， 当且仅当，即x＝y＝5时，等号成立，则t≤25， 故实数t的取值范围是(－∞，25]. 6．(2024·四川遂宁模拟)在△ABC中，点F为线段BC上任一点(不含端点)，若(x>0，y>0)，则的最小值为(　　 ) A．3 B．4 C．8 D．9 解析：选D.因为点F为线段BC上任一点(不含端点)， 所以设，故， 即， 又(x>0，y>0)， 故x＋2y＝1－λ＋λ＝1， 故＝(x＋2y)＝1＋4＋≥5＋2＝9， 当且仅当，即x＝y＝时，等号成立， 故的最小值为9. 7．(多选)已知正实数x，y满足x＋y＝4，则下列选项正确的是(　　 ) A．ex＋ey的最小值为2e2 B．lg x＋lg y的最大值为lg 4 C．x2＋y2的最小值为8 D．x(y＋4)的最大值为16 解析：选ABC.由于ex＋ey≥＝2e2，当且仅当ex＝ey，即x＝y＝2时取等号，故A正确； 由基本不等式得xy≤＝4，故lg x＋lg y＝lg (xy)≤lg 4，当且仅当x＝y＝2时取等号，故B正确； x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝16－2xy≥8，当且仅当x＝y＝2时取等号，故C正确； 由正实数x，y满足x＋y＝4，得y＝4－x，x∈(0，4)，故x(y＋4)＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16∈(0，16)，故D错误． 8．(多选)若a>1，b>1，且ab＝e2，则(　　 ) A．2e≤a＋b<e2＋1 B．0<ln a·ln b≤1 C．2－1≤ln a＋logab<2 D．aln b的最大值为e 解析：选ABD.由a>1，b＝>1，得1<a<e2， 因为函数f(a)＝a＋b＝a＋在(1，e)上单调递减， 在[e，e2)上单调递增，所以2e≤a＋b<e2＋1，故A正确； 因为ab＝e2，所以ln a＋ln b＝2，于是0<ln a·ln b≤＝1， 当且仅当a＝b＝e时，等号成立，故B正确； ln a＋logab＝ln a＋＝ln a＋＝ln a＋－1，设t＝ln a∈(0，2)， 所以φ(t)＝t＋－1在(0，)上单调递减，在[，2)上单调递增， 所以φ(t)＝t＋－1∈[2－1，＋∞)，故C错误； 设λ＝aln b，所以ln λ＝ln aln b＝ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D正确． 9．(人教A版必修一P48)已知一个矩形的周长为36 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为__________cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大为________cm2. 解析：设矩形的长为a cm，宽为b cm， 因为矩形的周长为36 cm，所以2(a＋b)＝36，得b＝18－a， 所以旋转形成的圆柱的侧面积为2πab＝2πa(18－a)≤2π× ＝162π cm2，当且仅当a＝18－a，即a＝b＝9时等号成立． 故当矩形的长、宽均为9 cm时，旋转形成的圆柱侧面积最大为162π cm2. 答案：9　162π 10．(人教A版必修一P49)设矩形ABCD(AB>AD)的周长为24 cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB＝x cm，求△ADP的最大面积及相应x的值． 解：如图，设AB＝x cm，由矩形ABCD(AB>AD)的周长为24 cm， 可知AD＝(12－x)cm.设PC＝a cm，则DP＝(x－a)cm， ∵∠APD＝∠CPB′，∠ADP＝∠CB′P＝90°，AD＝CB′， ∴Rt△ADP≌Rt△CB′P， ∴AP＝PC＝a cm. 由基本不等式与不等式的性质，得S≤6×(－2＋18)＝108－72. 当且仅当x＝时，即当x＝6时，△ADP的面积最大，面积的最大值为(108－72)cm2. 在Rt△ADP中，由勾股定理得AD2＋DP2＝AP2， 即(12－x)2＋(x－a)2＝a2， 解得a＝，所以DP＝x－a＝. 所以△ADP 的面积为S＝AD·DP＝(12－x)· ＝6·＝6[－(x＋)＋18]. 【综合应用题】 11．(2024·湘潭模拟)已知α，β为锐角，且tan α－tan β＋2tan αtan2β＝0，则tanα的最大值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.因为β为锐角，所以tan β>0，由题意可得tan α＝＝≤＝，当且仅当tan β＝时取等号，故tan α的最大值为. 12．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，其中a>b，则的最小值为________. 解析：函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，令ax2＋2x＋b＝0， 则有即ab＝1，且a>0，所以＝(a－b)＋， 又a>b，所以a－b>0，则(a－b)＋≥2＝， 当且仅当a－b＝，且ab＝1，即a＝，b＝时等号成立， 即的最小值为. 答案： 答案：m<7(答案不唯一) 13．已知a>0，b>0，a＋2b＝1，请写出使得“m<”恒成立的一个充分不必要条件为________．(用含m的式子作答) 解析：由题意可知a>0，b>0，故＝(a＋2b)＝4＋≥4＋2＝8，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时取等号，所以≥8恒成立，若m<恒成立，则m<8.故使得“m<”恒成立的一个充分不必要条件为m<7(答案不唯一，合理即可，可以从不等式的角度出发，填写m<6，m<5等，也可以直接填写合适的m的值，如m＝0，m＝1等). 14．已知A＝{x|ax2＋bx＋c≤0(a<b)}中有且仅有一个元素，则M＝的最小值为________． 答案：2＋5 解析：由于A＝{x|ax2＋bx＋c≤0(a<b)}中有且仅有一个元素， 所以b>a>0，Δ＝b2－4ac＝0，所以b>a>0，b2＝4ac. 所以M＝＝＝， 设t＝－1>0，所以＝t＋1， 所以M＝＝t＋＋5≥2＋5＝2＋5. 