专题02 一元二次方程（13大题型）（期末真题汇编，四川成都专用）九年级数学上学期北师大版

专题02 一元二次方程 13大高频考点概览 考点01 判断是否为一元二次方程 考点08利用根与系数的关系求参数的值（高频题） 考点02根据一元二次方程的定义求参数 考点09解一元二次方程（计算题）（重点题） 考点03利用一元二次方程的解求参数 考点10一元二次方程实际应用之增长率问题（重点题） 考点04配方法解一元二次方程（选填） 考点11与图形有关的实际问题（重点题） 考点05根据判别式判断根的情况（高频题） 考点12实际应用中数字问题（重点题） 考点06根据判别式求参数的值（高频题） 考点13实际应用中营销问题（重点题） 考点07利用根与系数的关系求代数式的值 地 城 考点01 判断是否为一元二次方程 1．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)下列方程中是一元二次方程的是（　 　） A． B． C． D． 2．(23-24九上·四川成都实验外国语学校·期末)下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·四川成都新都区·期末)下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24九上·四川成都青羊区·期末)下列方程中，关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·四川成都龙泉驿区·期中)下列方程属于一元二次方程的是（    ） A． B． C．x﹣3＝0 D． 7．(24-25九上·四川成都郫都区·期末)下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·四川成都郫都区·期末)将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是1，一次项系数是，常数项是的方程是（ ） A． B． C． D． 地 城 考点02 根据一元二次方程的定义求参数 1．(24-25九上·四川成都天府新区·期末)一元二次方程的一次项系数为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川成都新都区·期末)一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（   ） A．3，1 B．，1 C．3， D．1， 3．(24-25九上·四川成都天府新区元音中学·期末)关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 4．(24-25九上·四川成都双流区·期末)已知关于x的一元二次方程的一个根是2，写出一个符合条件的方程： ． 5．(24-25九上·四川成都大邑县·期中)已知是关于x的一元二次方程，则m= ． 6．(24-25九上·四川成都温江区·期末)关于x的方程是一元二次方程，则 ． 7．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 地 城 考点03 利用一元二次方程的解求参数 1．(24-25九上·四川成都郫都区·期末)若是方程的解，则常数的值为（   ） A．12 B． C．2 D． 2．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)若是一元二次方程的一个根，则c的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．(23-24九上·四川成都高新区·期末)已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（    ） A． B．2 C． D．3 4．(24-25九上·四川成都温江区·期末)已知是关于的方程的一个根，则 ． 5．(24-25九上·四川成都高新区·期末)若一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 6．(24-25九上·四川成都东部新区·期末)已知关于的一元二次方程有一个根为0，则 ． 7．(24-25九上·四川成都新都区·期末)已知是方程的一个解，则 ． 8．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 9．(23-24九上·四川成都双流区·期末)关于x的一元二次方程的一个根是，则 ． 地 城 考点04 配方法解一元二次方程（选填） 1．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川成都青白江区·期末)用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（  ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·四川成都东部新区·期末)用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(22-23九上·四川成都新都区·期末)要用配方法解一元二次方程那么下列变形的结果中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．(23-24九上·四川成都金牛区·期末)用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(23-24九上·四川成都高新区·期末)用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 根据判别式判断根的情况 1．(24-25九上·四川成都双流区·期末)一元二次方程的根的情况是（      ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．(24-25九上·四川成都高新区·期末)一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．(23-24九上·四川成都双流区·期末)一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 4．(23-24九上·四川成都温江区·期末)一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．(22-23九上·四川成都邛崃·期末)一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 7．(21-22九上·四川成都青白江区·期末)已知方程，则该方程的根的情况为（    ） A．方程没有实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程的根无法判定 8．(24-25九上·四川成都·期末)一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 地 城 考点06 根据判别式求参数的值 1．(24-25九上·四川成都温江区·期末)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川成都天府新区元音中学·期末)如果关于x的方程有两个相等的实数根，且a、b、c是的三边长，那么是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 3．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)关于的方程有两个不相等的实数根，则可以是（　　）． A． B． C． D． 4．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．(22-23九上·四川成都新都区·期末)若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值为（　　） A．且 B．且 C． D． 6．(23-24九上·四川成都成华区·期末)若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 8．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 9．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 10．(23-24九上·四川成都双流区成都天府中学·期末)若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，的取值范围为 ． 11．(24-25九上·四川成都天府新区·期末)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 地 城 考点07 利用根与系数的关系求代数式的值 1．(24-25九上·四川成都高新区·期末)已知m，n是一元二次方程的两根，则 ． 2．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)已知m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 3．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 4．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)已知是方程的两个不相等的实数根，则 ． 5．(24-25九上·四川成都青白江区·期末)若是方程的两根，则的值为 ． 6．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 7．(23-24九上·四川成都实验外国语学校·期末)已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 8．(23-24九上·四川成都高新技术产业开发区·期末)设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 9．(23-24九上·四川成都青羊区树德实验中学·期末)若方程的两个实数根为，，则的值为 ． 10．(23-24九上·四川成都都江堰·期末)已知实数，满足，，则 ． 地 城 考点08 利用根与系数的关系求参数的值 1．(23-24九上·四川成都温江区·期末)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ． 2．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，满足，则 ． 3．(23-24九上·四川成都锦江区锦江区嘉祥外国语学校·期末)已知关于x的方程有两个实数根，此方程两根分别为α，β，且，则 ． 4．(21-22九上·四川成都青羊区·期末)关于的一元二次方程的两个实数根分别是、，且满足，则的值为 ． 5．(24-25九上·四川成都成华区·期末)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若和原方程的两个实数根都是整数，且，求的值． 6．(21-22九上·四川成都龙泉驿区·期末)已知关于x的方程有两个实数根．若，求k的值． 7．(22-23九上·四川成都邛崃·期末)已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)已知该方程的两个根为，，且满足，求的值． 地 城 考点09 解一元二次方程（计算题） 1．(24-25上·四川成都石室天府中学（两校区）·模拟)解方程： (1)； (2)． 2．(24-25九上·四川成都高新区·期末)解方程： (1)； (2) 3．(24-25九上·四川成都成华区·期末)（1）解方程：；     （2）解方程：． 4．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)解方程 (1) (2) 5．