1.3 等式性质与不等式性质（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第一章 集合与常用逻辑 用语、 不等式 01 1．3　等式性质与不等式性质 [课标要求] 理解不等式的概念，掌握不等式性质， 会利用不等式性质判断相关命题的真假． 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(三) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(三) 等式性质与不等式性质 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 感谢观看 > < = 【必备知识】 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (a，b∈R) (2)作商法 > < = 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么 ； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. b＝a a＝c ac>bc 3．不等式的性质 性质1　如果a>b，且b>c，那么 . 性质2　如果a>b，那么a＋c>b＋c. 性质3　(1)如果a>b，c>0，那么 ； (2)如果a>b，c<0，那么 . 性质4　如果a>b，c>d，那么 . 性质5　(1)如果a>b>0，c>d>0，那么 ； (2)如果a>b>0，c<d<0，那么 . 性质6　当a>b>0时， eq \r(n,a) > eq \r(n,b) ，其中n∈N+，n≥2. ac<bd ac>bd a>c ac<bc a＋c>b＋d 【必记结论】 1．倒数性质 (1)a＞b，ab＞0⇒＜； (2)a＜0＜b⇒＜； (3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞； (4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜. 2．两个重要不等式 若a＞b＞0，m＞0，则： (1)＜；＞(b－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若>1，则a>b.(　　 ) (2)0<a<x<b或a<x<b<0⇔<<.(　　 ) (3)若a＞b，则ac2＞bc2.(　　 ) (4)a＝b⇔ac＝bc.(　　 ) × × × × 2．已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　 ) A．ln a<ln b B．> C．a2<b2 D．a3<b3 解析：选D.对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误． 对于B，当a<0<b时，<，故B错误． 对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误． 对于D，当a<b时，a3<b3成立，故D正确． 3．(多选)下列命题为真命题的是(　　 ) A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 解析：选ABD.C中，若a＝－2，b＝－1，则a2＞ab＞b2，故C错误． 4．设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为__________． 解析：M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，故M＞N. 答案：M＞N 5．某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元．“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为________． 解析：方案A：一次性投资500万元； 方案B：第一年投资100万元， 两年后总投资为(100＋10)万元， 三年后总投资为(100＋10×2)万元， …… n年后总投资为[100＋10(n－1)]万元． 由于n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，所以100＋10(n－1)≥500. 答案：100＋10(n－1)≥500 题型一　比较两个数(式)的大小 【例1】　(1)若a＜0，b＜0，则p＝与q＝a＋b的大小关系为(　　 ) A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q 解析：选B.p－q＝＝(b2－a2)· ， 因为a＜0，b＜0，所以a＋b＜0，ab＞0. 若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.综上， p≤q. (2)已知M＝，则M，N的大小关系为________． 解析：方法一　∵M－N＝ >0，∴M>N. 方法二　令f(x)＝， 显然f(x)是R上的减函数，∴f(2 023)>f(2 024)，即M>N. 答案：M>N 方法指导　比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数法：利用函数的单调性比较大小． (4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论． 【对点练习】　1.(1)若ln a>ln b，则(　　 ) A．> B．< C．πa－b<3a－b D．a－b> 解析：选D.因为ln a>ln b，所以a>b>0，<0， 所以<，故A错误； ，无法确定符号，故B错误； 因为a－b>0，函数y＝xa－b在(0，＋∞)上单调递增，所以πa－b>3a－b， 故C错误； a－b－＝(a－b)， 其中a－b>0，ab＋1>0，ab>0，所以a－b－>0，a－b>， 故D正确． (2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________． 解析：，又0＜＜1，0＜π－e＜1，所以＜1，即＜1，即eπ·πe＜ee·ππ. 答案：eπ·πe＜ee·ππ 题型二　不等式的基本性质 【例2】　(1)(人教A版必修一P43改编)下列不等式中成立的是(　　 ) A．若a>b>0，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则ln (a－b)>0 C．若a<b<0，则3a<3b D．若a<b<0，则< 解析：选C.对于A，若a>b>0，则ac2>bc2错误，如c＝0时，ac2＝bc2，所以该选项错误； 对于B，当0<a－b<1时，ln (a－b)<0，故该选项错误； 对于C，因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a<b时，3a<3b，所以该选项正确； 对于D，若a<b<0，则>0，∴>，所以该选项错误． (2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是(　　 ) A．