当且仅当t＝时，等号成立．所以M的最小值为2＋5. 15．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6). (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a>5)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求实数a的取值范围． 解：(1)设甲工程队的总报价为y元，依题意，左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)，则屋子前面新建墙体长为米， 则y＝3＋7 200＝900＋7 200 ≥900×2＋7 200＝14 400， 当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元． (2)由题意可知，900＋7 200>对任意的x∈[2，6]恒成立， 即，所以>a，即a<， ＝x＋1＋＋6≥2＋6＝12， 当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立， 则的最小值为12，即a<12， 又a>5，所以a的取值范围是(5，12). 一、柯西不等式 1．柯西不等式的代数形式 设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 推广一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，则≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立)． 2．柯西不等式的向量形式 设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时等号成立． 3．柯西不等式的三角不等式 设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则：. 【例1】　(1)已知a＝1，则以下式子成立的是(　　 ) A．a2＋b2>1 B．a2＋b2＝1 C．a2＋b2<1 D．a2b2＝1 解析：选B.由柯西不等式可得1＝2≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1，当且仅当时，上式取等号，所以ab＝，即a2b2＝(1－a2)(1－b2)，故a2＋b2＝1. (2)已知x，y∈R，3x2＋2y2≤6，求2x＋y的最值． 解：方法一　由柯西不等式得 (2x＋y)2≤[＋]＝(3x2＋2y2)≤11， 当且仅当， 即或时等号成立， 于是2x＋y的最大值为，最小值为－. 方法二　由柯西不等式得|2x＋y|≤ ， 当且仅当， 即或时等号成立， 于是2x＋y的最大值为，最小值为－. 【对点练习】　1.(1)(2024·江苏南通一模)已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为(　　 ) A．2 B．2 C．2 D．4 解析：选B.∵a2＋b2＝4，由柯西不等式可得(32＋22)(a2＋b2)≥(3a＋2b)2， 即(3a＋2b)2≤13×4＝52，∴. 当且仅当a＝时，3a＋2b取得最大值， 因此3a＋2b的最大值为2. (2)若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为(　　 ) A．14 B． C．29 D． 解析：选B.根据柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)≥(x＋2y＋3z)2＝1，即x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝时等号成立． (3)已知x>0，y>0，＋y2＝1，则的最大值是________． 解析：由柯西不等式得， 所以1×2≥，当＝y，即x＝时等号成立， 所以，即y的最大值是2. 答案：2 二、权方和不等式 1．二维形式 已知x，y，a，b∈R＋，则有(当且仅当x∶y＝∶时，等号成立)． 2．一般形式 设ai，bi∈R＋(i＝1，2，…，n)，实数m>0，则 ， 当且仅当时等号成立，称之为权方和不等式．m为该不等式的权，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次． 【例2】　(1)若x>0，y>0，＝2，则6x＋5y的最小值为________. 解析：， 即2≥，因为x>0，y>0，则6x＋5y≥， 当且仅当，即x＝时取等号． 答案： (2)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则的最小值为_____. 解析：≥， 当且仅当，即x＝y＝z＝时取等号． 答案： 思维升华　(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键． (2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式． (3)关于带根号的式子，将分子变为次，分母为次． 【对点练习】　2.(1)已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则的最小值为(　　 ) A．1 B．3 C．6 D．9 解析：选D.∵a＋b＋c＝1，∴＝9，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． (2)已知正数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为________. 解析：＝27，当且仅当， 即x＝时取等号． 答案：27 (3)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则的最小值为________. 解析：＝36，当且仅当， 即x＝时取等号． 答案：36 (4)f(x)＝的最小值为________. 解析：f(x)＝ ， 当且仅当， 即sinx＝±，cos x＝±时取等号． 答案： $