(24-25上·四川成都天府新区元音中学·期末)用适当方法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 6．(24-25九上·四川成都新都区·期末)解下列一元二次方程 (1)； (2)． 7．(23-24九上·四川成都武侯区成都西川中学·期末)解方程 (1)； (2)． 8．(23-24九上·四川成都武侯区·期末)解方程： (1)； (2)． 地 城 考点10 一元二次方程实际应用之增长率问题 1．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)2024年10月30日，搭载3名宇航员的神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，如果浏览量平均每月增长率为x，则应列方程是（　 　） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川成都成华区·期末)某市2022年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达8亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·四川成都新都区·期末)目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校2021年给贫困学生每人400元补贴，2023年给贫困学生每人560元补贴，设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24九上·四川成都成华区·期末)新能源汽车节能、环保．某款新能源汽车年销量为万辆，销量逐年增加，年销量为万辆，设这款新能源汽车销量的年平均增长率为，则可列方程为 ． 6．(24-25九上·四川成都温江区·期末)推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台月份的水果销售量是，月份的水果销售量是． (1)若该平台月份到月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某店铺的水果进价为元，若售价为元，每天能销售，售价每降价元，每天可多售出．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？ 7．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)“骑行安全最重要，安全头盔要戴好．”2024年6月1日起，新修订的《成都市非机动车管理条例》正式实施，对驾驶非机动车闯红灯、不戴头盔、逆行等违法行为做出了规范．据了解，某经销商以25元/个的价格购入一批头盔，按50元/个的价格销售一段时间后，连续两次对该头盔进行降价，两次降价后，该头盔的售价为32元/个． (1)若该经销商两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当头盔售价为50元/个时，每月能够售出200个，当售价每降1元时，则月销量能增加20个．若要使月销售利润为5720元，则头盔的售价应为多少元？ 8．(24-25九上·四川成都天府新区·期末)2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． (1)求2023年、2024年这两年的平均增长率； (2)市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 9．(24-25九上·四川成都新都区·期末)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的万人增加到2024年的万人． (1)求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买量不超过套，每套售价为元；若购买量超过套，则购买量每增加套，每套售价可降低元，但每套最低售价不得少于元．已知社区向该公司支付货款万元，求购买的这种健身器材的套数． 10．(23-24九上·四川成都新都区·期末)新都柚作为新都区的地方名优特产，一般10月中下旬成熟，具有抗炎、祛痰、保肝益胃之功能，是老幼皆宜的果中珍品．新都区花香果居片区2021年，新都柚年产8000吨，预计2023年能够实现年产15680吨的目标． (1)求花香果居片区2021年至2023年新都柚年产量的年平均增长率； (2)一个合作社以640000元的成本采购了新都柚80吨，目前可以以12000元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需要支付各种费用16000元，但同时每星期每吨的价格会上涨2000元．那么，储藏多少个星期后，出售这批新都柚可获利1220000元． 11．(22-23九上·四川成都成华区·期末)聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元． (1)求该市改造小区投入资金的年平均增长率； (2)2023年小区改造的平均费用为每个80万元，2024年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？ 地 城 考点11 与图形有关的实际问题 1．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长是，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川成都青白江区·期末)如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠的宽为，根据题意列方程为（  ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·四川成都东部新区·期末)如图，在宽度为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·四川成都高新区·期末)如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．(24-25上·四川成都石室天府中学（两校区）·模拟)已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 6．(24-25九上·四川成都天府新区·期末)给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则我们称这个矩形是给定矩形的“减半矩形”，当已知矩形的长和宽分别为和时，其“减半矩形”的对角线长为 ． 7．(23-24九上·四川成都武侯区成都玉林中学·期末)欢欢家想利用房屋侧面的一面墙再砌三面墙围成一个长方形猪圈（如图），一面墙的中间留出宽的进出门（门使用另外的材料）．现备有足够砌长的围墙的材料，设猪圈与已有墙面垂直的墙面长度为，猪圈面积为． (1)写出与之间的函数关系式； (2)能否使猪圈面积为？说明理由． 8．(23-24九上·四川成都青羊区成都石室联合中学·期末)某中学创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图①，该中学有面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加，构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地． (1)求正方形区域的边长； (2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 地 城 考点12 实际应用中数字问题 1．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种． 2．(23-24九上·四川成都锦江区·期末)已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，，，均不为整数），且，（为正整数）．在点与点之间的所有整数依次记为；在点与点之间的所有整数分别记为．若，则的值为 ． 地 城 考点13 实际应用中营销问题 1．(24-25上·四川成都石室天府中学（两校区）·模拟)杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛线玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10500元． (1)求玩偶套装的进价是多少元？ (2)该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出80套．随着亚运会接近尾声，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，通过调查发现每件下降5元，在第一天的销量基础上增加10套．第二天按某一固定价格出售，销售结束时，当天卖出的玩偶获利2000元．求第二天销售结束后还剩余多少套玩偶套装？ 2．(24-25九上·四川成都高新区·期末)随着电子商务的不断发展，网络销售已经成为一种常用的销售方式．一商家通过电商平台销售某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利30元．经调研，在每件降价不超过15元的情况下，该服装每件降价1元，则每天可多售5件．设该服装每件降价x元，每天的销售量为y件． (1)直接写出y与x的函数表达式； (2)若此商家某天销售该服装共获得利润1200元，求这天该服装的销量． 3．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)一个农业合作社以每斤40元的成本收获了某种农产品，销往外地．若销售价为每斤50元，平均每天能售出100斤．经市场调查发现，当销售价每降低1元时，平均每天多售出10斤． (1)设售价为元，每天能售出斤，请写出关于的函数表达式； (2)该合作社要想使平均每天的销售额达到6750元且获利，则售价应为多少元？ 4．(24-25九上·四川成都温江区·期末)推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台月份的水果销售量是，月份的水果销售量是． (1)若该平台月份到月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某店铺的水果进价为元，若售价为元，每天能销售，售价每降价元，每天可多售出．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？ 5．(24-25九上·四川成都双流区·期末)小明妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小明帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下表： A B C D E 售价（元/盆） 20 30 18 22 26 日销售量(盆) 50 30 54 46 38 (1)请根据以上数据，求出日销售量(盆)与售价（元/盆）间的关系式； (2)根据以上信息，小明妈妈在销售该种花卉中，当售价定为多少时，每天能够获得利润450元？ 6．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)“骑行安全最重要，安全头盔要戴好．”2024年6月1日起，新修订的《成都市非机动车管理条例》正式实施，对驾驶非机动车闯红灯、不戴头盔、逆行等违法行为做出了规范．据了解，某经销商以25元/个的价格购入一批头盔，按50元/个的价格销售一段时间后，连续两次对该头盔进行降价，两次降价后，该头盔的售价为32元/个． (1)若该经销商两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当头盔售价为50元/个时，每月能够售出200个，当售价每降1元时，则月销量能增加20个．若要使月销售利润为5720元，则头盔的售价应为多少元？ 7．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，销售特别火爆．某水果商从农户手中购进A、B两种糖心苹果，其中A种糖心苹果进货价为25元/件，销售价为40元/件，B种糖心苹果进货价为18元/件，销售价为30元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价） (1)水果店用3300元购进A、B两种糖心苹果共160件，求两种糖心苹果分别购进的件数； (2)水果店发现B种糖心苹果还有大量剩余，决定对B种糖心苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元？ 8．(24-25九上·四川成都成华区·期末)某商场出售一种童装，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系．已知每件售价元时，日销售量为件；每件售价元时，日销售量为件． (1)求与之间的函数关系式； (2)该童装日销售额能否等于元？若能，求出每件售价；若不能，请说明理由． 9．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)当下，夜经济已成为成都经济高质量发展的重要组成部分，李华在某夜市商圈销售成都文创纪念T恤，他以每件55元的价格进购一批纪念T恤，以70元售出，平均每天能售出36件．经李华调查发现，这种纪念T恤的售价每增加1元，其日销售量就将减少2件． (1)求关于的函数表达式； (2)为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为多少元． 10．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)2024年成都世界园艺博览会于4月26日至10月28日举行．在盛会期间，某销售商进行市场调查发现：某类盆栽每盆进货价为60元．当销售价为90元时，平均每天能售出24盆；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2盆．现设销售价降低元，解答下列问题． (1)填空：现在平均每天可售出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）； (2)试向：当为何值时，平均每天盈利784元？ (3)若该销售商打算平均每天盈利900元，那么他的这种想法能实现吗？请说明理由． 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 13大高频考点概览 考点01 判断是否为一元二次方程 考点08利用根与系数的关系求参数的值（高频题） 考点02根据一元二次方程的定义求参数 考点09解一元二次方程（计算题）（重点题） 考点03利用一元二次方程的解求参数 考点10一元二次方程实际应用之增长率问题（重点题） 考点04配方法解一元二次方程（选填） 考点11与图形有关的实际问题（重点题） 考点05根据判别式判断根的情况（高频题） 考点12实际应用中数字问题（重点题） 考点06根据判别式求参数的值（高频题） 考点13实际应用中营销问题（重点题） 考点07利用根与系数的关系求代数式的值 地 城 考点01 判断是否为一元二次方程 1．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)下列方程中是一元二次方程的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是等式，不是方程，本选项不符合题意； B、，整理后，不含有二次项，不是一元二次方程，本选项不符合题意； C、，不是整式方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意； D、是一元二次方程，本选项符合题意； 故选：D． 2．(23-24九上·四川成都实验外国语学校·期末)下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C. ，不是一个未知数，不符合题意；     D. ，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 3．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，故本选项不符合题意． B、是分式方程，故本选项不符合题意． C、是一元二次方程，故本选项符合题意． D、是一元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．(23-24九上·四川成都新都区·期末)下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断即可得． 【详解】解：A、方程，则此项是一元一次方程，不符合题意； B、方程中的不是整式，则此项不是一元二次方程，不符合题意； C、方程是一元二次方程，则此项符合题意； D、方程中含有两个未知数，则此项不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 5．(23-24九上·四川成都青羊区·期末)下列方程中，关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A. ，整理可得，是一元二次方程，故此选项符合题意；     B. ，分母中含有未知数，不是整式方程，故此选项不符合题意；     C. ，仅当时，原方程为一元二次方程，故此选项不符合题意； D. ，最高次项的次数为3，故此选项不符合题意； 故选：A． 6．(24-25九上·四川成都龙泉驿区·期中)下列方程属于一元二次方程的是（    ） A． B． C．x﹣3＝0 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意； C、方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 7．(24-25九上·四川成都郫都区·期末)下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程的定义“只有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的整式方程称为一元二次方程”即可判断答案. 【详解】A选项含有两个未知数x和y，并且未知数的最高次数为一次，是二元一次方程，排除； B选项只有一个未知数，未知数的最高次数为二次，但是有一个未知数处于分母的位置，是一个分式方程，排除； C选项只有一个未知数，未知数的最高次数为二次，并且是一个整式方程，是一个一元二次方程，所以C选项是正确的； D选项含有两个未知数x和y，属于二元方程，排除. 故选：C. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，属于简单题型，特别注意B选项属于分式方程，不是一元二次方程. 8．(24-25九上·四川成都郫都区·期末)将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是1，一次项系数是，常数项是的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定出所求方程即可． 【详解】解：A、移项得：x2-2x+3=0； B、移项得：x2+2x-3=0； C、移项得：x2+2x-3=0； D、移项得：x2-2x-3=0； ∵其二次项系数是1，一次项系数是-2，常数项是-3， 故方程为：x2-2x-3=0， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）． 地 城 考点02 根据一元二次方程的定义求参数 1．(24-25九上·四川成都天府新区·期末)一元二次方程的一次项系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式是（是常数且）一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 根据一元二次方程的概念即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：C ． 2．(24-25九上·四川成都新都区·期末)一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（   ） A．3，1 B．，1 C．3， D．1， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确理解一元二次方程的二次项系数和常数项是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数，且）．在一般形式中，叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程的一般形式的概念，即可判断答案． 【详解】一元二次方程的二次项系数和常数项分别是3和1． 故选:A． 3．(24-25九上·四川成都天府新区元音中学·期末)关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可． 【详解】解 ：∵一元二次方程，即不含x的一次项， ∴， ∴， 故选A． 4．(24-25九上·四川成都双流区·期末)已知关于x的一元二次方程的一个根是2，写出一个符合条件的方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，有一个根是2的一元二次方程有无数个，只要含有因式的一元二次方程都有一个根是2，写出一个符合条件的方程就行．有一个根是2的一元二次方程有无数个，写出一个符合条件的方程就可以． 【详解】 解：形如的一元二次方程都含有一个根是2， 所以当，时，可以写出方程：． 故答案可以是：（答案不唯一）． 5．(24-25九上·四川成都大邑县·期中)已知是关于x的一元二次方程，则m= ． 【答案】-2 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意，得|m|=2，且m-2≠0，解得m=-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 6．(24-25九上·四川成都温江区·期末)关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程的定义可得a﹣1＝2，再解即可． 【详解】∵关于x的方程xa﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程， ∴a﹣1＝2， 解得：a＝3， 故答案为3． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 7．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】m=-1 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：m= -1． 故答案为m=-1.． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件． 地 城 考点03 利用一元二次方程的解求参数 1．(24-25九上·四川成都郫都区·期末)若是方程的解，则常数的值为（   ） A．12 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程得到，计算即可得解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故选：B． 2．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)若是一元二次方程的一个根，则c的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意可得：把代入一元二次方程中可得：，然后进行计算即可解答．本题考查了一元二次方程的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴把代入一元二次方程 ∴ 解得：， 故选：C． 3．(23-24九上·四川成都高新区·期末)已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．将代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， 解得： 故选：B 4．(24-25九上·四川成都温江区·期末)已知是关于的方程的一个根，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义．把代入方程把问题转化为关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：6． 5．(24-25九上·四川成都高新区·期末)若一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 把代入方程中得，然后解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．(24-25九上·四川成都东部新区·期末)已知关于的一元二次方程有一个根为0，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程根的运用，理解方程的解，代入计算即可求解，掌握一元二次方程的解得运用是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得，， 故答案为：9 ． 7．(24-25九上·四川成都新都区·期末)已知是方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把代入一元二次方程即可得出关于m的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 则， 故答案为：． 8．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2027 【分析】本题考查了一元二次方程根的概念，解决此题的关键是要熟练掌握整体代入求值．把代入原方程，再整体代入即可； 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．(23-24九上·四川成都双流区·期末)关于x的一元二次方程的一个根是，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把把代入原方程得，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得， 故答案为0． 地 城 考点04 配方法解一元二次方程（选填） 1．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程．把方程变形为，即可得到答案． 【详解】解： ∴， ∴ 故选：B 2．(24-25九上·四川成都青白江区·期末)用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 3．(24-25九上·四川成都东部新区·期末)用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．(22-23九上·四川成都新都区·期末)要用配方法解一元二次方程那么下列变形的结果中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，先移项，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 5．(23-24九上·四川成都金牛区·期末)用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程．根据完全平方公式的形式将方程配方即可． 【详解】解：移项得， 配方得，即， 故选：C． 6．(23-24九上·四川成都高新区·期末)用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用配方法解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴，     即． 故选：C 地 城 考点05 根据判别式判断根的情况 1．(24-25九上·四川成都双流区·期末)一元二次方程的根的情况是（      ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查根的判别式，据此即可解答，解题的关键是掌握：一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． 【详解】解：， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 2．(24-25九上·四川成都高新区·期末)一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：， 所以方程有两个不相等实数根， 故选： 3．(23-24九上·四川成都双流区·期末)一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据题意求出的值，即可得出结论，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∴一元二次方程没有实数根， 故选：． 4．(23-24九上·四川成都温江区·期末)一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】根据即可判断． 【详解】解：，，， ， 一元二次方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键． 6．(22-23九上·四川成都邛崃·期末)一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】求出一元二次方程根的判别式，即可得根的情况． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 7．(21-22九上·四川成都青白江区·期末)已知方程，则该方程的根的情况为（    ） A．方程没有实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程的根无法判定 【答案】A 【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可． 【详解】解：方程x2-2x+4=0， ∵a=1，b=-2，c=4， ∴Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×4=4-16=-12＜0， 则方程没有实数根． 故选：A． 【点睛】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，一元二次方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，一元二次方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，一元二次方程没有实数根． 8．(24-25九上·四川成都·期末)一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=-7＜0，进而可得出方程没有实数根． 【详解】解：∵△=b2-4ac=12-4×1×2=-7＜0， ∴方程没有实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查根的判别式，牢记“当△＜0时，方程没有实数根”是解题的关键． 地 城 考点06 根据判别式求参数的值 1．(24-25九上·四川成都温江区·期末)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有没有实数根；列出方程，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：C． 2．(24-25九上·四川成都天府新区元音中学·期末)如果关于x的方程有两个相等的实数根，且a、b、c是的三边长，那么是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．现将原式化为一般式再根据根的判别式的意义得到，整理得，则可根据勾股定理的逆定理可判断三角形的形状． 【详解】解：方程化为， 根据题意得， 所以， 所以以正数a，b，c为边长的三角形为直角三角形． 故选：C． 3．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)关于的方程有两个不相等的实数根，则可以是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，熟练记忆当时，方程有两个不相等的实数根． 根据方程有两个不相等的实数根，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故选：D． 4．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选D． 5．(22-23九上·四川成都新都区·期末)若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值为（　　） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根，得到判别式大于等于0，结合二次项系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且． 故选：A． 6．(23-24九上·四川成都成华区·期末)若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当方程有两个不相等的实数根；则，方程有两个相等的实数根；则，方程没有实数根，则．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得:． 故选：B． 7．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握知识点是解题的关键．根据，解一元一次不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 8．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】±6 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，根据根的判别式列出关于m的一元二次方程是解题的关键． 根据根的判别式列出关于m的一元二次方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故答案为． 9．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解决本题的关键是掌握一元二次方程的判别式．由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围． 【详解】∵x的一元二次方程有实数解， 解得：， 故答案为： 10．(23-24九上·四川成都双流区成都天府中学·期末)若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值，掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根．”是解题的关键． 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ∴， 解得：，且， 且． 故答案为：且． 11．(24-25九上·四川成都天府新区·期末)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到且，然后解不等式即可得到满足条件的的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得， 所以的值为． 故答案为：． 地 城 考点07 利用根与系数的关系求代数式的值 1．(24-25九上·四川成都高新区·期末)已知m，n是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，先利用一元二次方程的定义得到，则，然后利用根与系数的关系进行计算即可． 【详解】解：为方程的根， ， ，n是一元二次方程的两根， ， 故答案为： 2．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)已知m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】34 【分析】本题考查了根与系数的关系，先根据根与系数的关系得，，然后化为，利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：34． 3．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键； 根据题意，利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题可知， 因为，是一元二次方程的两个实数根， 所以，，且， 则， 所以； 故答案为： 4．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)已知是方程的两个不相等的实数根，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程解的定义，将代入已知方程求得，然后根据根与系数的关系知，最后整体代入所求的代数式求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个不相等的实数根， ∴，即；， ∴． 故答案为：5． 5．(24-25九上·四川成都青白江区·期末)若是方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据方程的解，以及根与系数关系求得，再代值求解即可．本题考查一元二次方程的解以及根与系数的关系、代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：． 6．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，根据题意，得到：，，利用整体代入法，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴ ； 故答案为：11． 7．(23-24九上·四川成都实验外国语学校·期末)已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2024 【分析】根据，是一元二次方程的两个实数根，得到，，化简代入计算即可． 本题考查了方程的根，根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案：2024． 8．(23-24九上·四川成都高新技术产业开发区·期末)设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：2021 9．(23-24九上·四川成都青羊区树德实验中学·期末)若方程的两个实数根为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】题考查的是一元二次方程根与系数的关系，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 将代入方程可得，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算． 【详解】解：∵为方程的实数根， ∴，即， ∴ ∵方程的两个实数根为，， ∴， ∴． 故答案为：． 10．(23-24九上·四川成都都江堰·期末)已知实数，满足，，则 ． 【答案】或2 【分析】由已知可得，是方程的根，当时，可直接化简，当时，由根与系数关系可得，，，整理后代入即可求解．本题考查了根与系数关系以及分式的化简求值，解题的关键是根据情况熟练应用知识点． 【详解】解：实数，满足，， 可将，看作是方程的根， 当时， ， 当时， 由根与系数关系可得，，整理代入， ， 故答案为：或2． 地 城 考点08 利用根与系数的关系求参数的值 1．(23-24九上·四川成都温江区·期末)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键． 利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵，， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 2．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得出关系式可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 经检验当时，符合题意， 故答案为：． 3．(23-24九上·四川成都锦江区锦江区嘉祥外国语学校·期末)已知关于x的方程有两个实数根，此方程两根分别为α，β，且，则 ． 【答案】 【详解】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系．先根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，可得出关于m的一元二次方程，结合即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得：， 根据根与系数的关系，可得，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， 又∵， ∴． 故答案为： 4．(21-22九上·四川成都青羊区·期末)关于的一元二次方程的两个实数根分别是、，且满足，则的值为 ． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，代入已知等式中，得到关于的一元二次方程，结合原方程的判别式取舍即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别是、， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：或， 当时，，则原方程无实数解， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 5．(24-25九上·四川成都成华区·期末)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若和原方程的两个实数根都是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根. （1）根据列式求解即可； （2）先由（1）的结论求出k的值，再代入方程验证即可. 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ . （2）∵和原方程的两个实数根都是整数，且， ∴ ∴或或 当时，原方程为 ，解得，，符合题意， 当时，原方程为 ，解得，，不符合题意， 当时，原方程为 ，解得，，不符合题意， 所以k的值为2． 6．(21-22九上·四川成都龙泉驿区·期末)已知关于x的方程有两个实数根．若，求k的值． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系得到，由此得到方程，求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， ∵， ∴， 解得k=4． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的两个关系式是解题的关键． 7．(22-23九上·四川成都邛崃·期末)已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)已知该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，结合题意可列出关于k的等式，解出k即可． 【详解】（1）解：由题意知，                             ，                                                     不论取何值，，                                     方程总有两个不相等的实数根； （2）由题意知，，                                 又，                                             ，                                                     解得． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根，熟记一元二次方程根与系数的关系：和． 地 城 考点09 解一元二次方程（计算题） 1．(24-25上·四川成都石室天府中学（两校区）·模拟)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴ ∴，； （2） ∴或 ∴，． 2．(24-25九上·四川成都高新区·期末)解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用因式分解法依次对所给方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 则或， 所以， （2）解：， ， ， ， 则或， 所以， 3．(24-25九上·四川成都成华区·期末)（1）解方程：；     （2）解方程：． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）先将一元二次方程变为一般形式，然后用因式分解法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：（1）， 变为一般形式为：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）， 因式分解得：， 即， ∴或， 解得：，． 4．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握解方程的方法与步骤是关键： （1）先计算，再利用公式法解方程即可； （2）先移项，把方程化为，再利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 5．(24-25上·四川成都天府新区元音中学·期末)用适当方法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法解方程是关键． （1）利用配方法求解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求解即可； （3）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： 整理，可得 ∴，； （3）解： ∴，． 6．(24-25九上·四川成都新都区·期末)解下列一元二次方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，用恰当合适的方法是解题的关键． （）利用因式分解法解方程即可； （）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴，或， ∴，； （2）解：， 整理得， ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 7．(23-24九上·四川成都武侯区成都西川中学·期末)解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用公式法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， 或， ，． 8．(23-24九上·四川成都武侯区·期末)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法． （1）利用配方法解答此方程； （2）先移项，然后提公因式，即可解答此方程． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （2）， ， ， ∴或， 解得，． 地 城 考点10 一元二次方程实际应用之增长率问题 1．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)2024年10月30日，搭载3名宇航员的神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，如果浏览量平均每月增长率为x，则应列方程是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列出方程即可． 【详解】解：设浏览量平均每月增长率为x，列方程是， 故选：D． 2．(24-25九上·四川成都成华区·期末)某市2022年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设年平均增增长率为x，根据2024年底森林覆盖率=2022年底底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意得， 即， 故选：D． 3．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达8亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 根据题意和题目中的数据，可以列出方程，即可解答． 【详解】解：由题意得． 故选：D． 4．(23-24九上·四川成都新都区·期末)目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校2021年给贫困学生每人400元补贴，2023年给贫困学生每人560元补贴，设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设每年发放的资助金额的平均增长率为x，根据“某校2021年给贫困学生每人400元补贴，2023年给贫困学生每人560元补贴，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设每年发放的资助金额的平均增长率为x，根据题意得： ． 故选：A． 5．(23-24九上·四川成都成华区·期末)新能源汽车节能、环保．某款新能源汽车年销量为万辆，销量逐年增加，年销量为万辆，设这款新能源汽车销量的年平均增长率为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用预计到年的销量年的销量年到年的年平均增长率 ，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 6．(24-25九上·四川成都温江区·期末)推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台月份的水果销售量是，月份的水果销售量是． (1)若该平台月份到月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某店铺的水果进价为元，若售价为元，每天能销售，售价每降价元，每天可多售出．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价为元时，每天可获得最大利润为元 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数表达式是解题的关键． （1）设月平均增长率是，利用月份的水果销售量月份的水果销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价降低元，利润为，则水果的销售利润为元，每天的销售量为件，列出函数关系式解答即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 故该平台月份到月份销售的月平均增长率是． （2）解：设售价降低元，利润为， 则水果的销售利润为元，每天的销售量为件， ∴， ∵， ∴降价元，即售价为元时，每天可获得最大利润为元． 7．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)“骑行安全最重要，安全头盔要戴好．”2024年6月1日起，新修订的《成都市非机动车管理条例》正式实施，对驾驶非机动车闯红灯、不戴头盔、逆行等违法行为做出了规范．据了解，某经销商以25元/个的价格购入一批头盔，按50元/个的价格销售一段时间后，连续两次对该头盔进行降价，两次降价后，该头盔的售价为32元/个． (1)若该经销商两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当头盔售价为50元/个时，每月能够售出200个，当售价每降1元时，则月销量能增加20个．若要使月销售利润为5720元，则头盔的售价应为多少元？ 【答案】(1)每次降价的百分率为 (2)头盔的售价应为47元或38元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设每次降价的百分率为，根据两次降价后，该头盔的售价为32元个得：，即可解得答案； （2）设头盔的售价应为元，根据月销售利润为5720元得：，即可解得答案． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得或（舍去）， 每次降价的百分率为； （2）解：设头盔的售价应为元， 根据题意得：， 整理得， 解得或， 头盔的售价应为47元或38元． 8．(24-25九上·四川成都天府新区·期末)2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． (1)求2023年、2024年这两年的平均增长率； (2)市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)2023年、2024年这两年的平均增长率为 (2)售价应降低元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2023年、2024年这两年的平均增长率为，可列出关于的一元二次方程，解一元一次方程即可得到答案； （2）设售价应降低元，可列出关于的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设2023年、2024年这两年的平均增长率为， 根据题意列方程得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：2023年、2024年这两年的平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：售价应降低元． 9．(24-25九上·四川成都新都区·期末)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的万人增加到2024年的万人． (1)求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买量不超过套，每套售价为元；若购买量超过套，则购买量每增加套，每套售价可降低元，但每套最低售价不得少于元．已知社区向该公司支付货款万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1) (2)100套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2022年的25万人增加到2024年的36万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款15万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于50套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为100套． 10．(23-24九上·四川成都新都区·期末)新都柚作为新都区的地方名优特产，一般10月中下旬成熟，具有抗炎、祛痰、保肝益胃之功能，是老幼皆宜的果中珍品．新都区花香果居片区2021年，新都柚年产8000吨，预计2023年能够实现年产15680吨的目标． (1)求花香果居片区2021年至2023年新都柚年产量的年平均增长率； (2)一个合作社以640000元的成本采购了新都柚80吨，目前可以以12000元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需要支付各种费用16000元，但同时每星期每吨的价格会上涨2000元．那么，储藏多少个星期后，出售这批新都柚可获利1220000元． 【答案】(1)花香果居片区2021年至2023年新都柚年产量的年平均增长率为 (2)储藏15个星期后，出售这批新都柚可获利1220000元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． （1）设花香果居片区2021年至2023年新都柚年产量的年平均增长率为x，根据增长率模型列出方程求解即可； （2）设储藏y个星期后，出售这批新都柚可获利1220000元，根据利润=总售价总成本，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设花香果居片区2021年至2023年新都柚年产量的年平均增长率为x， ， 解得：（经检验负数不符合题意舍去）， 答：花香果居片区2021年至2023年新都柚年产量的年平均增长率为； （2）解：设储藏y个星期后，出售这批新都柚可获利1220000元， ， 整理得：， 解得：， 答：储藏15个星期后，出售这批新都柚可获利1220000元． 11．(22-23九上·四川成都成华区·期末)聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元． (1)求该市改造小区投入资金的年平均增长率； (2)2023年小区改造的平均费用为每个80万元，2024年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？ 【答案】(1)该市改造小区投入资金的年平均增长率为 (2)该市2024年最多可以改造个小区 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据“2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，每年投入资金的增长率相同”列出方程，即可求解； （2）设该市在2024年可以改造个老旧小区，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， ∵2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，每年投入资金的增长率相同， ∴， 解得：，（舍去）， 答：该市改造小区投入资金的年平均增长率为． （2）解：设该市在2024年可以改造个老旧小区， 根据题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为， 答：该市2024年最多可以改造个小区 地 城 考点11 与图形有关的实际问题 1．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长是，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为．根据长方形的面积公式方程可列出． 【详解】解：设原正方形的边长为，依题意有 ， 故选：C． 2．(24-25九上·四川成都青白江区·期末)如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠的宽为，根据题意列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 把水平的水渠平移到矩形的上面，竖直的条水渠平移到矩形的左边，则平移后耕地的长为，宽为，根据耕地总面积列出方程即可． 【详解】解：设水渠的宽度为， 由题意得：． 故选：B． 3．(24-25九上·四川成都东部新区·期末)如图，在宽度为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，运用图形平移的方法得到草坪的长和宽是解题的关键． 根据题意，利用平移的方法，得到长为，宽为，由此列式即可求解． 【详解】解：根据题意，将道路平移，如图所示， ∴长为，宽为， ∴， 故选：A ． 4．(23-24九上·四川成都高新区·期末)如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意得：， 故选：C． 5．(24-25上·四川成都石室天府中学（两校区）·模拟)已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，不等式的应用．根据题意得到矩形周长为12，面积为，设矩形的一边长为，则另一边为，则，即，根据方程有实数根列出不等式，求解即可． 【详解】解：根据题意知，这个矩形周长为，面积为， 设矩形的一边长为，则另一边为， 则， 整理得：， 由题意得原方程有实数根， ， ． 又， ， 即的取值范围为：． 6．(24-25九上·四川成都天府新区·期末)给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则我们称这个矩形是给定矩形的“减半矩形”，当已知矩形的长和宽分别为和时，其“减半矩形”的对角线长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，勾股定理，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键．设“减半矩形”的一边长为x，则其邻边长为，根据“减半矩形”的面积为已知矩形面积的一半，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再利用勾股定理，即可求出“减半矩形”的对角线长． 【详解】解：设“减半矩形”的一边长为，则邻边为， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，； 当时，； 所以 所以“减半矩形”的对角线长为． 故答案为：． 7．(23-24九上·四川成都武侯区成都玉林中学·期末)欢欢家想利用房屋侧面的一面墙再砌三面墙围成一个长方形猪圈（如图），一面墙的中间留出宽的进出门（门使用另外的材料）．现备有足够砌长的围墙的材料，设猪圈与已有墙面垂直的墙面长度为，猪圈面积为． (1)写出与之间的函数关系式； (2)能否使猪圈面积为？说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，列函数关系式： （1）先表示出平行于墙的一边的长，再根据长方形面积公式求解即可； （2）根据题意建立方程，看方程是否有解或解是否符合题意即可得到结论． 【详解】（1）解：∵现备有足够砌长的围墙的材料，且猪圈与已有墙面垂直的墙面长度为， 猪圈与已有墙面平行的墙面长度为， ． 又， 解得：． 与之间的函数关系式为； （2）解：不能使猪圈面积为，理由如下： 假设能使猪圈面积为，根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即不能使猪圈面积为． 8．(23-24九上·四川成都青羊区成都石室联合中学·期末)某中学创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图①，该中学有面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加，构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地． (1)求正方形区域的边长； (2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 【答案】(1)正方形区域的边长为 (2)小道的宽度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设正方形区域的边长为，则矩形空地长为，宽为，根据“面积为的矩形空地”，列出元二次方程，解之取其正值即可； （2）设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形，根据“栽种鲜花区域的面积为”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设正方形区域的边长为，则矩形空地长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意舍去）， 答：正方形区域的边长为； （2）解：设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意舍去）， 答：小道的宽度为． 地 城 考点12 实际应用中数字问题 1．(23-24九上·四川成都天府新区·期末)将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种． 【答案】3 【分析】本题考查对题干“完美分割”的理解，一元二次方程的应用，根据“分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和”推出相乘的这一组数只能有2个或3个或4个数，再根据其个数分别运用列举法分析找出符合条件的分割，即可解题． 【详解】解：， 一组数的积要小于， ，， 相乘的这一组数最多只能有个， ， 相乘的这一组数最少有2个， ①若这一组数有2个， 当两个数连续时，设较小的数为，则另一个为， 分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和， ，整理得，解得，（不合题意，舍去）， 符合条件的完美分割为和； 当两个数不连续时， ， 两个数的乘积不小于，分别讨论、、、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和， 当两个数不连续时，没有符合条件的完美分割， ②若这一组数有3个， 当三个数连续时，设中间的数为，则另两个为，， ，整理得，即， 为1到10的整数， 没有符合条件的， 当三个数不连续时，设其中最大的数为，分别讨论、、） 其中始终大于组合内第二个数、以及、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和， 其中符合条件的完美分割有和； ③若这一组数有4个， 当四个数连续时，、均不符合，后面的皆不符合， 当四个数不连续时，设其中最大的数为，， ，解得， 、、均不符合，后面的皆不符合； 可得符合条件的完美分割就是题干中的完美分割， 则在这十个数的所有分割中，完美分割共有3种， 故答案为：3． 2．(23-24九上·四川成都锦江区·期末)已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，，，均不为整数），且，（为正整数）．在点与点之间的所有整数依次记为；在点与点之间的所有整数分别记为．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数轴上两点距离；根据题意得出之间共有个或个整数，进而可得，设之间的数分别为，，根据题意列出一元二次方程，解方程，得出整数解，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴之间共有个或个整数， ∵6个连续的整数满足 ∴， 当时，间有个整数，则之间的3个整数设为，之间的个整数为， ∴， 解得：或 当上有个整数，，无整数解； 当时，间有个整数，则之间的4个整数设为，之间的个整数为， ∴， 解得：或， 当，间有个整数，则之间的4个整数设为，之间的个整数为， ∴，无整数解； 当时，则之间的5个整数设为，之间的个整数为， ∴，无整数解 或，无整数解 当时，则之间的5个整数设为，之间的个整数为， ∴，无解， 综上所述，或或， 则或或， ∴，或 ∵是正整数， ∴ 故答案为：． 地 城 考点13 实际应用中营销问题 1．(24-25上·四川成都石室天府中学（两校区）·模拟)杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛线玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10500元． (1)求玩偶套装的进价是多少元？ (2)该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出80套．随着亚运会接近尾声，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，通过调查发现每件下降5元，在第一天的销量基础上增加10套．第二天按某一固定价格出售，销售结束时，当天卖出的玩偶获利2000元．求第二天销售结束后还剩余多少套玩偶套装？ 【答案】(1)60元 (2)20套 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用， （1）设玩偶套装的进价是元，根据题意建立方程求解即可； （2）设第二天降价元，则第二天的销量为套，售价为元，根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）设玩偶套装的进价是元， 根据题意有：， 解得：， 即玩偶套装的进价是60元； （2）设第二天降价元，则第二天的销量为套，售价为元， 根据题意有：， 解得：或不符合题意舍去， 则第二天销量为（套）， 第二天销售后，剩余的数量为：（套）， 答：第二天销售结束后还剩余20套玩偶套装． 2．(24-25九上·四川成都高新区·期末)随着电子商务的不断发展，网络销售已经成为一种常用的销售方式．一商家通过电商平台销售某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利30元．经调研，在每件降价不超过15元的情况下，该服装每件降价1元，则每天可多售5件．设该服装每件降价x元，每天的销售量为y件． (1)直接写出y与x的函数表达式； (2)若此商家某天销售该服装共获得利润1200元，求这天该服装的销量． 【答案】(1)； (2)这天该服装的销量为50件． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）正确写出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据该服装每件降价1元，则每天可多售5件，列出一次函数关系式即可； （2）根据此商家某天销售该服装共获得利润1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， ， 答：这天该服装的销量为50件． 3．(24-25九上·四川成都金牛区·期末)一个农业合作社以每斤40元的成本收获了某种农产品，销往外地．若销售价为每斤50元，平均每天能售出100斤．经市场调查发现，当销售价每降低1元时，平均每天多售出10斤． (1)设售价为元，每天能售出斤，请写出关于的函数表达式； (2)该合作社要想使平均每天的销售额达到6750元且获利，则售价应为多少元？ 【答案】(1) (2)售价应为元． 【分析】此题考查了一次函数和一元二次方程的应用． （1）设售价为元，每天能售出斤，销售价为每斤50元，平均每天能售出100斤，当销售价每降低1元时，平均每天多售出10斤．据此列出一次函数解析式即可； （2）设售价为元，每天能售出斤，根据平均每天的销售额达到6750元列出方程，解方程并根据要获利得到答案即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 即 （2）设售价为元，每天能售出斤， 由题意可得，， 解得 ∵要获利， ∴，不符合题意，舍去， ∴售价应为元． 4．(24-25九上·四川成都温江区·期末)推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台月份的水果销售量是，月份的水果销售量是． (1)若该平台月份到月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某店铺的水果进价为元，若售价为元，每天能销售，售价每降价元，每天可多售出．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价为元时，每天可获得最大利润为元 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数表达式是解题的关键． （1）设月平均增长率是，利用月份的水果销售量月份的水果销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价降低元，利润为，则水果的销售利润为元，每天的销售量为件，列出函数关系式解答即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 故该平台月份到月份销售的月平均增长率是． （2）解：设售价降低元，利润为， 则水果的销售利润为元，每天的销售量为件， ∴， ∵， ∴降价元，即售价为元时，每天可获得最大利润为元． 5．(24-25九上·四川成都双流区·期末)小明妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小明帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下表： A B C D E 售价（元/盆） 20 30 18 22 26 日销售量(盆) 50 30 54 46 38 (1)请根据以上数据，求出日销售量(盆)与售价（元/盆）间的关系式； (2)根据以上信息，小明妈妈在销售该种花卉中，当售价定为多少时，每天能够获得利润450元？ 【答案】(1) (2)30元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用．从表格中获取信息、正确求出一次函数、列出一元二次方程求解是解题的关键． （1）根据销售单价从小到大对应排列即可，观察表格可知销售量是售价的一次函数，设销售量为盆，售价为元，，把，代入求出完整解析式即可； （2）依据利润每盆花的利润销售量列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（1）根据销售单价从小到大对应排列得下表： 售价元/盆 18 20 22 26 30 日销售量盆 54 50 46 38 30 观察表格可知销售量是售价的一次函数； 设销售量为盆，售价为元， 日销售量(盆)与售价（元/盆）间的关系式为， 把，代入得， 解得， 日销售量（盆与售价（元盆）间的关系式； （2）解：根据题意得：， 解得， 小明妈妈在销售该种花卉中，当售价定为30元时，每天能够获得利润450元． 6．(24-25九上·四川成都锦江区·期末)“骑行安全最重要，安全头盔要戴好．”2024年6月1日起，新修订的《成都市非机动车管理条例》正式实施，对驾驶非机动车闯红灯、不戴头盔、逆行等违法行为做出了规范．据了解，某经销商以25元/个的价格购入一批头盔，按50元/个的价格销售一段时间后，连续两次对该头盔进行降价，两次降价后，该头盔的售价为32元/个． (1)若该经销商两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当头盔售价为50元/个时，每月能够售出200个，当售价每降1元时，则月销量能增加20个．若要使月销售利润为5720元，则头盔的售价应为多少元？ 【答案】(1)每次降价的百分率为 (2)头盔的售价应为47元或38元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设每次降价的百分率为，根据两次降价后，该头盔的售价为32元个得：，即可解得答案； （2）设头盔的售价应为元，根据月销售利润为5720元得：，即可解得答案． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得或（舍去）， 每次降价的百分率为； （2）解：设头盔的售价应为元， 根据题意得：， 整理得， 解得或， 头盔的售价应为47元或38元． 7．(24-25九上·四川成都青羊区·期末)春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，销售特别火爆．某水果商从农户手中购进A、B两种糖心苹果，其中A种糖心苹果进货价为25元/件，销售价为40元/件，B种糖心苹果进货价为18元/件，销售价为30元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价） (1)水果店用3300元购进A、B两种糖心苹果共160件，求两种糖心苹果分别购进的件数； (2)水果店发现B种糖心苹果还有大量剩余，决定对B种糖心苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元？ 【答案】(1)购进A种糖心苹果60件，B种糖心苹果100件 (2)种苹果售价为每件24元时，每天销售利润为96元 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程 的应用，根据题意列出方程组或方程是解题的关键． （1）设A种糖心苹果件，B种糖心苹果件，列方程组得，解方程组即可得到答案； （2）设B种苹果每件降价元，得到，求出或， 根据题意舍去，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设A种糖心苹果件，B种糖心苹果件， 根据题意得：   ，                        解得， 答：商店购进A种糖心苹果60件，B种糖心苹果100件 （2）解：设B种苹果每件降价元， ，            解得：或 ∵尽快减少库存，舍去， （元） 答：销售价定为每件元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元． 8．(24-25九上·四川成都成华区·期末)某商场出售一种童装，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系．已知每件售价元时，日销售量为件；每件售价元时，日销售量为件． (1)求与之间的函数关系式； (2)该童装日销售额能否等于元？若能，求出每件售价；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)该童装日销售额不能等于元，理由见解析 【分析】（）设与之间的函数关系式为，利用待定系数法解答即可； （）当销售额等于元时，则，由即可判断求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出一次函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由题意得，， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：该童装日销售额不能等于元，理由如 下： 当销售额等于元时，则， 整理得，， ∵， ∴方程无实数根， ∴该童装日销售额不能等于元． 9．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)当下，夜经济已成为成都经济高质量发展的重要组成部分，李华在某夜市商圈销售成都文创纪念T恤，他以每件55元的价格进购一批纪念T恤，以70元售出，平均每天能售出36件．经李华调查发现，这种纪念T恤的售价每增加1元，其日销售量就将减少2件． (1)求关于的函数表达式； (2)为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为多少元． 【答案】(1) (2)为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为80元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用； （1）等量关系式：销售量70元售出时的平均每天销售量 售价增价，列出函数，即可求解； （2）等量关系式：平均每天400元的销售利润每件利润销售量，据此列出方程，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时， ， ； （2）解：由题意可知： 每日销量为， 每件纪念T恤的利润为元， 每日的利润为元， 根据题意可列方程， ，， 又， 舍去， 为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为80元． 10．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)2024年成都世界园艺博览会于4月26日至10月28日举行．在盛会期间，某销售商进行市场调查发现：某类盆栽每盆进货价为60元．当销售价为90元时，平均每天能售出24盆；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2盆．现设销售价降低元，解答下列问题． (1)填空：现在平均每天可售出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）； (2)试向：当为何值时，平均每天盈利784元？ (3)若该销售商打算平均每天盈利900元，那么他的这种想法能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)，． (2)当2元或16元时，平均每天盈利784元． (3)见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式等知识点，解决此题的关键是正确列出一元二次方程． （1）根据题意分别列出代数式即可； （2）由（1）的结果可得到每天盈利为，再根据题意列出方程即可求解； （3）由（2）的思路可列出方程，再算出方程根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：由题意可得现在平均每天售卖盆，每盆盈利为元，即元． 故答案为：，． （2）解：由题意可得：， 整理得：， 解得：， 答：当为2元或16元时，平均每天的盈利为784元． （3）解：不能实现，理由如下： 由题可得方程： 整理得：， ∵ ∴原方程无解， ∴该销售商的这种想法不能实现． 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $