专题06 反比例函数（13大题型）（期末真题汇编，四川成都专用）九年级数学上学期北师大版

专题06 反比例函数 13大高频考点概览 考点01 判断是否为反比例函数 考点08反比例函数综合之面积问题（压轴） 考点02根据反比例函数的定义求参数 考点09反比例函数综合之相似类问题（压轴） 考点03已知双曲线的分布求参数 考点10反比例函数综合之三角形存在性问题（压轴） 考点04利用反比例函数的增减性比较大小（重点题） 考点11反比例函数综合之四边形存在性问题（压轴） 考点05反比例函数的性质综合 考点12反比例函数综合之其他存在性问题（压轴） 考点06已知比例系数求特殊图形的面积（重点题） 考点13反比例函数综合之定值定点类问题（压轴） 考点07根据图形面积求比例系数（重点题） 地 城 考点01 判断是否为反比例函数 1．(23-24九上·四川成都高新技术产业开发区·期末)下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24九上·四川成都青羊区树德实验中学·期末)下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·四川成都双流区·期末)下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（      ） A． B． C． D． 4．(22-23九上·四川成都第七中学·期末)下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 5．(22-23九上·四川成都锦江区·期末)下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 根据反比例函数的定义求参数 1．(22-23九上·四川成都新都区·期末)若反比例函数经过点，则k的值为（　　） A．4 B．2 C． D． 2．(23-24九上·四川成都实验外国语学校·期末)若y关于x的函数是反比例函数，则a的值为 ． 3．(23-24九上·四川成都简阳·期末)已知是反比例函数，则 ． 4．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)已知反比例函数的图象经过A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标可能是 （写一个即可）． 地 城 考点03 已知双曲线的分布求参数 1．(24-25九上·四川成都郫都区·期末)若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的值不可能为（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·四川成都实验外国语学校·期末)若反比例函数的图像在第二、四象限，则它的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·四川成都锦江区锦江区嘉祥外国语学校·期末)若有六张完全一样的卡片正面分别写有，，0，1，2，3，现背面向上，其上面的数字能使关于x的分式方程的解为正数，且使反比例函数的图象过第一、三象限的概率为 ． 5．(22-23九上·四川成都龙泉驿区·期末)反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是 ． 地 城 考点04 利用反比例函数的增减性比较大小 1．(24-25九上·四川成都温江区·期末)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川成都东部新区·期末)若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)已知点（x1，y1），（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2 4．(22-23九上·四川成都温江区·期末)若点、、在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是 ． 5．(22-23九上·四川成都·期末)函数（m为常数）的图像上三点（—1，）、（，）、（，），则函数值、、的大小关系是 . 6．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)已知点，都在函数的图象上，则的大小关系是 ． 7．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)若点，都在反比例函数的图像上，则 （填“”或“”）． 8．(22-23九上·四川成都大邑县·期末)已知点和在反比例函数的图象上，则与的大小关系是 ． 9．(23-24九上·四川成都简阳·期末)已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系用“”表示为 ． 10．(23-24九上·四川成都双流区·期末)若点，在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是 ． 11．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)已知点，在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 12．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)如果点，，都在反比例函数的图象上，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 13．(24-25九上·四川成都青白江区·期末)已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 14．(24-25九上·四川成都新都区·期末)若反比例函数的图象上有三个点，，，则有（   ） A． B． C． D． 15．(23-24九上·四川成都温江区·期末)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 反比例函数的性质综合 1．(24-25九上·四川成都天府新区·期末)对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象分布在第一、三象限 B．图象经过点 C．过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1 D．若点，都在图象上，且，则 2．(23-24九上·四川成都金牛区·期末)关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象经过点 D．若点，在图象上，且，则 3．(23-24九上·四川成都锦江区锦江区嘉祥外国语学校·期末)下列关于反比例函数的说法正确的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象过点 D．图象是中心对称图形 4．(23-24九上·四川成都武侯区成都西川中学·期末)关于反比例函数的图象性质，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 5．(21-22九上·四川成都武侯区·期末)关于反比例函数y的图象与性质，下列说法正确的是（　　） A．图象分布在第二、四象限 B．y的值随x值的增大而减小 C．当x＞﹣2时，y＜﹣3 D．点（1，6）和点（6，1）都在该图象上 6．(20-21九上·四川成都龙泉驿区·期末)对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（    ） A．这个函数的图象分布在第二、四象限 B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．点(﹣1，4)在这个函数图象上 D．y随x的增大而增大 地 城 考点06 已知比例系数求特殊图形的面积 1．(23-24九上·四川成都新都区·期末)如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（    ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．保持不变 2．(23-24九上·四川成都双流区·期末)如图，P，Q是反比例函数图象上的两个点，分别过P，Q作x轴，y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形，其面积分别表示为，，，已知，则的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．(22-23九上·四川成都新都区·期末)如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴的正半轴上，若，则的面积为 ． 4．(22-23九上·四川成都锦江区·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在函数的图象上，顶点B在x轴正半轴上，边，分别交的数，的图象于点M，N．连接，若轴，则的面积为 ． 5．(21-22九上·四川成都金牛区·期末)如图，过点O的直线与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C，连接，则的面积为 ． 6．(21-22九上·四川成都武侯区·期末)如图，点P在反比例函数的图象上，连接OP，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则△OPQ的面积为 ． 地 城 考点07 根据图形面积求比例系数 1．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为4，则的值为（    ） A．26 B．16 C．12 D．8 2．(23-24九上·四川成都锦江区锦江区师一学校·期末)反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·四川成都高新区·期末)如图，在平面直角坐标系中，线段两端点分别在轴负半轴，轴负半轴上，△的面积为1，将线段绕平面内一点旋转，点的对应点在反比例函数第一象限的图象上，点的对应点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是点的横坐标的倍，则的值为 ． 4．(24-25上·四川成都天府新区元音中学·期末)以正方形两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，已知正方形的面积为12，则过点D的反比例函数的解析式为 ． 5．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)如图，点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为5，则k的值为 ． 6．(23-24九上·四川成都成都第七中学初中学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为 ． 7．(22-23九上·四川成都武侯区·期末)如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，连接，．若，则的值为 ． 8．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线（k≠0，x＞0）经过AB、BC的中点N、F，连接ON、OF、NF．若S△BFN＝3，则k＝ ． 9．(24-25九上·四川成都金牛区成都七中万达学校·期末)如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC．OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，若，且的面积是6，则k的值为 ． 地 城 考点08 反比例函数综合之面积问题 1．(22-23九上·四川成都大邑县·期末)如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于两点，交反比例函数图象于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点E是线段上一点，若，求E点的坐标； (3)请你根据图象直接写出不等式的解集． 2．(23-24九上·四川成都简阳·期末)如图，反比例函数的图象与直线交于点，在射线上取一点，过点作轴的垂线分别交反比例函数的图象和轴于点和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时， ①求点的坐标； ②求的面积． 3．(22-23九上·四川成都金牛区·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数的解析式与点的坐标； (2)连接、，求的面积； (3)点是反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标． 4．(21-22九上·四川成都双流区·期末)如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴相交于点A，B，与双曲线y2＝分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E．已知OA＝4，OE＝OB＝2． (1)求直线AB和反比例函数的表达式； (2)在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．(21-22九上·四川成都金牛区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与x轴交于点B（6，0），与反比例函数（）的图象交于A，C两点，已知点A的纵坐标为4． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，当△PAC的面积为10时，求点P的坐标． 6．(24-25九上·四川成都龙泉驿区·期末)如图，已知是正比例函数函数的图象与反比例函数的图象的交点． (1)求反比例函数和正比例函数的解析式； (2)B为双曲线上点A右侧一点，连接．若的面积为15，求点B的坐标． 地 城 考点09 反比例函数综合之相似类问题 1．(24-25九上·四川成都温江区·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为． (1)求点坐标及反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 2．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在直线上方的反比例函数的图象上取一点，连接，，，且的面积为． ①求点的坐标； ②点在轴上，直线与反比例函数的图象只有一个交点，在直线的上方是否存在点，使得？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)如图所示，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是第三象限内一点，的面积为24，求点的坐标； (3)在（2）的条作下，平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点的对应点为，点的对应点在的图象上，求位似中心的坐标． 4．(23-24九上·四川成都高新区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．     (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线l，交一次函数的图象于点D，交反比例函数的图象于点E． ⅰ)若，求线段的长； ⅱ)将反比例函数的图象沿直线l翻折，翻折后的图象与一次函数的图象有两个交点M，N(点N的横坐标大于点M的横坐标)，连接，，若，求点P的坐标． 5．(23-24九上·四川成都双流区·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，过A作x轴的垂线，垂足为C． (1)求m和k的值； (2)点D在反比例函数的图象上且位于直线下方，过点D作x轴的垂线，交x轴于点E，若以点D，E，C为顶点的三角形与相似，请求出所有符合条件的点D坐标． 6．(23-24九上·四川成都经开区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象的一个交点为，另一个交点为点． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在反比例函数第一象限的图像上，且的面积为，求点的坐标； (3)是第二象限内一点，连接，以为位似中心画，使它与位似，相似比为．若点恰好都落在反比例函数图象上，求出点的坐标． 7．(23-24九上·四川成都金牛区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点在轴上，以、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标； (3)点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为时，求点的坐标． 8．(23-24九上·四川成都锦江区成都石室天府中学·期末)综合与探究：如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足． (1)求，的表达式； (2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在y轴上是否存在一点M，使得与相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 地 城 考点10 反比例函数综合之三角形存在性问题 1．(24-25九上·四川成都高新区·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于，两点． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)过点的直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，在，，三点中，当其中一点是另两点连线的中点时，求点的坐标； (3)过点的直线与反比例函数在第三象限的图象交于点，在线段上取点，使若是以为腰的等腰三角形，求直线的函数表达式． 2．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与轴和轴分别相交于，两点．经过点的直线与该反比例函数图象在第一象限内相交于另一点，且满足，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，若直线恰好经过原点，求的值； (3)设直线与轴负半轴相交于点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标． 3．(23-24九上·四川成都锦江区锦江区嘉祥外国语学校·期末)正方形的边长为4，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点E，求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，是经过点E的双曲线与交于点P，当为等腰三角形时，求m的值． 4．(23-24九上·四川成都青羊区树德实验中学·期末)如图，已知反比例函数与一次函数交于，N两点．    (1)求M，N两点的坐标； (2)求的面积？ (3)若反比例函数在第一象限上存在一点P，使得是以为腰的等腰三角形，求P点坐标？ 5．(22-23九上·四川成都武侯区·期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形相交于两点，点分别在轴和轴的正半轴上，点的纵坐标为3，点的横坐标为1． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，，与相交于点． ⅰ）求证：； ⅱ）连接，当是直角三角形时，求此时的长． 地 城 考点11 反比例函数综合之四边形存在性问题 1．(24-25上·四川成都石室天府中学（两校区）·模拟)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，轴上的点，作直线． (1)求反比例函数的解析式； (2)直线与轴交于点，连接，． ①在直线上找点，使得，求出所有点的坐标； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 2．(24-25九上·四川成都新都区·期末)如图，直线与反比例函数图象的交点分别为P，Q，且点P的坐标为，过点P作轴，垂足为B．直线与x轴交于点A，与y轴交于点C． (1)求k的值； (2)若点D是反比例函数图象上的一点，且在点P的右侧，连接，若，求点D的坐标； (3)若M为y轴上一个动点，N为平面内一点，当以M，N，P，Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出M的坐标． 3．(23-24九上·四川成都实验外国语学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数过第一象限的点且与一次函数交于A，B两点， (1)求反比例函数的表达式并写出点A的坐标； (2)若一次函数经过点A、C，求一次函数的解析式，请直接写出当时x的取值范围； (3)点P是反比例函数图像上位于第一象限异于C的一点，在平面内是否存在点Q使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在请求出点P的坐标并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．(23-24九上·四川成都东部新区·期末)如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴，轴分别交于点，． (1)求的值及反比例函数的解析式； (2)将线段沿轴向右平移得到，当点在反比例函数图象上时，求四边形的面积． (3)点是点关于原点的对称点，以为边长作等边，点是平面上一点，若以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标． 5．(23-24九上·四川成都新都区·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点与轴交于点，交轴于点． (1)求k，b的值； (2)若点是反比例函数的图象上的一动点，连接，，当的面积等于15时，求的坐标； (3)在反比例函数图象上存在一点D，若点Q为坐标轴上一动点，当以A，B，D，Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 6．(22-23九上·四川成都新都区·期末)如图，直线（）的图象与双曲线的图象相交于点和点，点是轴上的一个动点． (1)求出点的坐标． (2)连接，若的面积为，求此时点的坐标． (3)点为平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出相应的点的坐标，若不存在，请说明理由． 7．(23-24九上·四川成都温江区·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积； (3)点为轴上任意一点，点为平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 8．(23-24九上·四川成都锦江区锦江区嘉祥外国语学校·期末)如图1，在平面直角坐标系中，，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点D，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，已知点D的坐标为． (1)求直线的解析式及E点的坐标； (2)若y轴上有一动点F，直线上有一动点G．当最小时，求的周长的最小值； (3)如图2，若y轴上有一动点Q，直线上有一动点P，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，求P点的坐标． 地 城 考点12 反比例函数综合之其他存在性问题 1．(23-24九上·四川成都武侯区棕北中学·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点的左侧），连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接交轴于点． (1)若点的纵坐标为6，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，反比例函数图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若的面积为16，求反比例函数的表达式． 2．(23-24九上·四川成都青羊区树德实验中学·期末)如图1，反比例函数与一次函数交于，B两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)如图2，若点E是反比例函数第四象限上一点，当面积最小时，在直线上存在两点，且，求四边形周长的最小值？ (3)如图3，在（2）问条件下，连接，分别交y轴，x轴于C点，D点，连接交x轴于点H，在反比例函数上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的横坐标的范围；若不存在，请说明理由． 3．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．    (1)求反比例函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标． (3)在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由． 4．(23-24九上·四川成都双流区成都天府中学·期末)如图，点P为一次函数与反比例函数的图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为B，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C． (1)求m的值． (2)点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接． ①连接．若，求点M的坐标． ②过点M作于点D，若，求M的坐标． 5．(23-24九上·四川成都武侯区·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C． (1)当时． （ⅰ）分别求A，B两点的坐标； （ⅱ）P为x轴上一动点，当时，求点P的坐标； (2)取点，连接，当时，求k的值． 6．(23-24九上·四川成都成华区·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)已知为反比例函数的图象上一点，满足，求点的坐标． (3)在第四象限反比例函数的图象上是否存在点，使点绕点顺时针旋转得到的对应点恰好落在第二象限反比例函数的图象上?若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 7．(23-24九上·四川成都青羊区·期末)已知点A是反比例函数的图象与正比例函数图象在第三象限的交点，轴于点B，等腰直角三角形的面积等于4． (1)求反比例函数与正比例函数的表达式； (2)直线：图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点N、M，若，求点M的坐标； (3)在（2）问条件下，点P是反比例函数图象第一象限分支上一动点，连接，是否存在直线，作于点Q，使得？若存在求出的表达式，若不存在请说明理由． 8．(23-24九上·四川成都成都第七中学初中学校·期末)如图1，的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点C是线段上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接，当四边形的面积等于24时，求点C的坐标； (3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 地 城 考点13 反比例函数综合之定值定点类问题 1．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接． (1)如图1，设A点坐标为，若，，且． ①求k的值； ②若的面积为，求点B的坐标； (2)如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由． 2．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)如图1，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，平移线段得线段，连接，反比例函数的图象经过点E，交直线于C，D两点． (1)若，求反比例函数的表达式； (2)试探究的值是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由； (3)如图2，取线段的中点F，连接，若，求所在直线的表达式． 3．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)连接，当的面积为30时，求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 反比例函数 13大高频考点概览 考点01 判断是否为反比例函数 考点08反比例函数综合之面积问题（压轴） 考点02根据反比例函数的定义求参数 考点09反比例函数综合之相似类问题（压轴） 考点03已知双曲线的分布求参数 考点10反比例函数综合之三角形存在性问题（压轴） 考点04利用反比例函数的增减性比较大小（重点题） 考点11反比例函数综合之四边形存在性问题（压轴） 考点05反比例函数的性质综合 考点12反比例函数综合之其他存在性问题（压轴） 考点06已知比例系数求特殊图形的面积（重点题） 考点13反比例函数综合之定值定点类问题（压轴） 考点07根据图形面积求比例系数（重点题） 地 城 考点01 判断是否为反比例函数 1．(23-24九上·四川成都高新技术产业开发区·期末)下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的概念，解题的关键是掌握反比例函数的定义．根据反比例函数的概念形如为常数，的函数称为反比例函数进行分析即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，选项A不符合题意； B、是反比例函数，选项B符合题意； C、不是反比例函数，选项C不符合题意； D、不是反比例函数，选项D不符合题意； 故选：B． 2．(23-24九上·四川成都青羊区树德实验中学·期末)下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：A、，y是的反比例函数，不符合题意； B、，，y是x的反比例函数，符合题意； C、，y不是x的反比例函数，不符合题意； D、，y不是x的反比例函数，不符合题意； 故选：B． 3．(24-25九上·四川成都双流区·期末)下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据定义逐项判断，即形如，y是x的反比例函数． 【详解】解：A、由原式得，符合反比例函数的定义，所以A符合题意； B、该函数为正比例函数，所以B不符合题意； C、y既不是反比例函数，也不是正比例函数，所以C题意； D、y既不是反比例函数，也不是正比例函数，所以D不符合题意. 故选：A． 4．(22-23九上·四川成都第七中学·期末)下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义作出判断即可． 【详解】解：A、是正比例函数，故该选项不符合题意； B、，是反比例函数，故该选项符合题意； C、不是反比例函数，故此选项不符合题意； D、是一次函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键，形如（k为常数，）的函数，叫反比例函数． 5．(22-23九上·四川成都锦江区·期末)下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】四川省成都市锦江区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题 【分析】根据反比例函数的定义，即可判断． 【详解】解：A、，y是x的反比例函数，故A符合题意； B、，y不是x的反比例函数，故B不符合题意； C、，y不是x的反比例函数，故C不符合题意； D、，y不是x的反比例函数，故D不符合题意； 故选：A． 地 城 考点02 根据反比例函数的定义求参数 1．(22-23九上·四川成都新都区·期末)若反比例函数经过点，则k的值为（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式．把点代入函数解析式来求k的值即可． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴． 故选：A． 2．(23-24九上·四川成都实验外国语学校·期末)若y关于x的函数是反比例函数，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】根据反比例函数，列出等式，不等式解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，绝对值的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数，且函数是反比例函数， ∴，且， ∴，且或， ∴， 故答案为：3． 