课下巩固精练卷(3) 等式性质与不等式性质（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

课下巩固精练卷(三)　等式性质与不等式性质 【基础巩固题】 1．已知a>0，b>0，设m＝a－2－b，则(　　 ) A．m≥n B．m>n C．m≤n D．m<n 解析：选A.由题意可知，m－n＝a－2＋b＝2＋2≥0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n. 2．已知a，b∈R，下列命题正确的是(　　 ) A．若ab＝1，则a＋b≥2 B．若<，则a>b C.若a>b，则ab>b2 D．若a>b>0，则< 解析：选D.当a＝－1，b＝－1时，a＋b＝－2，所以A错误； 当a<0，b>0时，a<b，所以B错误； 当b<0时，ab<b2，所以C错误； 若a>b>0，则a＋1>b＋1>0，则<成立，所以D正确． 3．下列是“a＞b”的充分不必要条件的是(　　 ) A．a＞b＋1 B．＞1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 解析：选A.A中，当a＝2，b＝1时，a＞b，但a＝b＋1，必要性不成立，因为a＞b＋1，所以a＞b，故充分性成立； B中，当a＝－2，b＝－1时，满足＞1，但a＜b，故充分性不成立； C中，当a＝－2，b＝－1时，满足a2＞b2，但a＜b，故充分性不成立； D中，当a＞b时，由不等式的基本性质得a3＞b3，故必要性成立，反之也成立． 4．下列命题中，真命题的是(　　 ) A．若a>b，则ac>bc B．若a>b，则ln a>ln b C．若，则a≥b D．若a＋2b＝2，则2a＋4b≥4 解析：选D.对于A，由a>b，c＝0可得ac＝bc，故A错误； 对于B，若a<0或b<0，对数不存在，故B错误； 对于C，当a<0，b>0时，<，且a<b，故C错误； 对于D，因为2a＋4b＝2a＋22b≥2＝4，当且仅当a＝2b＝1时，等号成立，即2a＋4b≥4，故D正确． 5．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是(　　 ) A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2π C．－2π<α－β<0 D．{0} 解析：选C.∵－π<β<π，∴－π<－β<π，又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π，又α<β，∴α－β<0，∴－2π<α－β<0. 6．已知m5＝4，n8＝9，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　　 ) A．p>m>n B．m>n>p C．m>p>n D．p>n>m 解析：选A.由m5＝4，得m＝<， 由n8＝9，得n＝， 因此，>1，即>m>n， 由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2， 于是得p>m>n， 所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n. 7．(多选)(2024·河北沧州二模)已知实数a，b满足a>b，a＋b＝1，则(　　 ) A．a2>ab B．ab>b2 C．ab≤ D．a2＋b2≥1 解析：选AC.因为a>b，a＋b＝1>0，所以b的符号不确定，由不等式的性质知a2>ab成立，但ab>b2不一定成立，故A正确，B错误； 因ab＝a(1－a)＝－2＋，故C正确； 因为a>b，所以a2＋b2>2ab，所以a2＋b2>，故D错误． 8．(多选)(2024·湖南长沙二模)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有(　　 ) A．c2<cd B．a－c<b－d C．ac<bd D．>0 解析：选AD.对于A，由0>c>d和不等式性质可得c2<cd，故A正确； 对于B，因a>b>0>c>d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故B错误； 对于C，因a>b>0>c>d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故C错误； 对于D，因为a>b>0，则0<<，又因0>c>d，则0<－c<－d，由不等式的同向皆正可乘性得，－<－，故>0，故D正确． 9．若－1<a＋b<3，2<a－b<4，t＝2a＋b，则a的取值范围为__________；t的取值范围为__________． 解析：∵－1<a＋b<3，2<a－b<4， ∴1<2a<7，即<a<， 又t＝2a＋b＝(a＋b)＋(a－b)， ∴－＋1<(a＋b)＋(a－b)<＋2， 即t∈. 答案： 10．(人教A版必修一P43)一个大于50小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2，试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)． 解：由题意知解得4<a<5，又a∈N*，∴a＝5，∴b＝7，∴所求的两位数为57. 【综合应用题】 11．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．a＜b≤c B．b≤c＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析：选A.∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b；又∵b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，两式相减得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，∴b－a＝a2＋1－a＝2＋＞0，∴b＞a，∴a＜b≤c. 12．(多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc＝1，则下列说法正确的是(　　 ) A．(a＋c)2> B．< C．a2>b2 D．(a2b－1)(ab2－1)>0 解析：选ABD.对A，根据abc＝1可得＝ac，故(a＋c)2>，即(a＋c)2>ac，即a2＋ac＋c2>0.因为a2＋ac＋c2＝>0恒成立，故(a＋c)2>成立，故A正确；对B，因为a>b>c，故a－c>b－c>0，故<成立，故B正确；对C，当a＝，b＝－1，c＝－2时，满足a>b>c且abc＝1，但a2>b2不成立，故C错误；对D，因为abc＝1，(a2b－1)(ab2－1)＝，因为a>b>c，故>0，故D正确． 13．(多选)(2024·宁波质检)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　　 ) A．若a<b<0，则a2>ab>b2 B．若b>a>0>c，则< C．若c>b>a>0，则> D．若a>b>c>0，则> 解析：选ABD.对于A，由a<b<0，得a－b<0，则a2－ab＝a(a－b)>0，ab－b2＝b(a－b)>0，即a2>ab>b2，故A正确； 对于B，，因为b>a>0>c，所以c(b－a)<0，ab>0，所以<0，即<，故B正确； 对于C，，因为c>b>a>0，所以c－a>0，c－b>0，a－b<0，所以<0，即<，故C错误； 对于D，，因为a>b>c>0，所以a－b>0，b＋c>0，所以>0，即>，故D正确． 14．(人教A版必修一P43)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立． 解：b>a>0，m>0时，<. 证明如下：， ∵b>a>0，∴a－b<0，∵m>0，∴b＋m>0， ∴<0，∴<. 【创新拓展题】 15．(2024·湖北武汉模拟)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x>y>z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c，在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(　　 ) A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz 解析：选A.由x>y>z，a<b<c得， ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)<0， 故ax＋by＋cz<az＋by＋cx； ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)>0， 故ay＋bz＋cx>ay＋bx＋cz； ax＋by＋cz－(ay＋bx＋cz)＝a(x－y)＋b(y－x)＝(x－y)(a－b)<0， 故ax＋by＋cz<ay＋bx＋cz， 故最低的总费用为ax＋by＋cz. 16．购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，分两次购买这种物品，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则______种购物策略比较经济． 解析：设第一次和第二次购物时价格分别为p1元/千克，p2元/千克， 按甲策略，每次购n千克，按这种策略购物时，两次的平均价格x＝(元/千克)， 按乙策略，第一次花m元钱，能购买千克物品，第二次仍花m元钱，能购买千克物品， 两次购物的平均价格y＝(元/千克)， 比较两次购物的平均价格x－y＝≥0， 则甲策略的平均价格不小于乙策略的平均价格，所以用乙购物策略比较经济． 答案：乙 学科网（北京）股份有限公司 $