> B．－a2<－ab C．ln |a－1|>ln |b－1| D．2a－b>1 解析：选ABD.因为a>b>0，则>，故A正确； 因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确； 若a＝＝ln |b－1|＝ln ，故C不正确； 因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确． 【对点练习】　2.(1)(2024·福州一模)“0＜a＜b”是“a－＜b－”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.∵y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数，∴当0＜a＜b时，a－＜b－，充分性成立； 当a－＜b－时，不能推出0＜a＜b，例如a＝1，b＝－满足a－＜b－，但不满足0＜a＜b，必要性不成立，∴“0＜a＜b”是“a－＜b－”的充分不必要条件． (2)(多选)(2024·济南调研)已知实数a，b，c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是(　　 ) A．> B．a－c>2b C．a2>b2 D．ab＋bc>0 解析：选BC.对于A，∵a>b>c，∴a－c>b－c>0， ∴<，A错误； 对于B，∵a>b>c，a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0，a－b>0， ∴b＋c＝－a<0，∴a－b>b＋c，即a－c>2b，B正确； 对于C，∵a－b>0，a＋b＝－c>0，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0， 即a2>b2，C正确； 对于D，ab＋bc＝b(a＋c)＝－b2≤0，D错误． 题型三　不等式性质的综合应用 【例3】　(1)已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是(　　 ) A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3 C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7 解析：选D.因为－1<y<1，所以－2<－2y<2，又0<x<5，所以－2<x－2y<7. [变式]　若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围． 解：设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， ∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y， ∴解得 ∴x－2y＝－(x＋y)＋(x－y)， ∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1， ∴－1≤－(x＋y)≤(x－y)≤， ∴－4≤－(x＋y)＋(x－y)≤2， 即－4≤x－2y≤2. (2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为(　　 ) A．20 B．22 C．26 D．28 解析：选B.设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N*， 则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6， 又教师人数的两倍多于男学生人数， ∴2x>x＋3，解得x>3， 当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22. 思维升华　求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． 【对点练习】　3.(1)已知2<x<4，－3<y<－1，则的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.原式分子和分母同时除以x，得， 由条件得2<－2y<6，<<， 所以<－<，即<－<3， 所以<1－<4，所以<<. (2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________． 解析：由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b＝－a－c，－a－c<a，2a>－c，>－2，－a－c>c，－a>2c，<－，所以－2<<－. 答案：－2<<－ 【基础巩固题】 1．已知a>0，b>0，设m＝a－2－b，则(　　 ) A．m≥n B．m>n C．m≤n D．m<n 解析：选A.由题意可知，m－n＝a－2＋b＝2＋2≥0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n. 2．已知a，b∈R，下列命题正确的是(　　 ) A．若ab＝1，则a＋b≥2 B．若<，则a>b C.若a>b，则ab>b2 D．若a>b>0，则< 解析：选D.当a＝－1，b＝－1时，a＋b＝－2，所以A错误； 当a<0，b>0时，a<b，所以B错误； 当b<0时，ab<b2，所以C错误； 若a>b>0，则a＋1>b＋1>0，则<成立，所以D正确． 3．下列是“a＞b”的充分不必要条件的是(　　 ) A．a＞b＋1 B．＞1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 解析：选A.A中，当a＝2，b＝1时，a＞b，但a＝b＋1，必要性不成立，因为a＞b＋1，所以a＞b，故充分性成立； B中，当a＝－2，b＝－1时，满足＞1，但a＜b，故充分性不成立； C中，当a＝－2，b＝－1时，满足a2＞b2，但a＜b，故充分性不成立； D中，当a＞b时，由不等式的基本性质得a3＞b3，故必要性成立，反之也成立． 4．下列命题中，真命题的是(　　 ) A．若a>b，则ac>bc B．若a>b，则ln a>ln b C．若，则a≥b D．若a＋2b＝2，则2a＋4b≥4 解析：选D.对于A，由a>b，c＝0可得ac＝bc，故A错误； 对于B，若a<0或b<0，对数不存在，故B错误； 对于C，当a<0，b>0时，<，且a<b，故C错误； 对于D，因为2a＋4b＝2a＋22b≥2＝4， 当且仅当a＝2b＝1时，等号成立，即2a＋4b≥4，故D正确． 5．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是(　　 ) A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2π C．－2π<α－β<0 D．{0} 解析：选C.∵－π<β<π，∴－π<－β<π，又－π<α<π， ∴－2π<α－β<2π，又α<β，∴α－β<0，∴－2π<α－β<0. 6．已知m5＝4，n8＝9，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　　 ) A．p>m>n B．m>n>p C．m>p>n D．p>n>m 解析：选A.由m5＝4，得m＝<， 由n8＝9，得n＝， 因此，>1，即>m>n， 由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，于是得p>m>n， 所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n. 7．(多选)(2024·河北沧州二模)已知实数a，b满足a>b，a＋b＝1，则(　　 ) A．a2>ab B．ab>b2 C．ab≤ D．a2＋b2≥1 解析：选AC.因为a>b，a＋b＝1>0，所以b的符号不确定，由不等式的性质知a2>ab成立，但ab>b2不一定成立，故A正确，B错误； 因ab＝a(1－a)＝－2＋，故C正确； 因为a>b，所以a2＋b2>2ab，所以a2＋b2>，故D错误． 8．(多选)(2024·湖南长沙二模)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有(　　 ) A．c2<cd B．a－c<b－d C．ac<bd D．>0 解析：选AD.对于A，由0>c>d和不等式性质可得c2<cd，故A正确； 对于B，因a>b>0>c>d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故B错误； 对于C，因a>b>0>c>d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故C错误； 对于D，因为a>b>0，则0<<，又因0>c>d，则0<－c<－d，由不等式的同向皆正可乘性得，－<－，故>0，故D正确． 9．若－1<a＋b<3，2<a－b<4，t＝2a＋b，则a的取值范围为__________；t的取值范围为__________． 解析：∵－1<a＋b<3，2<a－b<4，∴1<2a<7，即<a<， 又t＝2a＋b＝(a＋b)＋(a－b)，∴－＋1<(a＋b)＋(a－b)<＋2， 即t∈. 答案： 10．(人教A版必修一P43)一个大于50小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2，试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)． 解：由题意知解得4<a<5，又a∈N*， ∴a＝5，∴b＝7，∴所求的两位数为57. 【综合应用题】 11．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．a＜b≤c B．b≤c＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析：选A.∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b；又∵b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，两式相减得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，∴b－a＝a2＋1－a＝2＋＞0，∴b＞a，∴a＜b≤c. 12．(多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc＝1，则下列说法正确的是(　　 ) A．(a＋c)2> B．< C．a2>b2 D．(a2b－1)(ab2－1)>0 解析：选ABD.对A，根据abc＝1可得＝ac，故(a＋c)2>，即(a＋c)2>ac，即a2＋ac＋c2>0.因为a2＋ac＋c2＝>0恒成立，故(a＋c)2>成立，故A正确；对B，因为a>b>c，故a－c>b－c>0，故<成立，故B正确；对C，当a＝，b＝－1，c＝－2时，满足a>b>c且abc＝1，但a2>b2不成立，故C错误；对D，因为abc＝1，(a2b－1)(ab2－1)＝，因为a>b>c，故>0，故D正确． 13．(多选)(2024·宁波质检)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　　 ) A．若a<b<0，则a2>ab>b2 B．若b>a>0>c，则< C．若c>b>a>0，则> D．若a>b>c>0，则> 解析：选ABD.对于A，由a<b<0，得a－b<0，则a2－ab＝a(a－b)>0，ab－b2＝b(a－b)>0，即a2>ab>b2，故A正确； 对于B，，因为b>a>0>c，所以c(b－a)<0，ab>0，所以<0，即<，故B正确； 对于C，，因为c>b>a>0，所以c－a>0，c－b>0，a－b<0，所以<0，即<，故C错误； 对于D，，因为a>b>c>0，所以a－b>0，b＋c>0，所以>0，即>，故D正确． 14．(人教A版必修一P43)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立． 解：b>a>0，m>0时，<. 证明如下：， ∵b>a>0，∴a－b<0，∵m>0，∴b＋m>0， ∴<0，∴<. 【创新拓展题】 15．(2024·湖北武汉模拟)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x>y>z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c，在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(　　 ) A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz 解析：选A.由x>y>z，a<b<c得， ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)<0， 故ax＋by＋cz<az＋by＋cx； ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)>0， 故ay＋bz＋cx>ay＋bx＋cz； ax＋by＋cz－(ay＋bx＋cz)＝a(x－y)＋b(y－x)＝(x－y)(a－b)<0， 故ax＋by＋cz<ay＋bx＋cz， 故最低的总费用为ax＋by＋cz. 16．购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，分两次购买这种物品，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则______种购物策略比较经济． 解析：设第一次和第二次购物时价格分别为p1元/千克，p2元/千克， 按甲策略，每次购n千克，按这种策略购物时，两次的平均价格x＝(元/千克)， 按乙策略，第一次花m元钱，能购买千克物品，第二次仍花m元钱，能购买千克物品， 两次购物的平均价格y＝(元/千克)， 比较两次购物的平均价格x－y＝≥0， 则甲策略的平均价格不小于乙策略的平均价格，所以用乙购物策略比较经济． 答案：乙 $