3．(23-24九上·四川成都简阳·期末)已知是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义得出，，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解： 是反比例函数， ，， 解得：， 故答案为：． 4．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)已知反比例函数的图象经过A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标可能是 （写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过A，B两点，点A的坐标为， ∴反比例函数， 不妨设点，则 ， 故答案为：（答案不唯一）． 地 城 考点03 已知双曲线的分布求参数 1．(24-25九上·四川成都郫都区·期末)若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的值不可能为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，由题中反比例函数的图象位于第一、三象限，可知，结合四个选项即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ，只有， 故选：A． 2．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据图象位于第二、四象限时，反比例函数的比例系数，可知，即可得到答案． 【详解】解：根据反比例图象的性质可知： ， ∴． ∴A、C、D选项错误，不符合题意；B选项正确，符合题意． 故选项为：D． 3．(24-25九上·四川成都实验外国语学校·期末)若反比例函数的图像在第二、四象限，则它的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义及图象经过第二、四象限时，判断即可． 【详解】解：、对于函数，是反比例函数，其，图象位于第二、四象限； 、对于函数，是正比例函数，不是反比例函数； 、对于函数，是反比例函数，图象位于一、三象限； 、对于函数，是二次函数，不是反比例函数； 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数、反比例的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案． 4．(23-24九上·四川成都锦江区锦江区嘉祥外国语学校·期末)若有六张完全一样的卡片正面分别写有，，0，1，2，3，现背面向上，其上面的数字能使关于x的分式方程的解为正数，且使反比例函数的图象过第一、三象限的概率为 ． 【答案】/0.5 【详解】本题主要考查了概率公式；求出使分式方程有正数解的情况是解决本题的关键． 依据题意，由关于x的分式方程的解为正数，从而，且，故可得k的范围，再由反比例函数图象过第一、三象限，进而可以求出k的可能值，然后由概率公式进行计算可以得解． 【解答】解：∵关于x的分式方程的解为正数， ∴且． ∴，且． ∴，0，2，3． 又∵反比例函数图象过第一，三象限， ∴，即． ∴，0，2． 综上，k的取值共有6种等可能情形， ∴满足题意的概率为：． 故答案为：． 5．(22-23九上·四川成都龙泉驿区·期末)反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象在第一、三象限可知，即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数的图象，解题的关键是理解时反比例函数图象在一、三象限；时反比例函数图象在二、四象限． 地 城 考点04 利用反比例函数的增减性比较大小 1．(24-25九上·四川成都温江区·期末)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 根据k＝4＞0可得反比例函数图象在第一、三象限，每个象限中，y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，每个象限中，随的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴点在第三象限，，在第一象限， ∴ ， 故选：B． 2．(24-25九上·四川成都东部新区·期末)若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，根据题意判断出反比例函数的图像所在的象限及在各象限内的增减性是解答此题的关键． 【详解】解：点，，在反比例函数的图像上， ，，， ，在反比例函数的图像上，在每一象限内随的增大而减小， ， ，，的大小关系是：． 故选：B． 3．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)已知点（x1，y1），（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2 【答案】A 【分析】根据反比例函数系数k和增减性的关系求解即可．对于反比例函数y＝，当k＞0时，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内y随x的增大而增大． 【详解】∵反比例函数y＝中的k＝5＞0， ∴反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，且在每一象限内y的值随x的值增大而减小． ∵（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2，即这两点都位于第一象限， ∴y1＞y2． 故选：A． 【点睛】此题考查了反比例函数图像的增减性，解题的关键是熟练掌握系数k和增减性的关系．对于反比例函数y＝，当k＞0时，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内y随x的增大而增大． 4．(22-23九上·四川成都温江区·期末)若点、、在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质得出函数的图像在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，即可比较、、的大小． 【详解】解：∵反比例函数的解析式是， ∴，函数的图像在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点、、在反比例函数的图像上， ∴点A和B在第一象限，点C在第三象限， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 5．(22-23九上·四川成都·期末)函数（m为常数）的图像上三点（—1，）、（，）、（，），则函数值、、的大小关系是 . 【答案】； 【分析】由题目可知k=+1＞0（m为常数）.在反比例函数中，当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小.根据反比例函数的单调性即可记性判断. 【详解】在反比例函数中，k+1＞0， 则在每一象限内，y随x的增大而减小， 已知函数（m为常数）的图像上的三点中： （—1，）、（，）、（，）， 0＞—1＞（图像位于第三象限）， ＞0（图像位于第一象限）， 根据反比例函数的单调性知：0＞＞，＞0， 综合比较得知：＞＞. 【点睛】本题主要考查反比例函数的单调性. 当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小； 当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大. 6．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)已知点，都在函数的图象上，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 把横坐标分别代入关系式求出纵坐标，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，都在函数的图象上， ∴，， ∴ 故答案为：． 7．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)若点，都在反比例函数的图像上，则 （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，理解并掌握反比例函数的性质是解题关键．根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图像过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点，都在反比例函数图像上，且， ∴． 故答案为：． 8．(22-23九上·四川成都大邑县·期末)已知点和在反比例函数的图象上，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的图象和性质，即可解答，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴此函数的图象分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵，且这两点都在第二象限， ∴， 故答案为：． 9．(23-24九上·四川成都简阳·期末)已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系用“”表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例数图象的性质，掌握反比例数图象的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，可得图象分布在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小，则，． 【详解】解：∵图象分布在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小，则，， ∴， 故答案为：． 10．(23-24九上·四川成都双流区·期末)若点，在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，由于反比例函数的图象在二、四象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵反比例函数， ∴图象位于二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大． ∵点，在反比例函数的图象上，且，， ∴点，不在同一象限，则点在第四象限，点在第二象限． ∴， 解得． 故答案为：． 11．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)已知点，在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：反比例函数的，反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， A、当时，，则，正确，符合题意； B、当时，，则，原说法错误，不符合题意； C、当时，，则，原说法错误，不符合题意； D、当时，，则，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 12．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)如果点，，都在反比例函数的图象上，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的图象和性质，根据 可知反比例函数在第二，四象限内y随着x的增大而增大，且在第二象限，在第四象限，进一步判断即可。 【详解】解：∵, ∴反比例函数在第二，四象限内y随着x的增大而增大，且在第二象限，在第四象限，, ∴，，， 又∵， ∴, ∴． 故选：D 13．(24-25九上·四川成都青白江区·期末)已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握对于反比例函数，当时，图象的两个分支在第一、三象限内变化，且在每一个象限内，随的增大而减小；当时，图象的两个分支在第二、四象限内变化，且在每一个象限内，随的增大而增大． 将点分别代入反比例函数的表达式求出，进而再比较大小即可． 【详解】解：代入，得； 代入，得； 代入，得； 代入，得； ∴． 故选：C． 14．(24-25九上·四川成都新都区·期末)若反比例函数的图象上有三个点，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握上述知识点是解题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出的大小关系即可． 【详解】解：， 此函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小， ， 点，在第一象限， ， ， 点在第三象限， ， ． 故选：A． 15．(23-24九上·四川成都温江区·期末)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，特别注意，反比例函数的增减性质是指它们在每个象限内的增减情况，而不是整个自变量的取值范围内的增减情况． 对于反比例函数，其图象分别在第一、三象限，且在每个象限内函数值随自变量的增大而减小，因A，C两点在第一象限，且，则有 ，点B在第三象限，所以，从而可得结果． 【详解】解：∵， ∴的图象在第一、三象限，且A，C两点在第一象限，点B在第三象限， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 地 城 考点05 反比例函数的性质综合 1．(24-25九上·四川成都天府新区·期末)对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象分布在第一、三象限 B．图象经过点 C．过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1 D．若点，都在图象上，且，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、， 反比例函数图象分布在第二、四象限， 故该选项不符合题意； B、， 反比例函数图象不经过点， 故该选项不符合题意； C、设， ， 过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1， 故该选项符合题意； D、当时，， 故该选项不符合题意； 故选：C ． 2．(23-24九上·四川成都金牛区·期末)关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象经过点 D．若点，在图象上，且，则 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性及反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 分别根据反比例函数的图象及图象上点的坐标特点、反比例函数的增减性对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴图象在第一、三象限，故本选项错误； B、当时，y随x的增大而减小，故本选项正确； C、∵当时，， ∴图象不经过点，故本选项错误； D、∵图象在第一、三象限，在每一支上，y随x的增大而减小， ∴当时，，故本选项错误； 故选：B． 3．(23-24九上·四川成都锦江区锦江区嘉祥外国语学校·期末)下列关于反比例函数的说法正确的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象过点 D．图象是中心对称图形 【答案】D 【详解】本题考查了反比例函数图象上点的特征，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的性质对每个选项进行判断，即可得出答案． 【解答】解：∵， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在各个象限内，y随x的增大而减小， ∴选项A、B不符合题意； 当时，， ∴选项C不符合题意； ∵反比例函数的是关于原点对称的中心对称图形， ∴选项D符合题意； 故选：D． 4．(23-24九上·四川成都武侯区成都西川中学·期末)关于反比例函数的图象性质，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】此题考查反比例函数的性质．根据反比例函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据反比例函数的性质对B、C、D进行判断． 【详解】解：A、把代入得，则点不在的图象上，所以本选项不符合题意； B、，则双曲线的两支分别位于第一、第三象限，所以本选项不符合题意； C、当时，y随x的增大而减小，所以本选项不符合题意； D、当时，，所以本选项符合题意． 故选：D． 5．(21-22九上·四川成都武侯区·期末)关于反比例函数y的图象与性质，下列说法正确的是（　　） A．图象分布在第二、四象限 B．y的值随x值的增大而减小 C．当x＞﹣2时，y＜﹣3 D．点（1，6）和点（6，1）都在该图象上 【答案】D 【分析】根据反比例函数解析式结合反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为y， ∴反比例函数经过一、三象限，且在每个象限内y的值随x值的增大而减小，故A、B不符合题意； ∴当x＞0时，y＞0，故C不符合题意； 当x=1时，y=6，当x=6时，y=1， ∴点（1，6）和点（6，1）都在该图象上，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键． 6．(20-21九上·四川成都龙泉驿区·期末)对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（    ） A．这个函数的图象分布在第二、四象限 B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．点(﹣1，4)在这个函数图象上 D．y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象和性质逐个进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分布在一、三象限，因此选项A不符合题意； B．反比例函数的图象是关于原点为对称中心的中心对称图形，同时也是以直线y＝x，直线y＝﹣x为对称轴的轴对称图形，因此选项B符合题意； C．点（﹣1，4）的坐标不满足，因此点（﹣1，4）不在该函数的图象上，故选项C不符合题意； D．函数，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而减少，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，理解和掌握反比例函数的图象和性质是正确判断的前提． 地 城 考点06 已知比例系数求特殊图形的面积 1．(23-24九上·四川成都新都区·期末)如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（    ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，根据k的几何意义求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， 则的面积为：， 即的面积保持不变， 故选：D． 2．(23-24九上·四川成都双流区·期末)如图，P，Q是反比例函数图象上的两个点，分别过P，Q作x轴，y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形，其面积分别表示为，，，已知，则的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义，得，，再根据得，，进而可得的值． 【详解】解：∵点P，Q在反比例函数的图象上，且是三个相邻且不重叠的小矩形， ∴根据反比例函数比例系数的几何意义，得：， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．(22-23九上·四川成都新都区·期末)如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴的正半轴上，若，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，等腰三角形的性质，过点A作于点C，先根据反比例函数k的几何意义求出，根据等腰三角形性质即可求出，即可得到答案； 【详解】解：过点A作于点C，如图所示： 根据反比例函数比例系数的几何意义得： ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 4．(22-23九上·四川成都锦江区·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在函数的图象上，顶点B在x轴正半轴上，边，分别交的数，的图象于点M，N．连接，若轴，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】设M点的坐标为，N点的坐标为，表示出，根据相似，求出，，进而求出的面积． 【详解】∵轴， ∴，点M，N的纵坐标相同， 设M点的坐标为，N点的坐标为， ∴， 如图，过点M作轴，点A作轴， ∴， 根据反比例函数与三角形的面积关系可得：，， ∴， ∵相似三角形中面积比等于相似比的平方， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵M点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查反比例函数与三角形面积的关系，解题的关键是根据题意作出相应的辅助线，并通过设坐标法进行求解． 5．(21-22九上·四川成都金牛区·期末)如图，过点O的直线与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC= ，由于对称性可知：△AOC与△BOC的面积相等，从而可求出答案． 【详解】解：∵点A反比例函数的图象上，过点A作AC⊥x轴于点C， ∴S△AOC= ， ∵过点O的直线与反比例函数的图象交于A、B两点， ∴OA=OB， ∴S△BOC=S△AOC= 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的对称性，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型． 6．(21-22九上·四川成都武侯区·期末)如图，点P在反比例函数的图象上，连接OP，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则△OPQ的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：由题意可得，△OPQ的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，过反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 地 城 考点07 根据图形面积求比例系数 1．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为4，则的值为（    ） A．26 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例系数的几何意义，反比例函数图象上的点的坐标的特征．过作轴于，证明，求得，，得到，即可确定的值． 【详解】解：过作轴于，如图： 轴，轴， ， ， ，点是的中点， ， ， ，， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：B． 2．(23-24九上·四川成都锦江区锦江区师一学校·期末)反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， ∴ ∴ ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 3．(24-25九上·四川成都高新区·期末)如图，在平面直角坐标系中，线段两端点分别在轴负半轴，轴负半轴上，△的面积为1，将线段绕平面内一点旋转，点的对应点在反比例函数第一象限的图象上，点的对应点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是点的横坐标的倍，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，坐标与图形变化旋转，明确三角形的面积等于三角形的面积是解题的关键．令点关于中心点的对应点为，由旋转的性质可知，，，，，故可设，则，由三角形面积公式可得，解得． 【详解】解：令点关于中心点的对应点为， 由旋转的性质可知，，，，，， 设，则， 由题意可知， 解得． 故答案为：3． 4．(24-25上·四川成都天府新区元音中学·期末)以正方形两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，已知正方形的面积为12，则过点D的反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．根据正方形的性质可求得第一象限的小正方形的面积，再根据反比例函数系数k的几何意义得答案便可． 【详解】解：∵正方形的面积为12， ∴， ∴． ∴过点D的反比例函数的解析式为 故答案为：． 5．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)如图，点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为5，则k的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握几何意义求出反比例函数k值是解题的关键； 点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，利用几何意义，表示出，，再利用阴影部分的面积为5，得出，由此解出k即可． 【详解】如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 点A、B在第一象限， ， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 阴影部分的面积为5， ， ， 解得：． 故答案为：7． 6．(23-24九上·四川成都成都第七中学初中学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义、轴对称中最小距离问题、勾股定理、正方形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 由正方形的边长是3，得到点D的横坐标和点E的纵坐标为3，求得，，根据三角形的面积列方程得到，，作E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，则的长的最小值，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵正方形的边长是3， ∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3， ∴，， ，， ∵的面积为4， ，解得：或（舍去）， ∴，， 作E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，则的长的最小值， ∴， ∴，， ，即的最小值为． 故答案为． 7．(22-23九上·四川成都武侯区·期末)如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，连接，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】令与轴的交点为，由轴得，从而可得，即可求得的值． 【详解】解：令与轴的交点为，如图所示， 轴， 轴， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数上任意一点，作坐标轴的垂线，与原点构成的三角形的面积等于的一半，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 8．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线（k≠0，x＞0）经过AB、BC的中点N、F，连接ON、OF、NF．若S△BFN＝3，则k＝ ． 【答案】12 【分析】先求出点N坐标，利用待定系数法即可解决问题； 【详解】解：∵N、F是AB、BC的中点， ∴BF＝BC，BN＝， S△BFN＝3， ∴BF•BN＝••＝3， ∴BC•AB＝24， ∵四边形ABCO是正方形， ∴OA＝AB＝BC＝CO＝2， ∵N是AB中点， ∴AN＝BN＝， ∴N（2，）， 把N（2，）代入，得到k＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，求出点N坐标是解题的关键． 9．(24-25九上·四川成都金牛区成都七中万达学校·期末)如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC．OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，若，且的面积是6，则k的值为 ． 【答案】 【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数． 【详解】解：∵四边形OCBA是矩形， ∴AB=OC，OA=BC， 设B点的坐标为（a，b）， ∵BD=3AD， ∴D（a，b） ∵D、E在反比例函数的图象上， ∴=k， 设E的坐标为（a，y）， ∴ay=k ∴E（a，）， ∵， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形在平面直角坐标系中的坐标，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式． 地 城 考点08 反比例函数综合之面积问题 1．(22-23九上·四川成都大邑县·期末)如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于两点，交反比例函数图象于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点E是线段上一点，若，求E点的坐标； (3)请你根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）设，先求得点D坐标，由列方程求解即可； （3）根据图象，找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分的点的横坐标即可求解． 【详解】（1）解：把代入得， ∴反比例函数解析式为， 把代入得，解得， ∴， 把，代入， 得，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设， 当时，，则， ∵， ∴， 解得， ∴E点坐标为； （3）解：结合图象得当或时，， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形，此题难度适中，会利用数形结合思想和方程思想解决问题是解答的关键． 2．(23-24九上·四川成都简阳·期末)如图，反比例函数的图象与直线交于点，在射线上取一点，过点作轴的垂线分别交反比例函数的图象和轴于点和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时， ①求点的坐标； ②求的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】根据点是反比例函数和直线的交点即可求出和的值； ①先证，推得即可求，即的横坐标，代入直线解析式即可求解； ②先求的坐标，再根据即可求解． 【详解】（1）解：把代入中， ， ， 把代入得，， 反比例函数的解析式为． （2）解：①过点作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， 在直线上， 点； ②设点， 在反比例函数上， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求图形的面积、相似三角形的判定与性质综合，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题． 3．(22-23九上·四川成都金牛区·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数的解析式与点的坐标； (2)连接、，求的面积； (3)点是反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)，点 (2) (3) 【分析】（1）首先根据一次函数可求得A的坐标，再将A代入反比例函数中可求得反比例函数的解析式，联立二函数可得点B的坐标． （2）求得与轴的交点坐标后即可求出面积． （3）设点，由已知可得斜率，从而求出点D坐标． 【详解】（1）点在一次函数的图象上，，点， 点在反比例函数的图象上，，； 联立，解得：，，点； （2）设与轴的交点为点，则点，， ； （3）设点，，， ，，（舍），． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合知识，解题的关键在于找到关键点，从而突破思路． 4．(21-22九上·四川成都双流区·期末)如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴相交于点A，B，与双曲线y2＝分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E．已知OA＝4，OE＝OB＝2． (1)求直线AB和反比例函数的表达式； (2)在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据题意点A，B的坐标分别为（-4，0），（0，2），利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得C的坐标，将点C的坐标代入y2=，即可求得反比例函数的解析式； （2）设点P的坐标为（0，t）则S△CEO=CE•OE=3，即可得到S△ABP=BP•OA=×|2-t|×4=2×|2-t|=3，解得t的值，即可求得P的坐标． 【详解】（1）在Rt△AOB中，OA=4，OE=OB=2， ∴点A，B的坐标分别为（-4，0），（0，2）， 将点A，B的坐标代入直线的表达式，得， 解得， ∴直线AB的表达式为y1=x+2， 当x=2时，y1=x+2=3， ∴点C的坐标为（2，3）， 将点C的坐标代入y2=得：3=，解得m=6， ∴反比例函数的表达式y2=； （2）存在， 设点P的坐标为（0，t） 则S△CEO=CE•OE=×2×3=3， 而S△ABP=BP•OA=×|2-t|×4=2×|2-t|=3， 解得t=或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是用绝对值的方法确定PB的长度． 5．(21-22九上·四川成都金牛区·期末)在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与x轴交于点B（6，0），与反比例函数（）的图象交于A，C两点，已知点A的纵坐标为4． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，当△PAC的面积为10时，求点P的坐标． 【答案】(1)点A坐标为（－2，4）， (2)P坐标为（2，0）或（10，0） 【分析】（1）把的坐标代入求得，然后根据待定系数法即可求得一次函数和反比例函数的解析式； （2）解析式联立成方程组，解方程组求得的坐标，然后根据三角形面积公式得到，求得的长，即可求得的坐标； 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得， 一次函数解析式为， 点在直线上，且点的纵坐标为4， ， 解得， 点坐标为 反比例函数经过点， ， 反比例函数解析式为 （2）解：由 解得或， 点坐标为， ， 解得， ， 点坐标为或． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，解题的关键是注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 6．(24-25九上·四川成都龙泉驿区·期末)如图，已知是正比例函数函数的图象与反比例函数的图象的交点． (1)求反比例函数和正比例函数的解析式； (2)B为双曲线上点A右侧一点，连接．若的面积为15，求点B的坐标． 【答案】(1)y=2x， (2)（8，1） 【分析】（1）将点A分别代入两个函数解析式即可； （2）连接OB，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，根据题意得=，设B（，n），得到，解方程即可求出点B的坐标． 【详解】（1）解：将点A（2，4）代入，得2k=4， 解得k=2， ∴正比例函数解析式为y=2x； 将将点A（2，4）代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）连接OB，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N， ∴， ∴=， 设B（，n）， ∴， 整理得， 解得n1=1，n2=-16（舍去）， ∴B（8，1）． 【点睛】此题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，由函数图象求几何图形的面积，正确理解反比例函数k值的几何意义是解题的关键． 地 城 考点09 反比例函数综合之相似类问题 1．(24-25九上·四川成都温江区·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为． (1)求点坐标及反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将点的坐标代入之中，求出的值，即可得出反比例函数的表达式；联立方程组，解方程组，即可得出点的坐标； （2）连接，过点作轴于点，过点作轴于点F，，的延长线交于点，分别求出，，再根据反比例函数比例系数的几何意义得，由此即可得出的面积； （3）过点作轴交轴于点，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，得出，，结合勾股定理求出，得出，分为两种情况：①当时，根据相似三角形的判断和性质得出，求出，得出点的坐标；②当时，根据相似三角形的判断和性质得出，求出，得出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点 在反比例函数的图象上， 故将代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为：． ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， 联立，解得或， ∴另一个交点的坐标为． （2）解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点F，，的延长线交于点，如图： 则， ∴四边形是矩形， ∵点 ，点 ， ∴，，，， ∴，， ∴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， 又∵， ∴． （3）解：过点作轴交轴于点，如图： ∵点的坐标为， ∴，， 对于一次函数，当时，，当时，， 即点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵轴上存在一点，使与相似， ∴有以下两种情况， ①当时，如图： 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标是； ②当时，如图： 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标是； 综上所述：点P的坐标是或． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题，反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握求反比例函数与一次函交点坐标的方法，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 2．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在直线上方的反比例函数的图象上取一点，连接，，，且的面积为． ①求点的坐标； ②点在轴上，直线与反比例函数的图象只有一个交点，在直线的上方是否存在点，使得？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②的坐标为或． 【分析】（1）把代入可得反比例函数解析式；再联立可得的坐标； （2）①先求解直线为，如图，过作轴交直线于，可得 ，可得，设，则，再进一步建立方程求解即可；②如图，当轴时，直线与反比例函数的图象只有一个交点，过作轴，作于，作于，由，可得，证明，再进一步求解即可；当与反比例函数相切时，如图，设直线为，结合直线与反比例函数只有1个交点，，求解直线为，过作轴于，过作于，，由为对应点，可得，过作轴，作于，作于，同理进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上． ∴， ∴反比例函数为， ∵正比例函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象相交于点， ∴， 解得：， ∴，， ∴； （2）解：①∵，， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 如图，过作轴交直线于， ∴ ， ∵的面积为， ∴， ∴， 设，则， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴； ②如图，当轴时，直线与反比例函数的图象只有一个交点， 过作轴，作于，作于， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 当与反比例函数相切时，如图， ∵直线过定点， 设直线为， ∵直线与反比例函数只有1个交点， ∴有两个相等的实数根， 整理得：， ∴， 解得：， ∴直线为， 令，则， ∴， 过作轴于，过作于，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴为对应点， ∴为中点， ∵，， ∴， 同理：， ∴，， 过作轴，作于，作于， 同理可得：，，， ∴， ∴，， ∴； 综上：的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形面积，一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)如图所示，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是第三象限内一点，的面积为24，求点的坐标； (3)在（2）的条作下，平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点的对应点为，点的对应点在的图象上，求位似中心的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)当时，位似中心的坐标为；当时，位似中心的坐标为 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，以及位似中心等知识点； （1）先把代入反比例函数中求出m，再把代入求出a，最后把A，B代入一次函数求出即可； （2）根据面积公式列出方程求解即可； （3）过点作轴的垂线，垂足为，过点作的垂线，交与点，可得即可得出D的坐标，即可得出结论； 【详解】（1）解：点是反比例函数与一次函数的交点， ，， 反比例函数的表达式为， 将点代入反比例函数， ， 点的坐标为， 将代入一次函数中， ， ， 一次函数的函数表达式为； （2）点的坐标为，点的坐标为， 轴， ， ， ，则点的坐标为； （3）在正方形中，， 过点作轴的垂线，垂足为， 过点作的垂线，交与点， ∴，， ∴ ， 点， 如图，当正方形和正方形是位似图形时， 点的对应点为，点的对应点在的图象上， 不妨设点的对应点为，点的对应点为，则， 设 ， ， ， ∴ 设直线表达式为 ∵过点， ， 解得：， ， 与相交与点， ，解得：或， 或 设的解析式为： 当时，将，代入得 解得： ∴ ∵由位似中心为对应点连线的交点， 当时，， ∴与的交点为 ∴当时，位似中心的坐标为， 当时，将，代入得 解得： ∴ ∵由位似中心为对应点连线的交点， 当时，， ∴与的交点为 当时，位似中心的坐标为． 综上：当时，位似中心的坐标为；当时，位似中心的坐标为 4．(23-24九上·四川成都高新区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．     (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线l，交一次函数的图象于点D，交反比例函数的图象于点E． ⅰ)若，求线段的长； ⅱ)将反比例函数的图象沿直线l翻折，翻折后的图象与一次函数的图象有两个交点M，N(点N的横坐标大于点M的横坐标)，连接，，若，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)ⅰ)或 ⅱ)点P的坐标为 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的综合问题，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质综合等知识，利用数形结合思想是解题的关键． （1）将点代入一次函数和反比例函数的解析式即可求出a、k，从而得出反比例函数的表达式，令解出x即可得出点B的坐标； （2）ⅰ)设点P的坐标为，，用m表示出点D、E的坐标，从而求出、，利用列方程求解出m，继而得解； ⅱ)由求得，从而求出点N的坐标，继而求出其关于直线l对称的对称点的坐标，代入反比例函数解析式可求出m，从而得解． 【详解】（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点 ∴，解得：， ∴，反比例函数的表达式为， ∵令得：， ∴； （2）ⅰ)设点P的坐标为，， ∵过点P作x轴的垂线l交一次函数的图象于点D，交反比例函数的图象于点E， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， ∴解得：，，， ∵， ∴或2， ∴或； ⅱ)∵， ∴ ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 过点A作，垂足为H，过点N作轴，垂足为G，则， ∵， ∴， ∴， ∵，垂足为H，， ∴，， ∴，， ∴ 设点N关于直线l的对称点为， ∴， ∵将反比例函数的图象沿直线l翻折，翻折后的图象与一次函数的图象有两个交点M，N， ∴在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 5．(23-24九上·四川成都双流区·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，过A作x轴的垂线，垂足为C． (1)求m和k的值； (2)点D在反比例函数的图象上且位于直线下方，过点D作x轴的垂线，交x轴于点E，若以点D，E，C为顶点的三角形与相似，请求出所有符合条件的点D坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）把点代入求出，得出A的坐标为，然后求出反比例函数解析式即可； （2）设点，则点，得出，，分两种情况进行讨论，当时，当时，分别求出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：设点在的图象上，则有， 解得：， 则点A的坐标为， 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：． （2）解：∵轴于C，点A的坐标为， ∴， ∵点D在反比例函数的图象上且位于点A左侧且轴于E， 如图，设点，则点， ∴，， ①当时， ∴， 即， 解得或（舍去）， ∴； ②当时， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴， 综上所述满足条件的D的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，求反比例函数解析式，相似三角形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 6．(23-24九上·四川成都经开区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象的一个交点为，另一个交点为点． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在反比例函数第一象限的图像上，且的面积为，求点的坐标； (3)是第二象限内一点，连接，以为位似中心画，使它与位似，相似比为．若点恰好都落在反比例函数图象上，求出点的坐标． 【答案】(1)，反比例函数的表达式为； (2)或； (3)，或，． 【分析】（）求出点坐标，利用待定系数法即可求解； （）设，过点作轴平行线交直线 于，根据，即可求解； （）由题意可得，，直线的解析式为，点，，根据两点间距离公式求得，整理得，进而得到，由点恰好都落在反比例函数图象上得到与反比例函数的交点方程为，即，由根和系数的关系得，求出的值即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将代入得， 解得， ∴， 将代入得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立两个函数得， 解得或， ∴， 设，过点作轴平行线交直线 于， 则点， ∵ ， ∴， ∴， 解得或或(已舍负值)， ∴点的坐标为或； （3）解：∵点，， ∴， ∵与位似，相似比为， ∴， ∴，， 设直线的解析式为，点，， ∴， 整理得，， ∴， ∵点恰好都落在反比例函数图象上， ∴与反比例函数的交点方程为， 即， 由根与系数的关系得，，   解得或， ∴，，或，， ∴，或，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键． 7．(23-24九上·四川成都金牛区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点在轴上，以、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标； (3)点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为、 (3)点的坐标为、 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，正确地求出函数的解析式是解题的关键．（1）把点代入得到反比例函数的解析式为；把代入得到点的坐标为，解方程组得到一次函数的解析式为；（2）设，解方程得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）设点的坐标为，当点在第四象限时，当点在第二象限时，根据三角形的面积列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把点代入得， 反比例函数的解析式为； 把代入得， 点的坐标为， 把和点代入， 解得， 一次函数的解析式为； （2）设， 在中，令，则，令，则， ，， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ， ， ， ，，， ， 解得（不合题意舍去）， 当，， ， 轴， ， 即， 点的坐标为、； （3）设点P的坐标为， ，， 当点在第四象限时，的面积， 解得（不合题意舍去）， 当点在第二象限时，的面积， 解得（不合题意舍去）， 综上所述，点的坐标为、． 8．(23-24九上·四川成都锦江区成都石室天府中学·期末)综合与探究：如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足． (1)求，的表达式； (2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在y轴上是否存在一点M，使得与相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形； （1）过点作轴，交轴于点，证明，求出的长，进而得到点坐标，待定系数法求解析式即可； （2）联立解析式，求出点坐标，分割法求出的面积，利用，求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作轴，交轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵A的坐标为，， ∴，， ∴ ∴， 把代入，得：； 把，代入，得： 解得：， （2）存在；理由如下： ∵， ∴当时， ∴， ∴， 联立，， 解得：或， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 或 （3）存在；理由如下： ∵， ∴； ∴， ∴， ∴当与相似时，点在点上方，，有两种情况， ①，则：， ∴， ∴， ∴； ②，则：， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 地 城 考点10 反比例函数综合之三角形存在性问题 1．(24-25九上·四川成都高新区·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于，两点． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)过点的直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，在，，三点中，当其中一点是另两点连线的中点时，求点的坐标； (3)过点的直线与反比例函数在第三象限的图象交于点，在线段上取点，使若是以为腰的等腰三角形，求直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)或或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式等知识点．分类讨论问题求解是解答本题的关键． （1）把点坐标代入直线的表达式求得即可得到点坐标，然后根据求得反比例函数表达式． （2）先联立直线和反比例函数表达式求解点的坐标，然后分、、三点分别为中点的情况进行计算求出点坐标． （3）分和两种情况进行讨论，根据双曲线图象的性质判定的情况不存在，再利用点在的垂直平分线上由求得点坐标，最后通过、两点坐标由待定系数法求得直线的函数表达式． 【详解】（1）解：将点的坐标代入直线：得： ，则，点坐标为， 根据反比例函数的性质，， 反比例函数的表达式为， 故点坐标为，反比例函数的表达式为 （2）解：联立直线和反比例函数表达式求解点的坐标： ，解得或 点坐标为 当点为的中点， 、两点关于点中心对称． 反比例函数的图象关于原点对称． 故点与平面直角坐标系原点重合，如图所示． 点与点关于原点对称． 、两点横纵坐标分别互为相反数． 点坐标为 当点为的中点时，，如图， 则 ， 点坐标为 当点为中点时，如图． ， 点坐标为 故点的坐标为或或 （3）解：由、两点坐标可得 以为腰的等腰三角形分为两种情况： 当时， 如图，图象与关于直线相交于、两点轴对称． 根据反比例函数图象的性质，图象上两点在第一、三象限之间最短距离为 联立和，解得、坐标分别为、 故这种情况不存在． 当时，点在的垂直平分线上，即在直线上． 如图．直线与反比例函数在第三象限的图象交于点，与直线交于点，过点、分别作轴的垂线与点到轴的垂线分别交于点、，则轴． 设点坐标为，， 根据平行线分线段成比例的性质得： ，，， ，解得； ，解得 又 ， 解得或（负值舍掉）， 点坐标为 设直线表达式为：，代入、两点坐标建立方程组得： ， 解得 故直线的函数表达式为： 2．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与轴和轴分别相交于，两点．经过点的直线与该反比例函数图象在第一象限内相交于另一点，且满足，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，若直线恰好经过原点，求的值； (3)设直线与轴负半轴相交于点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数为 (2) (3) 【分析】（1）把代入可得，再利用待定系数法求解反比例函数解析式即可； （2）如图，记与轴的交点为，设为：，可得，同理：，证明，可得直线为，求解，，再利用待定系数法求解即可； （3）由（2）得：，，设直线为，可得直线为，同理可得：直线与轴的交点，而，，表示，，再结合等腰三角形的定义建立方程求解即可. 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于， ∴，即， ∴， ∴， ∴反比例函数为； （2）解：如图，记与轴的交点为， ∵， ∴设为：， 当时，， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， 解得：或， ∴， 同理：， 解得：或， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：，（舍去）， ∴； （3）解：由（2）得：，， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 同理可得：直线与轴的交点，而，， ∴， ， ∵是以为底边的等腰三角形时， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴. 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的应用，等腰三角形的定义，勾股定理的含义，一元二次方程的解法，本题的计算量大，难度大，确定合适的计算方法是关键. 3．(23-24九上·四川成都锦江区锦江区嘉祥外国语学校·期末)正方形的边长为4，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点E，求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，是经过点E的双曲线与交于点P，当为等腰三角形时，求m的值． 【答案】(1)， (2)2或 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质和正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的边长可确定点的坐标，再利用正方形的性质得出点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可； （2）根据点的坐标求出的长，再分三种情况讨论分别求出的值即可． 【详解】（1）正方形的边长为4，，交于点， ， 点是的中点， ， 将点坐标代入双曲线， 得， 解得， 双曲线的解析式为； （2）正方形边长为4， 由（1）知， ， ①当时， ，，，点、在反比例函数图象上， ， ； ②当时，点与点重合， ，，点、在反比例函数图象上， ， ； ③当时，点、不可能都在反比例函数图象上，故此情况不存在； 综上所述，满足条件的的值为2或． 4．(23-24九上·四川成都青羊区树德实验中学·期末)如图，已知反比例函数与一次函数交于，N两点．    (1)求M，N两点的坐标； (2)求的面积？ (3)若反比例函数在第一象限上存在一点P，使得是以为腰的等腰三角形，求P点坐标？ 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，解方程组求得点的坐标，勾股定理，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，正确的求得点的坐标是解题的关键． （1）将点的坐标代入得到点，将点的坐标代入得到一次函数的表达式为，解方程组即可得到结论； （2）求得，根据即可得到结论； （3）根据勾股定理得到，设 )，①当 时, ②时，解方程即可得到结论． 【详解】（1）将点的坐标代入得， 解得， 即点， 将点的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为， 解方程组， 解得 (舍去)或 ， 故点； ； （2）令得 解得 ， ∴直线与轴的交点的坐标为，       ； （3）解：，设， ①当时， 解得或 (舍去负值)或(舍去) ， ∴； 时，， 化简得 ， 解得 或， ∴P的坐标为或 ， 综上所述，或或 ． 5．(22-23九上·四川成都武侯区·期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形相交于两点，点分别在轴和轴的正半轴上，点的纵坐标为3，点的横坐标为1． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，，与相交于点． ⅰ）求证：； ⅱ）连接，当是直角三角形时，求此时的长． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2)ⅰ）见解析；ⅱ）的长为或 【分析】（1）根据四边形是矩形，点的纵坐标为3，点的横坐标为1，得出点的坐标，再由点在反比例函数图象上，代入即可求得反比例函数解析式； （2）ⅰ）设点的坐标为，则点的坐标为，先求出直线的解析式，再联立两直线解析式求出点的坐标，再根据中点坐标公式即可得出点为的中点，从而证明出；ⅱ）设点的坐标为，则点的坐标为，由ⅰ）得，点的坐标为：，从而可以表示出的长度，再分和分类讨论，分别求出的值，从而可得出的长． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 轴， 点的纵坐标为3，点的横坐标为1， 点的坐标为， 点在反比例函数的图像上， ，解得， 反比例函数解析式为：； （2）ⅰ）证明：设点的坐标为，则点的坐标为， 令直线的解析式为：， 点在直线上， ，解得， 直线的解析式为：， 令直线的解析式为：， 点在直线上， ，解得， 直线的解析式为：， 由得，， 点的坐标为：， ， 为的中点， ； ⅱ）设点的坐标为，则点的坐标为， 由ⅰ）可知点的坐标为：， ， ， ， 是直角三角形， 当时，则， 即， 解得：或， 当时，此时与重合，不符合题意，舍去， 当时，此时，， 当时，则， 即， 解得：或或或， ， 或 当时，此时与重合，不符合题意，舍去， 当时，此时，， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了了矩形的性质，求反比例函数的解析式，勾股定理，中点坐标公式，设出点的坐标，从而表示出点的坐标是解题的关键，注意运用分类讨论的思想解题． 地 城 考点11 反比例函数综合之四边形存在性问题 1．(24-25上·四川成都石室天府中学（两校区）·模拟)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，轴上的点，作直线． (1)求反比例函数的解析式； (2)直线与轴交于点，连接，． ①在直线上找点，使得，求出所有点的坐标； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)①，；②， 【分析】（1）由点和点都在反比例函数的图象上可得，求出m的值，即可得的值，进而可得反比例函数的解析式． （2）①先求出直线的解析式为，进而可得，由可知满足条件的M点有两个，如图 和．当时，可得，进而可得，则，可求得．由，可得，进而可得． ②设，，分两种情况：当四边形是平行四边形时，和当四边形是平行四边形时．根据平行四边形对边平行且相等，列方程求出m、n的值即可得解． 【详解】（1）解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∴，， ∴反比例函数的解析式为． （2）①把，代入中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． ∵， ∴满足条件的M点有两个，如图 和． ∵， ， 即， 由，，可知，A点是线段的中点， ∴， ∵， ∴当时，，此时， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 综上，点的坐标为，． ②设，． 如图，当四边形是平行四边形时， ∵，， ∴， 解得， ∴，． 当四边形是平行四边形时， ∴，， ∴， 解得， ∴，． 综上，P点的坐标为，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质及数形结合思想是解题的关键． 2．(24-25九上·四川成都新都区·期末)如图，直线与反比例函数图象的交点分别为P，Q，且点P的坐标为，过点P作轴，垂足为B．直线与x轴交于点A，与y轴交于点C． (1)求k的值； (2)若点D是反比例函数图象上的一点，且在点P的右侧，连接，若，求点D的坐标； (3)若M为y轴上一个动点，N为平面内一点，当以M，N，P，Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将点代入，求得，将点坐标代入求得； （2）过点D作轴，先求得，再根据的几何意义求得，再求得，设，则得，再求解即可得答案； （3）分为矩形的边和对角线，分别画出图形，构造直角三角形，通过勾股定理来解决问题． 【详解】（1）解：直线过点， ， ， ， 过点， ； （2）解：过点D作轴， 在一次函数中令，得， ， ，轴， ， 点P、D在函数的图象上，轴，轴， ， ， ， 设， 则， 解得：或， 点D在点P的右侧， ， ； （3）解：将与联立方程组得： ，解得：或， ， 设， ，，， 当以M，N，P，Q为顶点的四边形为矩形时， 如图，当是矩形的边时， 若时，则， ， 解得：， ； 若时，则， ， 解得：， ； 如图，当是矩形的对角线时， 则时，则， ， 解得：， ，， 综上：或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，矩形的性质，反比例函数的几何意义，勾股定理等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，并通过勾股定理建立方程解决问题． 3．(23-24九上·四川成都实验外国语学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数过第一象限的点且与一次函数交于A，B两点， (1)求反比例函数的表达式并写出点A的坐标； (2)若一次函数经过点A、C，求一次函数的解析式，请直接写出当时x的取值范围； (3)点P是反比例函数图像上位于第一象限异于C的一点，在平面内是否存在点Q使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在请求出点P的坐标并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，或 (3)P点坐标为，Q点坐标 或P点坐标为，Q点坐标． 【分析】（1）根据反比例函数过第一象限的点，确定反比例函数的解析式，联立反比例函数的解析式与构成的方程组，计算即可． (2)把，分别代入，解方程组，求得交点的横坐标，即可写出解集即可． （3）分，为对角线两种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数， 得， ∴， ∵， 解得或， ∵A在第三象限， ∴，． （2）解：把，分别代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 故关于x的不等式的解集是：或． （3）存在 分类讨论： 解：①为矩形对角线时，如图 ∵，，， 设，则， ， ， 时，为矩形的边，此时为矩形， ， 代入解得或 P点坐标为， 设Q点坐标为， ， 解得 得到Q点坐标． P点坐标为，Q点坐标 ②为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标， ∵，，， 设，， 当为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标， ∴， 则Q点坐标：， 此时为矩形，得， 代入得到， 解得，，， 则P点坐标为，Q点坐标． 【点睛】本题是一次函数与反比例涵函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，已知两点求距离，熟练掌握这些知识点是解题的关键，注意分类讨论． 4．(23-24九上·四川成都东部新区·期末)如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴，轴分别交于点，． (1)求的值及反比例函数的解析式； (2)将线段沿轴向右平移得到，当点在反比例函数图象上时，求四边形的面积． (3)点是点关于原点的对称点，以为边长作等边，点是平面上一点，若以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)8 (3)，，，，， 【来源】四川省成都东部新区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】（1）将代入 可得 可得反比例函数表达式为 （2）由 可得，由平移可得四边形是平行四边形，设 将 代入 = 中得出 ，根据平移可得 ，进而根据平行四边形的面积公式，即可求解； （3）根据关于原点对称的点的特征得出，设,，根据等边三角形的性质以及勾股定理建立方程，得出，，进而根据平行四边形的性质，中点坐标公式，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将代入 可得 ， ，则 将代入 可得     ， 反比例函数表达式为 （2）由 ，当；当， ∴， 由平移可得四边形是平行四边形 设 将 代入 = 中 得 ，则 向右平移4个单位得到 将向右平移4个单位得到 （3）∵是关于原点的对称点 ∴ 设, 由等边可得 解得：或 ∴， ①当时 Ⅰ、以 与 为对角线 ∴ 解得：. ∴ Ⅱ、以与为对角线，同理可得， Ⅲ、以 与 为对角线，同理可得， ②当时 同理可得，， 综上所述：，，，，，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，一次函数与反比例函数交点问题，等边三角形的性质，勾股定理，平移的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．(23-24九上·四川成都新都区·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点与轴交于点，交轴于点． (1)求k，b的值； (2)若点是反比例函数的图象上的一动点，连接，，当的面积等于15时，求的坐标； (3)在反比例函数图象上存在一点D，若点Q为坐标轴上一动点，当以A，B，D，Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点或 (3)点或或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）将点，点坐标代入解析式可求解； （2）由面积和差关系列出等式，即可求解； （3）分两种情况讨论，由平行四边形的对角线互相平分列出等式可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ，， 一次函数解析式为，点， 直线与反比例函数的图象交于点， ； （2）解：如图，当点在点下方时，设点，过点作轴于，过点作轴于， ，，，， 直线与轴交于点， 点， ， 的面积等于15， ， ， （舍去）或， 点； 当点在点上方时，同理可得； （3）解：当点在轴上时，设点，点， 以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 和是对角线，且互相平分， ， ， 点， ， ， 点； 当点在轴上时，设点，点， 若，为对角线， 则，， ，， 点； 若，为对角线， 则，， ，， 点， 此时点在的延长线上，不合题意舍去， 当，为对角线时，同理可求点，点， 综上所述：点或或． 6．(22-23九上·四川成都新都区·期末)如图，直线（）的图象与双曲线的图象相交于点和点，点是轴上的一个动点． (1)求出点的坐标． (2)连接，若的面积为，求此时点的坐标． (3)点为平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出相应的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，或或． 【分析】（）利用代数系数法求出一次函数和反比例函数解析式，联立函数式，解方程组即可求解； （）分在下方和在上方两种情况解答即可求解； （）设，以四点为顶点的四边形是菱形时，分为边和对角线三种情况讨论，根据勾股定理和菱形的性质可计算点的坐标． 【详解】（1）解：∵点， ∴，， ∴，， ∴直线的关系式为：，反比例函数的关系式为：， 联立得， 解得或， ∴点的坐标为； （2）解： 在下方时，过作轴于，过作于， 设， ∵点的坐标为，， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 在上方时， 设，直线交轴于， ∵点的坐标为，， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）解：设， ∵点的坐标为，， ∴， ， ， 以为边，时， ，解得或， ∴点的坐标为或， ∵点的坐标为，， ∴点的坐标为或； 以为边，时， ，无解， ∴此种情况不存在； 以为对角线时，，如图， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形面积公式、待定系数法求函数的解析式，运用分类讨论的思想解答是解题的关键． 7．(23-24九上·四川成都温江区·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积； (3)点为轴上任意一点，点为平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)3 (3)点的坐标为或． 【分析】（1）解方程或方程组即可得到结论； （2）根据中心对称的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）求得中点的坐标为，，设点，点，①当为菱形的对角线时，，，②当为菱形的对角线时，③当为菱形的对角线时，，根据菱形的性质列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象相交于，两点， ， ， ， 反比例函数的表达式为， 解得，， ； （2）直线交反比例函数的图象于另一点， 点与点关于原点对称， ， ，； 过作轴，过作于，过作于， ，， 的面积四边形的面积的面积； （3），； 中点的坐标为，， 设点，点， 以，，，为顶点的四边形是菱形， ①当为菱形的对角线时，，， ， ， 解得， ； ②当为菱形的对角线时，，， ， 解得或（此时，点在直线上，不合题意舍去） ； ③当为菱形的对角线时，， ， 此方程组无实数根，这种情况不存在， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 8．(23-24九上·四川成都锦江区锦江区嘉祥外国语学校·期末)如图1，在平面直角坐标系中，，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点D，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，已知点D的坐标为． (1)求直线的解析式及E点的坐标； (2)若y轴上有一动点F，直线上有一动点G．当最小时，求的周长的最小值； (3)如图2，若y轴上有一动点Q，直线上有一动点P，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，求P点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或． 【分析】（1）先确定出点A，C坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，再用待定系数法求出反比例函数解析式，联立求出点E坐标； （2）先判断出，进而判断出EH垂直于x轴时，最小，进而求出点G坐标，再判断出点F在上时，的周长最小，即可求出答案； （3）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出点P坐标． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为①， ∵点在反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为②， 联立①②解得，或， ∵点E在第一象限内， ∴； （2）如图1， 由（1）知，，， ∴直线的解析式为， 过点G作轴于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G在上，且轴， 即时，最小， 作点关于y轴的对称点G'，则， ∴， 连接交y轴于， 此时，的周长最小， 即周长的最小值为； （3）由（2）知，直线的解析式为， 设，， ∵以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形，，， Ⅰ、当与为对角线时，， ∴， ∴， Ⅱ、当与为对角线时，， ∴， ∴， Ⅲ、当与为对角线时，， ∴， ∴． 综上：或或 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的交点坐标的求法，三角形的面积的求法，平行四边形的性质，对称性，极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 地 城 考点12 反比例函数综合之其他存在性问题 1．(23-24九上·四川成都武侯区棕北中学·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点的左侧），连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接交轴于点． (1)若点的纵坐标为6，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，反比例函数图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若的面积为16，求反比例函数的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出A点坐标，从而确定函数的解析式，再求B点坐标即可； （2）设直线与y轴的交点为F，直线与y轴的交点为H，过点H作交于点G，求出直线的解析式为，可得，设直线与x轴的交点为M，直线与x轴的交点为N，证明，得到，再证明，得到，从而确定点，通过求直线的解析式为，可求点； （3）设，，当时，根据根与系数的关系可知，则，连接，则的面积为8，通过求直线的解析式为，得到，再由面积，求出a的值，确定A点坐标后即可求函数的解析式． 【详解】（1）解：∵点A的纵坐标为6， ∴， 解得， ∴， 将A点代入中，， ∴反比例函数的解析式为， 当时，解得或， ∴； （2）解：存在点E，使得，理由如下： 设直线与y轴的交点为F，直线与y轴的交点为H，过点H作交于点G， ∵， ∴， ∵，B点与C点关于原点对称， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴， 设直线与x轴的交点为M，直线与x轴的交点为N， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，解得或， ∴； （3）解：设，，当时，整理得， ∴， ∴， ∵B点与C点关于原点对称， ∴， 连接， ∵的面积为16，则的面积为8， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 2．(23-24九上·四川成都青羊区树德实验中学·期末)如图1，反比例函数与一次函数交于，B两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)如图2，若点E是反比例函数第四象限上一点，当面积最小时，在直线上存在两点，且，求四边形周长的最小值？ (3)如图3，在（2）问条件下，连接，分别交y轴，x轴于C点，D点，连接交x轴于点H，在反比例函数上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的横坐标的范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）当面积最小时，经过点平行于直线的直线与 有且只有一个公共点，利用一元二次方程根与系数关系可得直线的解析式为，进而可得，作点关于直线的对称点， 过点作轴交直线于，连接 ，将点沿直线向左上平移个单位得到点，连接交直线于点, 将点沿直线向右下平移个单位得到点，则此时四边形的周长最小，利用两点间距离公式即可求得答案； （3）当点P在第四象限时，如图，过点作于点，延长至, 使，过点作轴于，可得 ，从而求得点，得出直线的解析式为，联立方程求得点L的横坐标，可得；当点在第二象限时，如图，过点作于，延长至，使，过点作轴于，同理可得 【详解】（1）把代入 得， ， 把 代入 得 ， 解得： ， ； （2）由 ，得 ， ∴， 当面积最小时，经过点平行于直线的直线与有且只有一个公共点， 设过点平行于直线的直线解析式为， 则 ，即 ， ， ∴或(舍去)， ∵直线的解析式为， 由 ， 解得:， ∴， 作点关于直线的对称点，过点作轴交直线于, 连接， 则 ，由对称性可得，将点沿直线向左上平移个单位得到点，连接交直线于点，将点沿直线向右下平移个单位得到点，则此时四边形的周长最小，如图， ，则为平行四边形，则，四边形的周长为最小， ∵将点E沿直线向左上平移个单位，相当于向左平移个单位，向上平移个单位, 即， ， ， ∴四边形的周长最小值； （3）在反比例函数上是否存在一点，使，且或 理由如下： ， ∴直线的解析式为 直线的解析式为， ， ， 当点P在第四象限时，当时，始终有； 当点在第二象限时，如图，过点作于，延长至，使 , 过点作轴于， 则 ， ， ，即 ， ， 同理可得： ， ， ， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：或(舍去)， 或； 综上所述，在反比例函数上存在一点，使 则或或 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，轴对称一最小值问题，相似三角形的判定和性质等，正确添加辅助线是解题关键． 3．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．    (1)求反比例函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标． (3)在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点坐标为或 (3)存在，的横坐标为 【分析】（1）本题将点代入求得的值，得到直线的解析式，将代入直线的解析式，算出的值，得到的坐标，将的坐标代入反比例函数中求解，即可解题． （2）本题根据点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点，过点作轴交直线于点，分以下两种情况讨论，①当点在下方时，②当点在上方时，根据以上两种情况，结合“若的面积是面积的2倍”分析得到点纵坐标，将点纵坐标代入反比例函数解析式求解，即可解题． （3）本课过点作垂直交延长线于点过点作轴，，，利用等腰直角三角形性质证明，根据全等三角形性质得到点坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点， ， ， ， 点在上， ，即， ， ； （2）解：①当点在下方时， ， ， 作轴，轴，   ， ， ， ， 把代入中， ； ②当点在上方时，   ， ， 为中点， ，， ， 把代入中， ； 综上所述：点坐标为或． （3）解：过点作垂直交延长线于点过点作轴，，， ，，   三角形为等腰直角三角形， 在和中， ， 所以，， ， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， ， 整理得，解得，（不合题意，舍去）， ， 的横坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的几何综合、用待定系数法求函数解析式、坐标与图形、等腰三角形性质、全等三角形的性质和判定、熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 4．(23-24九上·四川成都双流区成都天府中学·期末)如图，点P为一次函数与反比例函数的图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为B，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C． (1)求m的值． (2)点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接． ①连接．若，求点M的坐标． ②过点M作于点D，若，求M的坐标． 【答案】(1)24 (2)①；② 【分析】本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出P点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可；（2）①过点M作轴于点N，先求出点，可得到，从而得到，设点M的坐标为，则，再由，求出a的值，即可求解；②过点P作交延长线于点G，作于点H，证明，可得，用t表示出点M的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， 把点代入得： ，解得：； （2）解：①如图，过点M作轴于点N， 对于， 当时，，当时，， ∴点， ∴， ∵轴，点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：反比例函数解析式为， 设点M的坐标为，则， ∵， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴点M的坐标为； ②如图，过点P作交延长线于点G，作于点H， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵点M是反比例函数的图象上的一点， ∴， 解得：， ∵点M在点P的右侧， ∴点M的坐标为． 5．(23-24九上·四川成都武侯区·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C． (1)当时． （ⅰ）分别求A，B两点的坐标； （ⅱ）P为x轴上一动点，当时，求点P的坐标； (2)取点，连接，当时，求k的值． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）点P的坐标为或 (2) 【分析】（1）（ⅰ）联立一次函数与反比例函数解析式，解方程组即可； （ⅱ）由题意可证明，得；设点，即可求得x的值，从而求解； （2）证明，由相似性质即可求解． 【详解】（1）解：（ⅰ）当时，直线解析式为，反比例函数解析式为， 解方程组：，解得或， ∴； （ⅱ）如图，对于，令，得， ∴， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∴； 设点，则， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为或； （2）解：联立方程组： ，消去y得， ∴，； 设，则， ∴； 如图，过A作轴于点F，过B作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即, ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系等知识，证明三角形相似是关键． 6．(23-24九上·四川成都成华区·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)已知为反比例函数的图象上一点，满足，求点的坐标． (3)在第四象限反比例函数的图象上是否存在点，使点绕点顺时针旋转得到的对应点恰好落在第二象限反比例函数的图象上?若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)存在这样的点，点的坐标为． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用全等三角形性质是解答本题的关键． （1）利用点，先求出一次函数解析式，再利用解析式求出值，根据点的坐标得到反比例函数解析式即可； （2）先计算出，利用面积建立关于的方程，解出值即可得到点的坐标； （3）作轴，垂足为，作轴，垂足为，证明可得，，根据点在反比例函数图象上列出方程求出可得点的坐标． 【详解】（1）解：点，，在一次函数图象上， ， 解得， 一次函数解析式为：， 在一次函数图象上， ， 在反比例函数解析式上， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：设点的坐标为， ，， ， ， ， ， ， 解得或， 点的坐标为或； （3）解：如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， 设点坐标为，， 在和中， ， ， ，， ， 若点在反比例函数图象上，则有： ， 整理得：， 解得或（舍去）， 点的横坐标为，点的纵坐标为：， 答：存在这样的点，点的坐标为． 7．(23-24九上·四川成都青羊区·期末)已知点A是反比例函数的图象与正比例函数图象在第三象限的交点，轴于点B，等腰直角三角形的面积等于4． (1)求反比例函数与正比例函数的表达式； (2)直线：图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点N、M，若，求点M的坐标； (3)在（2）问条件下，点P是反比例函数图象第一象限分支上一动点，连接，是否存在直线，作于点Q，使得？若存在求出的表达式，若不存在请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为；正比例函数表达式为； (2) (3)或． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的面积等于4可得，则，利用待定系数法即可得反比例函数与正比例函数的表达式； （2）直线：图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点、，可分两种情况，由可得，即可得点M的坐标； （3）分点Q在点P的下方和点Q在点P的上方两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵等腰直角三角形的面积等于4， ∴， ∴， ∴，， ∵在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数表达式为， 设正比例函数解析式为， ∴， 解得，， ∴正比例函数表达式为； （2）解：∵点M在正比例函数表达式为和直线：的图象上， ∴设，则点N的横坐标为m， 若点在上方时，如图，    ∵点N在反比例函数图象上， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， 若点在上方时，如图，    ∵点N在反比例函数图象上， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：如图， ∵直线与正比例函数平行， ∴直线正比例函数图象， 过点M作轴于点C， ∵点M的坐标为， ∴此时交反比例函数于点P，， 过点P作于D， ∴， 在线段上截取，则， ∵反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式为， ∴， ∴，， 当点Q在点P的下方时， ， 过点M作于点E， ∵， ∴， ∴， 代入得， ∴， ∴的表达式为． 当点Q在点P的上方时，， ∵，， ∴， 代入得， 解得， ∴， 综上可知，的表达式为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． 8．(23-24九上·四川成都成都第七中学初中学校·期末)如图1，的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点C是线段上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接，当四边形的面积等于24时，求点C的坐标； (3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法即可解答； （2）设，则，根据四边形的面积构建方程求解即可； （3）分两种情况：当点M位于内部时，延长交反比例函数于M；当点M位于外部时，分别根据轴对称的性质、函数图像的交点等知识分析解得即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和中可得： ，，解得： ∴，． （2）解：设，则， ∴， ∵四边形的面积等于24， ∴,即， 整理得：，解得： 检验：是原方程的解， ∵， ∴，则． ∴． （3）解：由平移可得：, ∴直线的解析式为:， 联立得：，解得：或（不合题意，舍去） 经检验是方程组的解， ∴点 ∴点O向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到， 由 (2)可得：， ∴， ∵ ， ∴， 如图1，当点M位于内部时，作于N，延长交反比例函数于M， ∵， ∴, ∴ N为的中点， ∴，即， 设直线的解析式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为:， 联立得：，解得：（舍弃负值） 经检验是方程组的解， ∴； 如图，当点M位于外部时，作于，连接， ∵， ∴, ∵， ∴关于对称，， 设直线的解析式为:, 将代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则的中点在直线上， ∴在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴，整理得：，解得:， ∴或， 经检验，当)时，直线不垂直，故不符合题意， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为:， 联立得：，解得：（舍弃负值） 经检验是方程组的解， ∴． 综上所述，M的坐标为或 ． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、一次函数的应用、求函数解析式、点的平移、函数图像交点与方程组等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题是解题的关键． 地 城 考点01 反比例函数综合之定值定点类问题 1．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接． (1)如图1，设A点坐标为，若，，且． ①求k的值； ②若的面积为，求点B的坐标； (2)如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①4；② (2)存在，3 【来源】四川省成都市锦江区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（一诊） 【分析】（1）①依题意，得，再解n的值，即可作答； ②过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，易得，进而用坐标可以表示出的长度，建立方程求解即可； （2）连接，易证E是中点，进而可表示出点A坐标，求出反比例函数表达式，设出B点坐标，再表示出E点坐标即可得解． 本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数的解析式，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：（1）①∵，， ∴， ∴ ， ∵，且， ∴， ∴A点坐标为， ∴； ②过点A作轴于点M，交于一点K，过点B作轴于点N， 设点B的坐标为， ∵反比例函数图象上有A，B两点， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， 即， 整理可得：， 解得（负值舍去）， ∴点B的坐标为． （2）解：连接， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵O为中点， ∴ ∴E为中点， ∴为的中位线 ∴， ∵D点坐标为， ∴A点坐标为， 则， ∴反比例函数表达式为， 设点B的坐标为， ∴点C的坐标为， ∵A点坐标为，E为中点， ∴， ∴点E的坐标为， ∵点B在点A右侧， ∴， ∴， ∴点E始终在直线的下方， ∴a的最小值为3． 2．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)如图1，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，平移线段得线段，连接，反比例函数的图象经过点E，交直线于C，D两点． (1)若，求反比例函数的表达式； (2)试探究的值是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由； (3)如图2，取线段的中点F，连接，若，求所在直线的表达式． 【答案】(1) (2)是定值 (3) 【分析】（1）由A、B两点坐标结合线段平移的性质得到点E的坐标，然后由反比例函数的定义求出k值即可． （2）证明，可得，进而求出和关于n的表达式，即可得出结论． （3）先由待定系数法求出直线的表达式，然后结合反比例函数表达式求出点E的坐标也是线段的中点，进而求出直线关于m、n的表达式，再通过构造，利用相似比求出点G的坐标，再代入直线的表达式，结合求出m和n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时，，． 根据线段平移的性质，． ∴点E坐标为． ∵由反比例函数表达式得． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：如图，过点C作x轴的垂线交x轴于点P． ∴轴． ∴, ∴． ∵． ∴． ∵点E在反比例函数的图象上，同理（1）可得点E的坐标为． ∴． ∴， ∴． ∴． ∵． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴． 故的值为定值． （3）解：设直线的函数表达式为，把A、B两点坐标代入得： ， 解得． ∴直线的表达式为． 由于反比例函数表达式为，与直线函数表达式联立得： ． 整理得． ∴． ∴，． ∴点F的坐标为也是线段的中点． 根据线段平移的性质可得点E坐标为，则． 同理，由两点坐标根据待定系数法求得的解析式为：． 过点E作轴，垂足为I，过点O作与延长线交于点G，再过点G作轴，垂足为H， ∵， ∴． 在和中，， ． ∴． ∴． ∴ ∵点G在直线上， ∴， 代入和得：， 整理得：． 又∵，则，代入上式得． ∴． ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，图象平移的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识点．综合性性强，难度大，通过“一线三等角模型”构造相似三角形，以此应用夹角的条件是解答本题的难点． 3．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)连接，当的面积为30时，求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)是定值，2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平面直角坐标系中面积问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用A点坐标求出一次函数和反比例函数表达式，再联立方程组求另一交点B坐标即可； （2）用割补法表示出的面积，设参求解即可； （3）先求出直线解析式，得到点Q和点N坐标，再求出直线解析式，得到点P和点M坐标，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入直线得， ， 解得，， 再将代入得，          联立得：， 解得：（舍去）， ∴； （2）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴ ， 解得（舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：是定值 设点， 设直线解析式为，将A、D坐标代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 令得，即， 令得，即， 同理可得直线解析式为， 令得，即， 令得，即， ∴， ∴为定值． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $