专题04 图形的相似（15大题型）（期末真题汇编，四川成都专用）九年级数学上学期北师大版

专题04 图形的相似 13大高频考点概览 考点01 比例的基本性质（基础题） 考点09相似三角形的实际应用 考点02利用设“k”法求解 考点10相似三角形压轴之探究类问题（压轴题） 考点03成比例线段 考点11相似三角形压轴之坐标类问题（压轴题） 考点04黄金分割相关求解（高频考题） 考点12位似比的相关求解 考点05平行线分线段成比例 考点13求位似图形的对应坐标 考点06相似多边形的性质 考点14求两个位似图形的周长比、面积比 考点07利用相似三角形的性质求解 考点15在坐标系中画位似图形（高频考题） 考点08相似三角形的性质与判定综合解答 地 城 考点01 比例的基本性质 1．(24-25上·四川成都石室天府中学（两校区）·模拟)若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·四川成都高新区·期末)若，则的值= ． 4．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)若，且，则 ． 5．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)若，则 ． 6．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)若，其中，则的值为 ． 7．(21-22九上·四川成都青羊区·期末)若，则 ． 8．(24-25九上·四川成都东部新区·)已知，且，则代数式的值为 ． 9．(24-25九上·四川成都新都区·期末)若，则的值为 ． 地 城 考点02 利用设“k”法求解 1．(24-25九上·四川成都温江区·期末)已知，且，则的值是 ． 2．(24-25九上·四川成都双流区·期末)已知，则的值为 ． 3．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)已知，且，则的值为______． 4．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)已知，且，则的值为 ． 5．(21-22九上·四川成都武侯区·期末)已知0，且a+b﹣2c＝3，求a的值． 地 城 考点03 成比例线段 1．(24-25九上·四川成都青白江区·期末)已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长是（  ） A． B． C． D． 2．(23-24九上·四川成都武侯区·期末)已知四条线段a，b，c，d成比例，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．(23-24九上·四川成都简阳·期末)若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·四川成都新都区·期末)若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d是（    ） A．8 B．0.5 C．2 D．20 5．(23-24九上·四川成都双流区·期末)在一副比例为的地图上，A，B两地相距5厘米，则A，B两地的实际距离为 千米． 地 城 考点04 黄金分割相关求解 1．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)在如图所示的“五角星”图案中，，两点都是线段的黄金分割点，若，则线段的长为 ．（结果保留根号） 2．(24-25九上·四川成都成华区·期末)矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形的长边，则它的面积为 ． 3．(24-25九上·四川成都天府新区·期末)2024年，四川天府新区美术馆入选法国凡尔赛建筑奖《2024全球最美七大博物馆》．我们知道在美术作品中常常会运用“黄金分割”，以突出画面焦点，如图，若点C可看作是线段的黄金分割点，，则的长为 ．（结果保留根号）    4．(23-24九上·四川成都经开区·期末)黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，B为的黄金分割点，长度为，则的长度为 （结果保留整数）． 5．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)如图，正方形的边长为为线段的中点，为线段的黄金分割点，以为边作正方形，则的值为 ． 6．(23-24九上·四川成都金牛区·期末)黄金分割的美在生活中随处可见．如图，在设计人体雕像时，使雕像腰部以下的高度a与全身的高度b的比值接近．可以增加视觉美感若图中b为5米，则a约为 米．（结果精确到一位小数） 7．(23-24九上·四川成都武侯区·期末)在一次趣味运动会中，某数学项目小组利用黄金分割比设计了一个掷飞镖的游戏．如图，在 “靶”中，点M，N分别是线段的两个黄金分割点，我们把的内部称为“黄金区域”（图中阴影部分）．游戏规定：投掷的飞镖落在“黄金区域”即为获胜．假设投掷的飞镖都能落在“靶”内，现小明随机向该“靶”投掷一枚飞镖，则小明获胜的概率是 ． 8．(23-24九上·四川成都青羊区树德实验中学·期末)如图，乐器上的一根弦的长度为20cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦靠近点B的黄金分割点，则线段的长度为 cm． 9．(22-23九上·四川成都高新区·期末)黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．如图，一芭蕾舞演员的身高为，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为 ．（黄金分割比）    地 城 考点05 平行线分线段成比例 1．(24-25九上·四川成都郫都区·期末)如图，在中，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川成都温江区·期末)如图，已知，交，，于点，，，交，，于点，，，，，则（　　） A． B． C． D． 3．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)如图，直线，若，则EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．(22-23九上·四川成都大邑县·期末)如图，已知，若，则的长为（    ）    A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 5．(23-24九上·四川成都温江区·期末)如图，已知直线，，，则的值为　　 A． B． C． D． 6．(23-24九上·四川成都郫都区·期末)如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C都在横线上．若线段，则线段的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 7．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)如图，，，，，则的长为 ． 8．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)如图，已知，，，，则的长为 ． 地 城 考点06 相似多边形的性质 1．(22-23九上·四川成都锦江区·期末)如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24九上·四川成都青羊区树德实验中学·期末)若四边形四边形，且，已知，则BC的长是（    ） A．25 B．9 C．20 D．15 3．(24-25九上·四川成都双流区成都双流中学实验学校·期末)如图，矩形ABCD的长AB＝10，宽BC＝6，点M、N分别在AB、DC上，矩形MNCB与矩形ABCD相似，则CN等于（　　） A． B． C． D． 4．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，，则线段的长为 ． 5．(22-23九上·四川成都龙泉驿区·期末)如图，某校给初一年级划了一块大的矩形菜地，年级又将它分为大小形状完全相同的三块分给三个班，同学们测量后惊奇的发现，每块小菜地都与原大矩形菜地相似，则原矩形菜地的宽与长之比为 ． 地 城 考点07 利用相似三角形的性质求解 1．(24-25九上·四川成都成华区·期末)若，相似比为，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)如图，，它们的相似比是，已知，则的长是（    ） A．4 B． C．5 D． 4．(23-24九上·四川成都实验外国语学校·期末)已知，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．(21-22九上·四川成都双流区·期末)已知，且 ，若的面积为4，则的面积是（   ） A． B．6 C．9 D．18 6．(22-23九上·四川成都大邑县·期末)若，且＝．若的面积为8，则的面积是（    ） A． B．6 C．9 D．18 7．(23-24九上·四川成都简阳·期末)如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点08 相似三角形的性质与判定综合解答 1．(24-25九上·四川成都温江区·期末)如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 2．(24-25九上·四川成都双流区·期末)如图，平分，B，C分别在射线上，连接，有，平分交于点D，点E在线段上，且，延长交于点F，连接 ． (1)求证：； (2)当时，求的度数； (3)若，，求的长． 3．(24-25九上·四川成都高新区·期末)如图，在四边形中，对角线，交于点，，垂直平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知四边形的面积为20，，点在线段上，，射线交于点，交的延长线于点，求线段的长． 4．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)如图，在菱形中，对角线与相交于点O，边，对角线． (1)求菱形的面积； (2)过点O作于E，交延长线于F，求证： 5．(24-25九上·四川成都成华区·期末)如图，在正方形中，延长到点，连结，过点作，垂足为点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 6．(24-25九上·四川成都天府新区元音中学·)如图，四边形为菱形，，为上的点，交于点，G为上一点，且． (1)若，求证：； (2)若为中点，，，求的长． 7．(23-24九上·四川成都高新区·期末)如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E作的垂线交边于点F，连接并延长，交边于点G． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 8．(23-24九上·四川成都郫都区·期末)如图，在菱形中，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N，连接． (1)求证：； (2)连接，若，且 ，，求的长． 9．(23-24九上·四川成都成华区·期末)如图，在矩形中，延长到，延长到，使，，交于点． (1)求证：； (2)过点作的垂线，交的延长线于点，若，，求的长． 10．(23-24九上·四川成都都江堰·期末)如图，点分别在三边上，且，．    (1)求的长； (2)若的面积为4，求四边形的面积． 11．(23-24九上·四川成都武侯区·期末)如图，在中，D，E是边上的两点，连接，，且满足，平分．    (1)求证：； (2)若，，且，求的长． 地 城 考点09 相似三角形的实际应用 1．(24-25九上·四川成都高新区·期末)小孔成像的原理是光的直线传播．如图，一发光的电子蜡烛竖直放置经小孔O在屏幕竖直放置上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为    2．(24-25九上·四川成都郫都区·期末)物理中“小孔成像”和数学中“位似知识”相关．如图，测得火焰高为，其像高为，小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 3．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)如图，为了测量学校校旗杆的高度，小东用长2.4米的竹竿做测量工具．保持与地面垂直，移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿影长8米，竹竿与旗杆相距22米，则旗杆的高为 米． 4．(24-25九上·四川成都双流区·期末)在凸透镜成像的实验中，我们有时无法直接测量出像的大小，但可以通过数学知识计算出来．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，请你根据以上数据求出像的高是多少厘米？ 5．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)金牛区世纪空间大厦项目双子塔整体已经竣工，为了测试双子塔建筑物的高度，小王同学采取了如下方法：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至直立站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中三点在同一条直线上．已知小王的眼睛距离地面的高度的长约为1.75米，和的长分别为97.56米和0.7米，求建筑物的高度．（说明：由物理知识，可知，） 6．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)某校开展“利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度”综合实践活动课，小明所在的数学小组准备测量旗杆的高度，他在他与旗杆之间的地面点处平放一面镜子，在镜子上做一个标记，小明看着镜子来回移动，直至看到旗杆的顶端在镜子中的像与镜子的标记重合．若小明的眼睛离地面的高度为米，且米，米，，求旗杆的高度． 7．(24-25九上·四川成都天府新区·期末)在物理课中我们学过《光的反射定律》，小天想利用光的反射定律测量麓湖对面美术馆的高度．首先，小天在地面上的点处放置了一块平面镜，随后，站在的延长线上，当小天从平面镜中刚好看到美术馆顶端时，测得小天到平面镜的距离为1.5米，小天的眼睛到地面的距离也为1.5米；将平面镜从点沿的延长线向后移动8米到点处，小天继续向后移动，眼睛又恰好看到美术馆顶端，这时测得小天到平面镜的距离是2.5米，求美术馆的高度． 8．(24-25九上·四川成都青白江区·期末)【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中点在同一水平面上． (1)求反射点到木板的距离（即的长）； (2)求灯泡到地面的高度． 9．(24-25九上·四川成都东部新区·期末)在成都未来科技城福田地铁站台，以银杏为设计元素的“科技树”，像一个个超大雨伞，兼具集雨水收集、灯光联动等功能，实现站台整体的绿色低碳（如图）．在数学活动课中，小明利用硬纸板自制测量“科技树”的高度，即的长（如图）：已知，在中，米，米，，是树干上两点，目测点到地面的距离米，到树干的水平距离米，他通过调整位置，使斜边与点在同一直线上，另一条直角边与“科技树”左侧最高点在同一直线上，树冠的正投影点到树干底端距离即米．求“科技树”的高度． 10．(24-25九上·四川成都新都区·期末)新都宝光寺中有一座舍利宝塔，因其独特的造型被称为“东方斜塔”，从第六层起向西倾斜，给人一种别致动感的美．某数学兴趣小组计划测量该塔的高度如图，塔前有一棵小树的高度，发现水平地面上点E，树顶C和塔顶A恰好在同一条直线上，测得，D、E之间因有一个花园阻隔无法测量其距离．现在E处放置—块平面镜，沿方向走到G处，恰好在平面镜中看到树顶C．已知，测量者眼睛到地面的距离为，若，，，且点B，D，E，G在同一水平线上．（平面镜的大小厚度忽略不计） (1)请求出的距离； (2)请求出该塔的高度． 地 城 考点10 相似三角形压轴之探究类问题 1．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； (2)【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； (3)【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 2．(24-25九上·四川成都成华区·期末)数学综合与实践小组同学对“一线三直角”图形进行了深入研究．如图，在中，，，，将斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交直线于点． 【初步感知】 （1）求的长； 【深入研究】 （2）连接交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）若点在直线上，满足，请直接写出线段的长． 3．(24-25九上·四川成都高新区·期末)（1）基础：如图1，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，．若，求证：； （2）迁移：如图2，在菱形中，，，点为的中点，点在对角线上．若，求线段的长； （3）拓展：如图3，在矩形中，，点在边上，连接，使得，，两点分别在线段，上，连接，，．当时，求的值． 4．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)在矩形中，．在射线上取一点，连接，且满足，直线与直线相交于点． 【尝试初探】 （1）如图1，当时，若，，求线段的长； 【深入探究】 （2）如图2，当时，若，求的值； 【拓展延伸】 （3）若，试探究线段与线段之间满足的数量关系． 5．(24-25九上·四川成都天府新区·期末)如图1，已知，，，连接，． (1)当绕点A旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 (2)如图2，点B在内部，延长交的延长线于F，交于G，若，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，点B在内部，连接，延长交于H，若，，且，求的长． 6．(23-24九上·四川成都东部新区·期末)如图1，在矩形中，与相交于点O，，过点O做，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a，O对应，E对应．连接，． (1)问题发现：当时，__________，___________，__________； (2)拓展探究：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明； (3)问题解决：当旋转至B，，三点共线时，请计算线段的长． 7．(23-24九上·四川成都东部新区·期末)【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 8．(23-24九上·河南南阳西峡县·期末)李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． (1)问题背景 如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ； 如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ； (2)探究迁移 如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由； (3)拓展应用 如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长． 9．(23-24九上·四川成都武侯区·期末)如图，在菱形中，，E为边上一动点（点E不与B，C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，，交边于点H，设，． 【尝试初探】 （1）如图1，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，连接CF，当时，探究得出y的值为1，请写出证明过程； 【联系拓展】 （3）结合（2）的探究经验，从特殊到一般，最后得出y与x之间满足的关系式为．请根据该关系式，解决下列问题：连接，若，当为等腰三角形时，求的长． 10．(23-24九上·四川成都都江堰·期末)【观察与猜想】 （1）如图1，点是矩形内一点，过点的直线，分别交矩形的边为点．若，则______； 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点分别在边上，连接与交于点．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，在边上，连接与交于点，当时，求的值． 地 城 考点11 相似三角形压轴之坐标类问题 1．(24-25九上·四川成都高新区·期末)如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，点在轴正半轴上，以，为邻边作平行四边形，点的坐标为． (1)求点D的坐标； (2)为线段上一点，其横坐标为，过点作的垂线，交轴于点，交直线于点 ①如图2，若，求的面积； ②若以C，F，G为顶点的三角形与相似，求a的值． 2．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)函数某数学兴趣小组一起研究函数的性质，组员甲说：“可以用列表描点连线的方法画一画函数图象，然后通过观察函数图象分析函数性质”；组员乙说：“这个函数含有绝对值，可以分类讨论化简，因此这个函数也可以写成”； 组员丙说：“因为，所以当时，函数有最小值”； 组员丁说：“我已经画出了函数的草图，是个“”字形，随着的增大，函数值先减小后增大”； 组员戊说：“函数图象是轴对称图形”． 他们说的都有道理，请根据几位同学的观点，解决下列问题． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是，若，请在此坐标系中作出函数图象，并标记图象与坐标轴交点的坐标； (2)在（1）的条件下，当，设函数最大值为，最小值为，求的取值范围； (3)将函数图象向上平移后与轴有唯一交点A，与轴交于点，点为函数图象上的点，若以、、为顶点的三角形与相似，求所有满足条件的点坐标． 3．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)如图，已知直线经过点，交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)F为线段的中点，C是线段上的一点，连接，过点F作的垂线交x轴于点D，探究线段与的数量关系； (3)在（2）的条件下，是y轴正半轴上的一点，在平面直角坐标系内是否存在一点P，使得，且与相似？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 4．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是，点是凸透镜的中心，光线，点是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点，，，在同一条直线上．    (1)如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像时，若． ⅰ）填空：的值为______； ⅱ）求此时虚像的高度； (2)如图，当蜡烛通过该凸透镜成倒立缩小的实像，且时，求此时物距的长． 5．(21-22九上·四川成都武侯区·期末)【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到关于点的“度比坐标”，把称为点到关于点的“度比坐标” 【迁移运用】 如图，直线：分别与轴，轴相交于，两点，过点的直线与在第一象限内相交于点．根据定义，我们知道点到关于点的“度比坐标”为． (1)请分别直接写出，两点的坐标及点到关于点的“度比坐标”； (2)若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同．求直线的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，点，分别是直线，上的动点，连接，，若点到关于点的“度比坐标”为，求此时点的坐标． 6．(22-23九上·四川成都大邑县·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，，点（A点在C点的左侧），连接，过点A作的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知，直线交x轴于点E． (1)求直线的解析式； (2)直线有一点F，若与相似，求F点的坐标； (3)如图2，在直线上找一点G，直线上找一点P，直线上找一点Q，使得四边形是菱形，求出P点的坐标． 7．(23-24九上·四川成都高新区·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴正半轴上，且，在直线上取点D，使．     (1)求点D的坐标； (2)点M在射线上，过点M作直线的垂线，垂足为N，设点M的横坐标为a，线段的长度为d，求d与a之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，在线段上取点E，使．点F在坐标平面内，是否存在以M、N、E、F为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 地 城 考点12 位似比的相关求解 1．(24-25九上·四川成都双流区·期末)如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，若的周长是4，那么的周长为（      ） A．6 B．9 C．10 D．36 2．(24-25九上·四川成都新都区·期末)如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 3．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若四边形与四边形的面积比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·四川成都温江区·期末)如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形的面积比是　　 A． B． C． D． 5．(23-24九上·四川成都金牛区·期末)如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，的周长为3，则的周长为（    ） A．3 B．6 C．9 D． 6．(23-24九上·四川成都都江堰·期末)如图，与是关于轴上一点的位似图形，若，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点13 求位似图形的对应坐标 1．(24-25九上·四川成都青白江区·期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，边在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且位似比为，那么点的坐标为（  ） A． B．或 C． D．或 2．(21-22九上·四川成都高新区·期末)如图，在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心为点，号“”与号“”的相似比为．点在号“”上，则点在号“”上的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别为．以原点O为位似中心，作的位似图形，且与的相似比为，点A，B，C的对应点分别为，则点的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 4．(23-24九上·四川成都实验外国语学校·期末)如图，与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，若点A的坐标为，则点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 5．(22-23九上·四川成都邛崃·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 6．(23-24九上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，顶点O在坐标原点，顶点A，B的坐标分别为．与位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为，则点C的坐标为 ．    地 城 考点14 求两个位似图形的周长比、面积比 1．(24-25九上·四川成都金牛区成都七中万达学校·期末)与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是10，则的面积是（    ）． A．10 B．40 C．80 D．20 2．(23-24九上·四川成都锦江区·期末)数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形…．”请利用这一规律解答下面问题：已知，，且，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 3．(22-23九上·四川成都金牛区·期末)如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，五边形的周长为，则五边形的周长是 ． 4．(23-24九上·四川成都青羊区·期末)如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，的面积等于3，则的面积 ．    地 城 考点15 在坐标系中画位似图形 1．(22-23九上·四川成都大邑县·期末)在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出与关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 2．(22-23九上·四川成都蒲江县·期末)如图，在平面直角坐标系中，三顶点坐标分别为，，．    (1)在平面直角坐标系内画出； (2)以点为位似中心，在点的下方画出，使与相似比为； (3)直接写出点，坐标． 3．(21-22九上·四川成都新都区·期末)如图，在边长为1的小正方形网格中． (1)△ABC向右平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1，其中B1的坐标为______； (2)以点A为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△AB2C2，请在网格中画出△AB2C2； (3)连接AB1，B1B2，则△AB1B2的面积为______． 4．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系． (1)若将沿轴对折得到，则的坐标为 ． (2)以点为位似中心，将各边放大为原来的2倍，得到，请在这个网格中画出． (3)若小明蒙上眼睛在一定距离外，向的正方形网格内掷小石子，则刚好掷入的概率是多少？ (未掷入图形内则不计次数，重掷一次)    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形的相似 13大高频考点概览 考点01 比例的基本性质（基础题） 考点09相似三角形的实际应用 考点02利用设“k”法求解 考点10相似三角形压轴之探究类问题（压轴题） 考点03成比例线段 考点11相似三角形压轴之坐标类问题（压轴题） 考点04黄金分割相关求解（高频考题） 考点12位似比的相关求解 考点05平行线分线段成比例 考点13求位似图形的对应坐标 考点06相似多边形的性质 考点14求两个位似图形的周长比、面积比 考点07利用相似三角形的性质求解 考点15在坐标系中画位似图形（高频考题） 考点08相似三角形的性质与判定综合解答 地 城 考点01 比例的基本性质 1．(24-25上·四川成都石室天府中学（两校区）·模拟)若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据，整理得，再代入进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C 2．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据两内项之积等于两外项之积即可得出正确选项，熟记比例的性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得：，，，， 故选：C． 3．(24-25九上·四川成都高新区·期末)若，则的值= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质设出a、b的值是解题的关键．设，，然后代入计算即可． 【详解】解：， 设，， 则原式 故答案为： 4．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的基本变形是解决本题的关键． 根据已知，用b表示a、d表示c、f表示e，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 5．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)若，则 ． 【答案】 【分析】由得，设，代入化简即可． 本题考查了比例的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由得， 设， ． 故答案为：． 6．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)若，其中，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，由可得，，因为，把整体代入，即可得到答案．得到从而等量代换是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为： 7．(21-22九上·四川成都青羊区·期末)若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的基本性质，正确将比例式变形是解题的关键． 直接利用比例的性质即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， 即， 故答案为：． 8．(24-25九上·四川成都东部新区·)已知，且，则代数式的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握合比的性质是解题的关键．利用合比的性质即可解答． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 9．(24-25九上·四川成都新都区·期末)若，则的值为 ． 【答案】 【来源】四川省成都市新都区2024——2025学年上学期九年级数学期末考试卷 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．根据，得，代入即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 地 城 考点02 利用设“k”法求解 1．(24-25九上·四川成都温江区·期末)已知，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质正确表示出各数是解题的关键． 设，，，代入得出，求出即可． 【详解】解：设， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．(24-25九上·四川成都双流区·期末)已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，利用设法，进行计算即可解答．熟练掌握用设法是解题的关键． 【详解】解：设， 则，，， ， 故答案为：3． 3．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)已知，且，则的值为______． 【答案】12 【分析】本题考查了比例的性质，利用“设法”表示出、、求解更加简便． 设比值为，然后用表示出、、，再代入等式求出的值，即可得解． 【详解】解：设， 则，，， ， ， 解得， ， 故答案为：． 4．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)已知，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查比例的性质，设，则，，根据，建立关于的等式并求解，即可解题． 【详解】解： ， 设，则，， ， ，解得， ． 故答案为：． 5．(21-22九上·四川成都武侯区·期末)已知0，且a+b﹣2c＝3，求a的值． 【答案】6 【分析】设，，（），由，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：设，，（）， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确设出，，（），构造方程求解是解题的关键． 地 城 考点03 成比例线段 1．(24-25九上·四川成都青白江区·期末)已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了成比例线段，由四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义，即可得，又由，，，即可求得的值，解题的关键是掌握成比例线段的定义． 【详解】解：∵是成比例的线段， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：． 2．(23-24九上·四川成都武侯区·期末)已知四条线段a，b，c，d成比例，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，利用成比例线段的定义得到，然后根据比例的性质对各选项进行判断．熟练掌握成比例线段的定义是解决问题的关键． 【详解】解：∵四条线段，，，成比例， ∴，即：． 故选：B． 3．(23-24九上·四川成都简阳·期末)若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，若四条线段，，，成比例，则，由此进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：四条线段，，，成比例， ， ，，， ， 故选：A． 4．(23-24九上·四川成都新都区·期末)若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d是（    ） A．8 B．0.5 C．2 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，四条线段a、b、c、d， 若，这四条线段叫成比例的线段．正确理解成比例线段的定义是解决问题的关键． 利用成比例线段的定义得到，然后利用比例的性质求出d的值即可． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 5．(23-24九上·四川成都双流区·期末)在一副比例为的地图上，A，B两地相距5厘米，则A，B两地的实际距离为 千米． 【答案】50 【分析】本题考查了比例线段的知识，实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离． 【详解】解：根据题意，． 即实际距离是50千米． 故答案为：50． 地 城 考点04 黄金分割相关求解 1．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)在如图所示的“五角星”图案中，，两点都是线段的黄金分割点，若，则线段的长为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点的知识，理解并掌握黄金分割点的定义和性质是解题关键．设，则，利用黄金分割点可以得到成比例线段，可知，代入数值并解方程即可获得答案． 【详解】解：设，则， ∵两点都是线段的黄金分割点， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意， ∴的长为． 故答案为：． 2．(24-25九上·四川成都成华区·期末)矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形的长边，则它的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金比，矩形的面积，由题意可得，即得，进而根据矩形的面积公式计算即可求解，掌握黄金比是解题的关键． 【详解】解：∵矩形为黄金矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：． 3．(24-25九上·四川成都天府新区·期末)2024年，四川天府新区美术馆入选法国凡尔赛建筑奖《2024全球最美七大博物馆》．我们知道在美术作品中常常会运用“黄金分割”，以突出画面焦点，如图，若点C可看作是线段的黄金分割点，，则的长为 ．（结果保留根号）    【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵若点C可看作是线段的黄金分割点，且， ∴． 又∵， ∴ 故答案为：． 4．(23-24九上·四川成都经开区·期末)黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，B为的黄金分割点，长度为，则的长度为 （结果保留整数）． 【答案】10 【分析】根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可．本题考查了黄金分割的定义；熟记黄金比是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴ 故答案为：10． 5．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)如图，正方形的边长为为线段的中点，为线段的黄金分割点，以为边作正方形，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，正方形的性质．根据黄金分割的定义可得，再结合正方形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴， ∵为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 6．(23-24九上·四川成都金牛区·期末)黄金分割的美在生活中随处可见．如图，在设计人体雕像时，使雕像腰部以下的高度a与全身的高度b的比值接近．可以增加视觉美感若图中b为5米，则a约为 米．（结果精确到一位小数） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据，b为5米，即可求出a的值． 【详解】解：由题意可得，， ∴ ∴， 故答案为：． 7．(23-24九上·四川成都武侯区·期末)在一次趣味运动会中，某数学项目小组利用黄金分割比设计了一个掷飞镖的游戏．如图，在 “靶”中，点M，N分别是线段的两个黄金分割点，我们把的内部称为“黄金区域”（图中阴影部分）．游戏规定：投掷的飞镖落在“黄金区域”即为获胜．假设投掷的飞镖都能落在“靶”内，现小明随机向该“靶”投掷一枚飞镖，则小明获胜的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，概率公式，先根据黄金分割的定义可得，，从而利用线段的和差关系可得，进而可得，然后根据小明获胜的概率，进行计算即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：∵点，分别是线段的两个黄金分割点， ∴，， ∴， ∴， ∴小明获胜的概率， 故答案为：． 8．(23-24九上·四川成都青羊区树德实验中学·期末)如图，乐器上的一根弦的长度为20cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦靠近点B的黄金分割点，则线段的长度为 cm． 【答案】/ 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算是解题的关键．直接由黄金比值列式计算即可． 【详解】解：∵点C是弦靠近点B的黄金分割点，的长度为20cm， ∴， 故答案为：． 9．(22-23九上·四川成都高新区·期末)黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．如图，一芭蕾舞演员的身高为，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为 ．（黄金分割比）    【答案】 【分析】本题考查了黄金分割比例的实际应用、解分式方程；熟记黄金分割比例，正确求解方程是解题的关键．设演员的上半身长为，掂起脚尖后，下半身长为，根据黄金分割比列方程求解即可． 【详解】解：设演员的上半身长为，身高为，则掂起脚尖身高为， 下半身长为， 此时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比， 黄金分割比例约为：， ， 解得，经检验符合题意； 故答案为：． 地 城 考点05 平行线分线段成比例 1．(24-25九上·四川成都郫都区·期末)如图，在中，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．(24-25九上·四川成都温江区·期末)如图，已知，交，，于点，，，交，，于点，，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)如图，直线，若，则EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据，则，然后代入数值进行求解，即可作答． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 4．(22-23九上·四川成都大邑县·期末)如图，已知，若，则的长为（    ）    A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 5．(23-24九上·四川成都温江区·期末)如图，已知直线，，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A． 6．(23-24九上·四川成都郫都区·期末)如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C都在横线上．若线段，则线段的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解． 此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理，找准对应线段，是解答此题的关键． 【详解】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E， ∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， ∴， ∴， 解得，， 故选：C． 7．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)如图，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，代入数值求值，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴ 故答案为： 8．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)如图，已知，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 地 城 考点06 相似多边形的性质 1．(22-23九上·四川成都锦江区·期末)如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质．由相多三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解． 【详解】解：因为两个图形相似： 解得：，，； ， 观察四个选项，D选项符合题意； 故选：D． 2．(23-24九上·四川成都青羊区树德实验中学·期末)若四边形四边形，且，已知，则BC的长是（    ） A．25 B．9 C．20 D．15 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例． 由相似多边形的性质推出，代入有关数据，即可求出的值． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 3．(24-25九上·四川成都双流区成都双流中学实验学校·期末)如图，矩形ABCD的长AB＝10，宽BC＝6，点M、N分别在AB、DC上，矩形MNCB与矩形ABCD相似，则CN等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式求得CN的长即可． 【详解】设CN＝x， ∵矩形MNCB与矩形ABCD相似， ∴， ∵AB＝10，BC＝6， ∴ 解得：CN＝， 故选：C． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是知道相似多边形的对应边的比相等. 4．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质，由矩形的性质可得，，由矩形矩形，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 5．(22-23九上·四川成都龙泉驿区·期末)如图，某校给初一年级划了一块大的矩形菜地，年级又将它分为大小形状完全相同的三块分给三个班，同学们测量后惊奇的发现，每块小菜地都与原大矩形菜地相似，则原矩形菜地的宽与长之比为 ． 【答案】/ 【分析】设原矩形的长为x，宽为y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得原矩形纸片的长与宽之比． 【详解】解：设原矩形的长为x，宽为y， ∴小矩形的长为y，宽为 ∵小矩形与原矩形相似， ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键． 地 城 考点07 利用相似三角形的性质求解 1．(24-25九上·四川成都成华区·期末)若，相似比为，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵与相似，且相似比为， ∴与的面积比为． 故选：C． 2．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的相似比的平方等于相似三角形的面积之比，根据此关系计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴（舍负）． 故选：A 3．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)如图，，它们的相似比是，已知，则的长是（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，它们的相似比是， ∴， ∵， ∴； 故选D． 4．(23-24九上·四川成都实验外国语学校·期末)已知，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理．求出的度数，再根据相似三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选D． 5．(21-22九上·四川成都双流区·期末)已知，且 ，若的面积为4，则的面积是（   ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵，且＝． ∴ ∵的面积为4， ∴的面积为9， 故选：C． 6．(22-23九上·四川成都大邑县·期末)若，且＝．若的面积为8，则的面积是（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵，且＝． ∴ ∵的面积为8， ∴的面积为18， 故选：D． 7．(23-24九上·四川成都简阳·期末)如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由，得出，，再由进行计算即可得出答案，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ，， ， 故选：C． 地 城 考点08 相似三角形的性质与判定综合解答 1．(24-25九上·四川成都温江区·期末)如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，由，，所以，则，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”得到结论； （2）由，G为的中点，得，而，由相似三角形的性质得，求出长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 2．(24-25九上·四川成都双流区·期末)如图，平分，B，C分别在射线上，连接，有，平分交于点D，点E在线段上，且，延长交于点F，连接 ． (1)求证：； (2)当时，求的度数； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1），根据角平分线的定义设，可得，再根据角平分线的定义得，然后根据等边对等角及三角形外角的性质得，最后根据等角对等边得，即可得出答案； （2），由可知，，进而得出，再由等边对等角得，然后根据三角形内角和定理求出，可得答案； （3），结合根据“边角边”证明 ，可得再根据，可得，然后说明 ，可求出，进而求出，接下来证明 ，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】（1）证明：平分， 设， ， . 平分交于点D， ， . ， ， ， ， ， ； （2）解：由可知：，， . ，， ， ， 在中，， ， 解得：， ； （3）解：由可知：，， ， 在和中， ， ， . ， ， . 又， ， ， ， ， . ，， ， 又， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形内角和定理，，角平分线定义等，灵活选择判定定理是解题的关键． 3．(24-25九上·四川成都高新区·期末)如图，在四边形中，对角线，交于点，，垂直平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知四边形的面积为20，，点在线段上，，射线交于点，交的延长线于点，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，再由平行线的性质可得，根据全等三角形 到现在得到，根据菱形的判定定理得到结论； （2）过作于，根据菱形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：垂直平分， ，， ， , 在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：过作于， 四边形是菱形， ， 四边形的面积为20，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理以及勾股定理是解题的关键． 4．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)如图，在菱形中，对角线与相交于点O，边，对角线． (1)求菱形的面积； (2)过点O作于E，交延长线于F，求证： 【答案】(1)96 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是要能证明． （1）根据勾股定理求出菱形对角线的长度，进而求出菱形的面积； （2）根据题意先求出，根据相似三角形的性质即可得到答案； 【详解】（1）解：菱形对角线相交于O， ∴且相互平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵中，， ∴ ∵于E， ∴ ，   ∵平分， ∴， ∴ ， ∵， ∴，                 ∴， ∴ 5．(24-25九上·四川成都成华区·期末)如图，在正方形中，延长到点，连结，过点作，垂足为点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由于点，得，由正方形的性质得，，则，即可根据证明，则； （2）设，由，得，则，，可证明，得，则，再证明，得，则，求得． 【详解】（1）证明：于点，交于点，交于点， ， 四边形是正方形，点在的延长线上， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：由（1）得， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的值是． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明入， ，以及是解题的关键． 6．(24-25九上·四川成都天府新区元音中学·)如图，四边形为菱形，，为上的点，交于点，G为上一点，且． (1)若，求证：； (2)若为中点，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质证明，得到，进而证得，即可得证结论； （2）根据P为中点，O为中点，利用中线的性质可得，得到，设，，根据勾股定理有，代入求解即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接交于， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵P为中点， ∴，， ∴， ∵O为中点， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 设，， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴， ∴在菱形中，． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中线的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 7．(23-24九上·四川成都高新区·期末)如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E作的垂线交边于点F，连接并延长，交边于点G． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点E作于M，于N，证明，得出； （2）根据勾股定理求出，证明，得出，即，求出，根据勾股定理求出，即可求出． 【详解】（1）证明：过点E作于M，于N，如图所示： 在正方形中，，平分， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：在正方形中，，， 在中， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定方法． 8．(23-24九上·四川成都郫都区·期末)如图，在菱形中，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N，连接． (1)求证：； (2)连接，若，且 ，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质等知识，关键是证明三角形相似． （1）先证明，得出，再证明出，由三角形相似的判定定理证明，再由相似三角形的性质得出结论； （2）先求出，再由勾股定理求出 ，设，则 ，再由勾股定理得出，求出 ，从而得到是等边三角形，然后求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∵，， ∴，由（1）知，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， 在中， ， 设，则 ， 在中，， 即，解得 ，即 ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴． 9．(23-24九上·四川成都成华区·期末)如图，在矩形中，延长到，延长到，使，，交于点． (1)求证：； (2)过点作的垂线，交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质等知识； （1）由矩形的性质得出，，证出，证明，即可得出结论； （2）证明，根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：． 10．(23-24九上·四川成都都江堰·期末)如图，点分别在三边上，且，．    (1)求的长； (2)若的面积为4，求四边形的面积． 【答案】(1)6 (2)24 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理即可得出结论； （2）根据平行线的性质和相似三角形的判定和性质即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ，且， ， ， ， ∴． 11．(23-24九上·四川成都武侯区·期末)如图，在中，D，E是边上的两点，连接，，且满足，平分．    (1)求证：； (2)若，，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，得，因为，所以，则，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，，求得，再根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ， 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质、勾股定理，推导出，进而证明是解题的关键． 地 城 考点09 相似三角形的实际应用 1．(24-25九上·四川成都高新区·期末)小孔成像的原理是光的直线传播．如图，一发光的电子蜡烛竖直放置经小孔O在屏幕竖直放置上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为    【答案】15 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．利用已知得出：，进而利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：设小孔O到的距离为x， 由题意可得：， 则， 解得： 答：小孔O到的距离为， 故答案为： 2．(24-25九上·四川成都郫都区·期末)物理中“小孔成像”和数学中“位似知识”相关．如图，测得火焰高为，其像高为，小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形对应高的比等于相似比是解题的关键． 根据题意可得，则相似比为为，根据位似图形（相似图形）的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴相似比为， 设小孔到的距离为， ∴， 解得，， 当时，原式有意义， ∴小孔到的距离为， 故答案为： ． 3．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)如图，为了测量学校校旗杆的高度，小东用长2.4米的竹竿做测量工具．保持与地面垂直，移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿影长8米，竹竿与旗杆相距22米，则旗杆的高为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得出，推出，再由相似三角形的判定与性质计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴，即， ∴米， ∴旗杆的高为米， 故答案为：． 4．(24-25九上·四川成都双流区·期末)在凸透镜成像的实验中，我们有时无法直接测量出像的大小，但可以通过数学知识计算出来．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，请你根据以上数据求出像的高是多少厘米？ 【答案】13.5厘米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 像的高是13.5厘米． 5．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)金牛区世纪空间大厦项目双子塔整体已经竣工，为了测试双子塔建筑物的高度，小王同学采取了如下方法：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至直立站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中三点在同一条直线上．已知小王的眼睛距离地面的高度的长约为1.75米，和的长分别为97.56米和0.7米，求建筑物的高度．（说明：由物理知识，可知，） 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质． 先求出，得到，代入数值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴, 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵和的长分别为97.56米和0.7米，的长约为1.75米， ∴， ∴， 答：建筑物的高度约为． 6．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)某校开展“利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度”综合实践活动课，小明所在的数学小组准备测量旗杆的高度，他在他与旗杆之间的地面点处平放一面镜子，在镜子上做一个标记，小明看着镜子来回移动，直至看到旗杆的顶端在镜子中的像与镜子的标记重合．若小明的眼睛离地面的高度为米，且米，米，，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．根据题意可知，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， 旗杆的高度为12米． 7．(24-25九上·四川成都天府新区·期末)在物理课中我们学过《光的反射定律》，小天想利用光的反射定律测量麓湖对面美术馆的高度．首先，小天在地面上的点处放置了一块平面镜，随后，站在的延长线上，当小天从平面镜中刚好看到美术馆顶端时，测得小天到平面镜的距离为1.5米，小天的眼睛到地面的距离也为1.5米；将平面镜从点沿的延长线向后移动8米到点处，小天继续向后移动，眼睛又恰好看到美术馆顶端，这时测得小天到平面镜的距离是2.5米，求美术馆的高度． 【答案】美术馆的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设米，米，可证，得出，得到，根据相似三角形的判定得到，得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设米，米， 由题得，， ， ， 米，米， ， ， ，， ， ， 米，米，米， ， ； 美术馆的高度为米 ． 8．(24-25九上·四川成都青白江区·期末)【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中点在同一水平面上． (1)求反射点到木板的距离（即的长）； (2)求灯泡到地面的高度． 【答案】(1)的长为； (2)灯泡到地面的高度为 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）证明，根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∴， 即， 解得：， 经检验，是上述分式方程的解， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴灯泡到地面的高度为． 9．(24-25九上·四川成都东部新区·)在成都未来科技城福田地铁站台，以银杏为设计元素的“科技树”，像一个个超大雨伞，兼具集雨水收集、灯光联动等功能，实现站台整体的绿色低碳（如图）．在数学活动课中，小明利用硬纸板自制测量“科技树”的高度，即的长（如图）：已知，在中，米，米，，是树干上两点，目测点到地面的距离米，到树干的水平距离米，他通过调整位置，使斜边与点在同一直线上，另一条直角边与“科技树”左侧最高点在同一直线上，树冠的正投影点到树干底端距离即米．求“科技树”的高度． 【答案】“科技树”的高度为米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，设交于点，则有四边形，四边形，四边形是矩形，故有米，米，然后证明，根据性质得，最后代入求解即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， 由题意可得：四边形，四边形，四边形是矩形， ∴（米），（米）， ∵米， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：“科技树”的高度为米． 10．(24-25九上·四川成都新都区·期末)新都宝光寺中有一座舍利宝塔，因其独特的造型被称为“东方斜塔”，从第六层起向西倾斜，给人一种别致动感的美．某数学兴趣小组计划测量该塔的高度如图，塔前有一棵小树的高度，发现水平地面上点E，树顶C和塔顶A恰好在同一条直线上，测得，D、E之间因有一个花园阻隔无法测量其距离．现在E处放置—块平面镜，沿方向走到G处，恰好在平面镜中看到树顶C．已知，测量者眼睛到地面的距离为，若，，，且点B，D，E，G在同一水平线上．（平面镜的大小厚度忽略不计） (1)请求出的距离； (2)请求出该塔的高度． 【答案】(1)米 (2)塔的高度为30米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得：，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算可得米； （2）证明，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ，，， ， ， ， ， 解得米， 答：的距离为米； （2）解：，， ， ， ， 解得：米， 塔的高度为30米． 地 城 考点10 相似三角形压轴之探究类问题 1．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； (2)【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； (3)【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）由四边形为矩形，，可得，，结合，即可求解， （2）由已知可得，进而得到，由，可得，通过等量代换，即可求解， （3）作等腰梯形，利用相似三角形的判定和性质得出，，设，用含的代数式，表示出，，，列出等量关系，即可求解， 本题考查了，矩形的性质、平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练应用相似三角形的线段比，进行求解． 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ， ， ， ， ， ， ， ， （2）解：仍然成立，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， （3）解：在线段上取一点，使得， 则四边形为等腰梯形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为中点，， ， 设，则， ， ，，， ， ，， 过点作，交于点， ∴， ， ， 延长交延长线于带你E，如图所示： ， ， 为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ， ， （舍去），， ． 2．(24-25九上·四川成都成华区·期末)数学综合与实践小组同学对“一线三直角”图形进行了深入研究．如图，在中，，，，将斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交直线于点． 【初步感知】 （1）求的长； 【深入研究】 （2）连接交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）若点在直线上，满足，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】（1）证明，得到，即可得到； （2）延长相交于点M，证明，则，解得，，由勾股定理得到，，，得到，证明，则，进一步得到，则； （3）分两种情况：当点P在C的左边和当点P在B的右边，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：由旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）延长相交于点M， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， 由勾股定理得到，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ （3）当点P在C的左边时，如图， 过点P作于点G， ∵， ∴， 设， ∴, ∴， ∵， ∴， 解得， 由勾股定理可得，， ∴ 解得， ∴ 当点P在B的右边时，如图，过点O作于点H， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上可知，的长为或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，添加合适的辅助线和分类讨论是解题的关键． 3．(24-25九上·四川成都高新区·期末)（1）基础：如图1，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，．若，求证：； （2）迁移：如图2，在菱形中，，，点为的中点，点在对角线上．若，求线段的长； （3）拓展：如图3，在矩形中，，点在边上，连接，使得，，两点分别在线段，上，连接，，．当时，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质推出，结合可推出结论； （2）连接，过点作，交延长线于，交于，证明，得出，推出，，可推出结果； （3）连接，过点作交于点，交于点，交于点，设，，，根据勾股定理推出．证明四边形为菱形结合，分别得出与，证明得出，即可推出结果． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ， ， ， ， 即， ， ； （2）解：连接，过点作，交延长线于，交于， 则， ， 又在菱形中，， ，， ， 又， ， ， ， ， 又，，， ，， 在中，， 又 ，， ， ， ； （3）解：如图，连接，过点作交于点，交于点，交于点，    ， 设，， ， 在中，， ， ． 解得，． ． ，， ．， ．， ． ， ． ．四边形为菱形． ， ． ． ， ， 在菱形中，，， ． 又， ． ． ， ． 解得（舍去负值）． 【点睛】本题是相似综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 4．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)在矩形中，．在射线上取一点，连接，且满足，直线与直线相交于点． 【尝试初探】 （1）如图1，当时，若，，求线段的长； 【深入探究】 （2）如图2，当时，若，求的值； 【拓展延伸】 （3）若，试探究线段与线段之间满足的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据矩形的性质，可证明，列出比例式，求得，设，则，列方程求解即可； （2）设在和中，，代入求得，则，进而求出，即可解答； （3）延长，交于点，分两种情况，列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 即． （2）∵， 可设， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图，延长，交于点， 当时，设， ∵， ∴， 即， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴． 当时，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即， 整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上，． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合应用，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5．(24-25九上·四川成都天府新区·期末)如图1，已知，，，连接，． (1)当绕点A旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 (2)如图2，点B在内部，延长交的延长线于F，交于G，若，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，点B在内部，连接，延长交于H，若，，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是发现图中的相似三角形，以及正确作辅助线构造直角三角形． （1）利用，得出，，进一步求出，利用相似三角形的性质即可求得； （2）先求出，得到，证明出，利用相似的性质求出后即可求解； （3）证明，求出，过B点作于K，求出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过B点作于K， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 6．(23-24九上·四川成都东部新区·期末)如图1，在矩形中，与相交于点O，，过点O做，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a，O对应，E对应．连接，． (1)问题发现：当时，__________，___________，__________； (2)拓展探究：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明； (3)问题解决：当旋转至B，，三点共线时，请计算线段的长． 【答案】(1)，， (2)无变化，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用勾股定理分别解即可； （2）连接，由题意得，，故可推出，进一步可得 , ，即 =   , ，最终推出 即可求解； （3）根据题意画出满足条件的两种情况，结合（2）中所得结论即可求解； 【详解】（1）解：如图所示： ∵， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ， 故答案为：，， （2）证明：连接，如图所示： ∵ ∴， 由旋转可得： ∴ ∴ , ∴ =   , ∴ ∴    ∴ （3）解：当旋转至B，，三点共线时，存在两种情况: 如图所示 在中，由勾股定理可得 由（2）中= 可得= ②如图所示 同理可得：= 综上所述，. 【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 7．(23-24九上·四川成都东部新区·期末)【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 【答案】问题1：证明见解析；问题2： 【分析】本题考查了相似三角形的应用；问题1：证明，根据相似三角形的性质可得； 问题2：根据相似三角形的性质，将数据代入比例式，即可求解． 【详解】问题1：由题可得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴①号“”字与②号“字”测试的视力相同 问题2：由（1）可得      ∵ ∴ ∴ 答：②号“”的高度应为 8．(23-24九上·河南南阳西峡县·期末)李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． (1)问题背景 如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ； 如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ； (2)探究迁移 如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由； (3)拓展应用 如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)，2 (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据翻折的性质以，全等三角形的性质平角的概念求出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可； （3）构造相似三角形，根据三角形相似的性质，得出和相等，然后根据相似三角形的性质和勾股定理求出的长，即为的长． 【详解】（1）解：（1）， ， ，， 由翻折的性质可知，， ， ， 又， ， 又， ， ， 由翻折的性质可知，，， ， ， 四边形为正方形， ， ， ，， ， ， ， ，即， 故答案为：，2； （2），理由如下： 由（1）可知，，， ， ； （3）过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图， ， ，，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 设， 四边形为菱形， ， ， ， ，， ，， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形和菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，合理构造相似三角形是解题的关键． 9．(23-24九上·四川成都武侯区·期末)如图，在菱形中，，E为边上一动点（点E不与B，C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，，交边于点H，设，． 【尝试初探】 （1）如图1，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，连接CF，当时，探究得出y的值为1，请写出证明过程； 【联系拓展】 （3）结合（2）的探究经验，从特殊到一般，最后得出y与x之间满足的关系式为．请根据该关系式，解决下列问题：连接，若，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【来源】四川省成都市武侯区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 【分析】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似证明． （2）连接交于，过作的平行线交于．等腰三角形中，顶角，底角，得到，证明，得到，在中，，，得到，，，，可得，证明，可得，． （3）当为等腰三角形时有两种可能，①，②，可求x的两个值． 【详解】证明：（1）∵，， ∴， ∵， ∴． （2）连接交于，过作的平行线交于． 在菱形中，，，，，互相垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∴， ∴； （3）当为等腰三角形时有两种可能， ①中，， ∵， ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ②，， ∴， ， 综上所述，为或． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，图形的旋转，菱形的性质，等腰三角形的性质数形结合，关键是添加辅助线构造直角三角形． 10．(23-24九上·四川成都都江堰·期末)【观察与猜想】 （1）如图1，点是矩形内一点，过点的直线，分别交矩形的边为点．若，则______； 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点分别在边上，连接与交于点．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，在边上，连接与交于点，当时，求的值． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】（1）如图，过作于，过作于，根据矩形的性质得到，，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论； （3）如图，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质得到，，，求得，在上截取，则为等边三角形，根据相似三角形的性质得到，设，则，列方程得到，过点作交于点，根据平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于， 则四边形，四边形是矩形，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：，， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 即； （3）解：如图，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，， ， 在上截取，则为等边三角形， ， ， ， ， ， 设，则， ， 则， ， ， 解得：， ， 四边形是平行四边形， 过点作交于点， 由（2）可得：， 故四边形为平行四边形， ， ， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 地 城 考点11 相似三角形压轴之坐标类问题 1．(24-25九上·四川成都高新区·期末)如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，点在轴正半轴上，以，为邻边作平行四边形，点的坐标为． (1)求点D的坐标； (2)为线段上一点，其横坐标为，过点作的垂线，交轴于点，交直线于点 ①如图2，若，求的面积； ②若以C，F，G为顶点的三角形与相似，求a的值． 【答案】(1)； (2)①；②a的值为0或 【分析】（1）利用平行四边形性质求得，进而得出直线的解析式为，即可求得答案； （2）①运用勾股定理可得，，再证得，即可求得，，再运用即可求得答案； ②过点作轴于点，设，可证得，求得，得出，分两种情况：当时，当时，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1， 四边形是平行四边形， ，， 在轴上，， ， 直线经过点， ， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， ， ， ； （2）解：①如图2， 当时，，， ∵，， ∴点E是的中点， 在中，，，， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ； ②过点作轴于点，设，如图， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， 当时， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，的值为0或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数与坐标轴的交点，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，分类讨论是解题的关键． 2．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)函数某数学兴趣小组一起研究函数的性质，组员甲说：“可以用列表描点连线的方法画一画函数图象，然后通过观察函数图象分析函数性质”；组员乙说：“这个函数含有绝对值，可以分类讨论化简，因此这个函数也可以写成”； 组员丙说：“因为，所以当时，函数有最小值”； 组员丁说：“我已经画出了函数的草图，是个“”字形，随着的增大，函数值先减小后增大”； 组员戊说：“函数图象是轴对称图形”． 他们说的都有道理，请根据几位同学的观点，解决下列问题． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是，若，请在此坐标系中作出函数图象，并标记图象与坐标轴交点的坐标； (2)在（1）的条件下，当，设函数最大值为，最小值为，求的取值范围； (3)将函数图象向上平移后与轴有唯一交点A，与轴交于点，点为函数图象上的点，若以、、为顶点的三角形与相似，求所有满足条件的点坐标． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)P点坐标或或． 【分析】本题考查了函数图象的探究，相似三角形的判定与性质，熟练掌握函数图象的性质与相似三角形的判定与性质和分类讨论思想是解题的关键， 把代入函数，可得函数解析式为，当时，，当时，，分类讨论求解即可； 设，分类讨论，分三种情况进行讨论：当即时；当时；若时；根据函数的增减性进行求解即可； 先得出函数过定点，将函数向上平移个单位得，与轴唯一交点，易得函数关于直线对称，再分类讨论，画出符合题意的图形求解即可； 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，可得：， 解得：， 图象与轴交点， 当时，可得：， 图象与轴交点为， 当时，， 当时，可得：， 解得：， 图象与轴交点为；     （2）解：设，， 若即时， ，在函数上， 函数值随增大而减小， 当时， 函数最大值为， 函数最小值为， 函数最大值与最小值差； 当时， ，在函数上， 函数值随增大而增大， 当时， 函数最大值为， 函数最小值为， 此时，函数最大值与最小值差； 若时， 分别在函数和上， 当， 当时函数在点处取最小值， 此时，函数最大值为为或， 若即时，， 最大值与最小值差， 当或时，与中较大的值大于， 此时，函数最大值与最小值差， 综上所述：； （3）解：函数过定点， 由知函数最小值为， 如图将函数向上平移个单位得，与轴唯一交点， 当时，与轴交点为， 当时，，为图象上一点； 显然图象关于直线对称， 以，，为顶点的三角形与相似， 若， 由对称性可知， 为等腰直角三角形， ， ， 当轴时，， ， 满足， ， ， 解得：， ； 若， 由对称性可知， 在中， ， 当时，满足， ， ， ，， 解得， 当时， 可得：， ， ， 满足， ，， 解得， 综上所述，P点坐标为：或或． 3．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)如图，已知直线经过点，交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)F为线段的中点，C是线段上的一点，连接，过点F作的垂线交x轴于点D，探究线段与的数量关系； (3)在（2）的条件下，是y轴正半轴上的一点，在平面直角坐标系内是否存在一点P，使得，且与相似？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，，，， 【分析】（1）由直线经过点，得到，求得，当时，，当时，，于是得到，； （2）连接，如图1所示：根据等腰直角三角形的性质得到，由为线段的中点，得到，，，求得，根据全等三角形的判定和性质定理得到结论； （3）由为线段的中点，得到，根据勾股定理得到，设，求得，得到，设直线的解析式为，把代入得，，求得直线的解析式为，设，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：直线经过点， ， ， ， 当时，， 当时，， ； （2）解：证明：连接，如图1所示： ， ， 是等腰直角三角形， ， 为线段的中点， ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ； （3）解：为线段的中点， ， ∵， ， 设， ， ， 或 (不合题意舍去)， ， ，， ， ， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得，， 直线的解析式为， 设， ， 与相似， ， ， 或， 或， 解得或， ∴把代入，得； ∴把代入，得； ∴把代入，得； ∴把代入，得； 或或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 4．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是，点是凸透镜的中心，光线，点是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点，，，在同一条直线上．    (1)如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像时，若． ⅰ）填空：的值为______； ⅱ）求此时虚像的高度； (2)如图，当蜡烛通过该凸透镜成倒立缩小的实像，且时，求此时物距的长． 【答案】(1)ⅰ）； ⅱ）； (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例得到线段之间的关系． （1）ⅰ）根据可证，根据相似三角形对应边成比例可证； ⅱ）由可得，根据可证，根据相似三角形对应边成比例可得，根据的高度可求的高度； （2）根据可证，根据相似三角形的性质可证，根据焦距的长为，可求，从而可得：，根据可知，已知的长度，从而可求的长度． 【详解】（1）解：ⅰ），， ，， 四边形是矩形， ，， ， 故答案为：； ⅱ）由ⅰ）可知， ， ， ， ， ， ， 答：虚像的高度为； （2）解：， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：物距的长为． 5．(21-22九上·四川成都武侯区·期末)【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到关于点的“度比坐标”，把称为点到关于点的“度比坐标” 【迁移运用】 如图，直线：分别与轴，轴相交于，两点，过点的直线与在第一象限内相交于点．根据定义，我们知道点到关于点的“度比坐标”为． (1)请分别直接写出，两点的坐标及点到关于点的“度比坐标”； (2)若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同．求直线的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，点，分别是直线，上的动点，连接，，若点到关于点的“度比坐标”为，求此时点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，“度比坐标”为 (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标为，点的坐标为，得到，再由，，即可得到答案； （2）如图所示，过点作轴于，连接，根据点到关于点的“度比坐标”为，求出点的坐标为；再由若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同，推出，即可推出，证明，求出，得到点的坐标为，由此求解即可； （3）分两种情况，①如图所示，过点作轴于，过点作轴于，根据点到关于点的“度比坐标”为，得到，；证明，得到，设点的坐标为则，，求出点的坐标为，则，②当在第三象限，在第四象限时，如图过点作轴于点，过作轴于点，同第一种情况，设点的坐标为，则，，同理算出点的坐标为，再代入直线的解析式，得到的值，进而得到点坐标，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线：分别与轴，轴相交于，两点， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，， ∴点到关于点的“度比坐标”为； （2）如图所示，过点作轴于，连接， ∵点到关于点的“度比坐标”为． ∴， ∴， ∴点的坐标为； ∵若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同． ∴，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，令，解得， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （3）有两种情况， ①当在第二象限，在第一象限时，如图所示，过点作轴于，过点作轴于， ∴， ∵点到关于点的“度比坐标”为， ∴，； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的坐标为则，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． ②当在第三象限，在第四象限时，如图，过点作轴于点，过作轴于点， 同第一种情况，可设点的坐标为，则，， 同理可得到点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴综上点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，解题的关键在于能够准确理解题意并分类讨论求解． 6．(22-23九上·四川成都大邑县·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，，点（A点在C点的左侧），连接，过点A作的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知，直线交x轴于点E． (1)求直线的解析式； (2)直线有一点F，若与相似，求F点的坐标； (3)如图2，在直线上找一点G，直线上找一点P，直线上找一点Q，使得四边形是菱形，求出P点的坐标． 【答案】(1) (2)1或 (3)或 【分析】（1）由，得到，再由已知求出，即可得到，用待定系数法求直线的解析式即可； （2 ）由题意可知只有和两种情况，此时F点必在x轴下方，分两种情况求解即可； （ 3）设，，，为菱形对角线，，列出方程组，解得或，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴的解析式为， 令，则 ∴ ∴， ∴，，，， ∵F点在直线上， ∴设， ∴， ∵， ∴与相似时，只有和两种情况，此时F点必在x轴下方， ∴， ①当时，， ∴， ∴（舍）或； ②当时，， ∴， ∴或（舍）； 综上所述：t的值为1或； （3）解：设， ∵四边形是菱形，， ∴为菱形对角线，， ∴， 解得或， 当时，则， ， ； 当时，则， ， ； ∴P点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，三角形相似的判定及性质，分类讨论，准确地计算是解题的关键． 7．(23-24九上·四川成都高新区·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴正半轴上，且，在直线上取点D，使．     (1)求点D的坐标； (2)点M在射线上，过点M作直线的垂线，垂足为N，设点M的横坐标为a，线段的长度为d，求d与a之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，在线段上取点E，使．点F在坐标平面内，是否存在以M、N、E、F为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点E的坐标为或 【分析】（1）分别求出A，B，C的坐标，根据推出点D在线段AC的垂直平分线上，即可求解； （2）求出直线的函数解析式可得，过点M作交直线CD于G，证即可求解； （3）分类讨论①当四边形是菱形且时②当四边形是菱形且时，两种情况即可求解. 【详解】（1）解：∵直线分别交于x轴，y轴于A，B两点 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴点D的横坐标为1 ∵点D在直线上， ∴ （2）解：设直线的函数解析式， 则， 解得， ∴ ∵点M在直线上且横坐标为a， ∴ 过点M作轴交直线CD于G， 则， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴，，， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 即： （3）解：①当四边形是菱形且时，如图 过点M作x轴的平行线交过点E平行于y轴的直线于Q，点D作轴于H ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴ 由（2）可知， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ②当四边形是菱形且时，如图 ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ 过点A作于G，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴综上所述，点E的坐标为或 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及了一次函数解析式的求解，相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊四边形的存在性问题等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的函数和几何基础 ． 地 城 考点12 位似比的相关求解 1．(24-25九上·四川成都双流区·期末)如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，若的周长是4，那么的周长为（      ） A．6 B．9 C．10 D．36 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解： ， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 和的周长之比为， 的周长是4， 的周长是10， 故选：C． 2．(24-25九上·四川成都新都区·期末)如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，由题意得，，则和的相似比为，再结合相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， 即与的面积比是． 故选：D． 3．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若四边形与四边形的面积比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似图形的性质即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形，且四边形与四边形的面积比为， ， 故选：C． 4．(23-24九上·四川成都温江区·期末)如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形的面积比是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的判定和性质、相似多边形的性质，熟记相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的概念得到四边形四边形，，得到，求出，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：， ， 四边形与四边形位似， 四边形四边形，， ， ， 四边形与四边形的面积比是， 故选：D． 5．(23-24九上·四川成都金牛区·期末)如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，的周长为3，则的周长为（    ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质；根据题意求出位似比，然后根据位似图形的周长比等于位似比可得答案． 【详解】解：∵且与是位似图形， ∴与的位似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为3， ∴的周长为6， 故选：B． 6．(23-24九上·四川成都都江堰·期末)如图，与是关于轴上一点的位似图形，若，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键，直接利用位似图形的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵对应点和的坐标分别为，， ∴，，，，， 由题意可得：， ∴， ∴， 解得：， ∴位似中心到点的距离是1， ∴位似中心的坐标为， 故选：B． 地 城 考点13 求位似图形的对应坐标 1．(24-25九上·四川成都青白江区·期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，边在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且位似比为，那么点的坐标为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质、矩形的性质，熟练掌握位似的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由图可得，，根据位似的性质可得点的坐标是或． 【详解】解：由图可得，， ∵矩形与矩形关于点O位似，且相似比为， ∴点的坐标是或，即或． 故选：B． 2．(21-22九上·四川成都高新区·期末)如图，在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心为点，号“”与号“”的相似比为．点在号“”上，则点在号“”上的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质计算，即可解答． 【详解】解：号“”与号“”的相似比为，点， 点在号“”上的对应点的坐标为，即， 故选：A． 3．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别为．以原点O为位似中心，作的位似图形，且与的相似比为，点A，B，C的对应点分别为，则点的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵以原点 O为位似中心，作的位似图形，且与的相似比为，点C的坐标为， ∴点的坐标为或，即或， 故选：D． 4．(23-24九上·四川成都实验外国语学校·期末)如图，与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，若点A的坐标为，则点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质，若以原点为位似中心，且都在同一侧的两个位似图形，其坐标比等于相似比，相似比为，则对应的坐标比也为，即可解得点C的坐标． 本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，点A的坐标为， ∴点C的坐标为，即， 故选：D． 5．(22-23九上·四川成都邛崃·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此求解即可得． 【详解】解：以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，点P的坐标为， 则点P的对应点的坐标为或， 即或， 故选：C． 【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 6．(23-24九上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，顶点O在坐标原点，顶点A，B的坐标分别为．与位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为，则点C的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据位似的性质求出点C的坐标，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 【详解】顶点A，B的坐标分别为．与位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为， A点的对应点C的坐标为，即， 故答案为：． 地 城 考点14 求两个位似图形的周长比、面积比 1．(24-25九上·四川成都金牛区成都七中万达学校·期末)与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是10，则的面积是（    ）． A．10 B．40 C．80 D．20 【答案】B 【分析】根据位似变换的性质得到△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】∵与是位似图形，且与位似比是， ∴∽，相似比为， ∴， ∵的面积是10， ∴的面积是40. 故选B． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 2．(23-24九上·四川成都锦江区·期末)数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形…．”请利用这一规律解答下面问题：已知，，且，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换，解题的关键是理解将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘（或，，所得图形的形状不变，各边扩大到原来的 倍（或缩小为原来，且连接各对应顶点的直线相交于一点．根据题意求出线段与线段的相似比，计算即可． 【详解】解：，，， 线段与线段的相似比为， ， ， 故选：A． 3．(22-23九上·四川成都金牛区·期末)如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，五边形的周长为，则五边形的周长是 ． 【答案】100 【分析】根据位似图形的性质：周长比等于位似比即可得到答案． 【详解】解：由题意知五边形与五边形位似，， ，五边形的周长为， 五边形的周长：五边形的周长为 ， 五边形的周长， 故答案为：100． 【点睛】本题考查位似性质，熟记位似图形周长比等于位似比是解决问题的关键． 4．(23-24九上·四川成都青羊区·期末)如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，的面积等于3，则的面积 ．    【答案】/ 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质．根据位似变换的概念得到，，从而得到得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于3， ∴的面积为． 故答案为： 地 城 考点15 在坐标系中画位似图形 1．(22-23九上·四川成都大邑县·期末)在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出与关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查了位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． （）根据关于x轴对称的点的坐标得到的坐标，，，然后描点，连接即可； （）把、、的坐标都乘以得到的坐标，，，然后描点，连接即可； 【详解】（1）解：如图，关于x轴对称的点的坐标得到的坐标，，，然后描点，连接 ∴即为所求； （2）解：的坐标都乘以得到的坐标，，，然后描点，连接， ∴如图所示，即为所求，． 2．(22-23九上·四川成都蒲江县·期末)如图，在平面直角坐标系中，三顶点坐标分别为，，．    (1)在平面直角坐标系内画出； (2)以点为位似中心，在点的下方画出，使与相似比为； (3)直接写出点，坐标． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3)由图可得，点，． 【分析】（）在平面直角坐标系描点即可； （）根据相似比的以及点，，的坐标即可求得； （）根据位似的性质可得到，； 本题考查了位似作图，图形与坐标，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 【详解】（1）如图，    ∴即为所求； （2）如图，    ∴即为所求； （3）根据坐标可知：点，． 3．(21-22九上·四川成都新都区·期末)如图，在边长为1的小正方形网格中． (1)△ABC向右平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1，其中B1的坐标为______； (2)以点A为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△AB2C2，请在网格中画出△AB2C2； (3)连接AB1，B1B2，则△AB1B2的面积为______． 【答案】(1)见解析，B1的坐标为（11，6） (2)见解析 (3)20 【分析】（1）先根据点坐标平移的特点得到点A、B、C的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接A1，B1，C1即可； （2）根据位似图形的性质得到点A、B、C的对应点A2，B2，C2，然后顺次连接A2，B2，C2即可； （3）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∵△ABC向右平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到△A1B1C1，A（1，1）、B（5，1）、C（2，3）， ∴A1（7、6），B1（11，6），C1（8，8）， 故答案是：（11，6）； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由题意得：， 故答案是：20． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，画位似图形，三角形面积，坐标与图形等等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系． (1)若将沿轴对折得到，则的坐标为 ． (2)以点为位似中心，将各边放大为原来的2倍，得到，请在这个网格中画出． (3)若小明蒙上眼睛在一定距离外，向的正方形网格内掷小石子，则刚好掷入的概率是多少？ (未掷入图形内则不计次数，重掷一次)    【答案】（1）(4,-1)；（2）见解析；（3）. 【分析】（1）根据对称的特点即可得出答案； （2）根据位似的定义即可得出答案； （3）分别求出三角形和正方形的面积，再用三角形的面积除以正方形的面积即可得出答案. 【详解】解：（1） （2）    （3）∵， ∴ 【点睛】本题考查的是对称和位似，比较简单，需要掌握相关的基础知识. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $