精品解析：广东省揭阳市榕城区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中质检 九年级数学科试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分 1. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形、矩形、正方形的性质，熟记菱形、矩形、正方形的性质是解决问题的关键．根据菱形、矩形、正方形的性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、矩形与正方形的对角线相等，菱形对角线不相等，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； B、菱形与正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； C、菱形、矩形、正方形的对角线均互相平分，选项性质是菱形、矩形、正方形共有的性质，符合题意； D、菱形与正方形的一条对角线平分一组内角，矩形一条对角线不能平分一组内角，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； 故选：C． 2. 解一元二次方程最简单的方法是（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是要充分理解一元二次方程各种解法的应用条件． 方程左右两边都可以开平方，故直接开平方法解此方程最简单． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴采用直接开平方法最简单． 故选：A． 3. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解，理解频率和概率之间的关系是解题的关键． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于， 故选：． 4. 若是一元二次方程的根，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故选：D 5. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分对角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，平分， ∴，   故选：A ． 6. 流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了了一元二次方程的应用，根据题意设出未知数，用含x的式子表示出两轮传染后患病人数，列出方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后有人患流感，第二轮后有人患流感， 由题意得． 故选：C 7. 如图，正方形在平面直角坐标系中，其对角线，交于点B，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，坐标与图形，根据正方形的性质可得，，根据勾股定理即可求得的长，从而得出点C的坐标． 【详解】解：四边形是正方形， 对角线，互相垂直平分， ，， ， 点C的坐标为， 故选：D． 8. 现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件． 用列表法表示所有可能出现的结果情况，从而求出这两道题恰好全部猜对的概率． 【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 第一题 第二题 共有16种等可能出现的结果情况，其中两道题恰好全部猜对的只有1种， 所以，两道题恰好全部猜对的概率为． 故选：D． 9. 如图，在矩形中，，平分，交于点，连接，恰好平分，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过点C作于点F，证明出是等腰直角三角形，得到，勾股定理求出，然后得到，证明出是等腰直角三角形，得到，勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点C作于点F ∵在矩形中， ∴，， ∵平分 ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵恰好平分，， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 已知关于x的多项式：，． ①若，则代数式的值为； ②若，当y随着x的增加而增加时，n的取值范围为； ③当时，若，则或． 以上结论正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，代数式求值和整式的运算．把，分别代入各个选项，再依据选项结论进行分析计算即可． 【详解】解：①当时，， ∴， ∴， 所以①正确； ②∵， 当y随着x的增加而增加时， ∴， 解得，所以②错误； ③当时，， 若，则或， 即或， 对于方程，， ∴此方程没有实数解； 对于方程，因式分解得， 解得， 综上所述，若，则或，所以③错误． 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知，共有4种等可能的结果数，其中出现“一正一反”的结果有2种， ∴出现“一正一反”的概率是， 故答案为：． 12. 若实数a、b分别满足，，且，则的值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 先根据题意可以把、看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到． 【详解】解：∵、分别满足， ∴可以、看作是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故答案为：4． 13. 如图，在中，，，，D是边的中点，则______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，直角三角形的性质，得到是直角三角形是解题的关键． 先根据勾股定理逆定理得到，再由直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵D是边的中点， ∴， 故答案为：． 14. 定义新运算“”，规则：，如，若的两根分别为，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】先通过因式分解法解方程，求出，，根据新定义的运算规则，的值为和中较大的那个数，由此可解． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 解得：或， 则或． 故答案为：3． 【点睛】本题考查新定义运算和解一元二次方程，读懂题意，理解新定义的运算规则是解题的关键． 15. 如图，在正方形中，，对角线，相交于点O，点E从点B出发，在边上由B向A移动，同时点F从点A出发，以相同的速度在边上由A向D移动，连接，．下列结论：①；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．首先利用正方形的性质得到相关边和角的关系，证明三角形全等，得到，即可得到①；根据，得到，结合，计算即可得到②；连接，得到，求出，，得到，得到③；根据全等得到四边形周长为，根据垂线段最短可知，当时，四边形周长最小，得到，得到四边形周长最小值为，判断④即可． 【详解】解：由题意得， ∵四边形是正方形 ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴四边形的面积为： ， 故②正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，， ∴四边形周长为， 根据垂线段最短可知，当时，四边形周长最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， 四边形周长最小值为，故④不正确， 综上可知：①②③正确． 故答案为：①②③． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 用配方法解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． 【详解】移项，得， 两边同时加上1，得， 即， ∴， 解得： 17. 关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，且，求满足条件的n的范围； （2）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式大于零，列出不等式，即可求解； （2）根据一元二次方程根的判别式等于零，列出方程，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 由题意得，， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意得，， 化简得：． 18. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，嘉嘉从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“自”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词）． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图①中以已知线段为对角线画出一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，则该矩形的面积为______； （2）在图②中以已知线段为对角线画出一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上； （3）在图③中画出面积为8的正方形． 【答案】（1）8 （2） 菱形即为所求． （3） 正方形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了格点作图、矩形、菱形与正方形、勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握矩形、菱形与正方形的格点作图方法是解题关键． （1）根据矩形的两条对角线相等，结合网格特点作图即可得； （2）根据菱形的四条边相等，结合网格特点作图即可得； （3）先求出这个正方形的边长为，再根据勾股定理、网格特点作图即可得． 【小问1详解】 解：如图①，矩形即为所求． 【小问2详解】 解：如图②，， 【小问3详解】 解：由题意得：这个正方形的边长为， 20. 某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． （1）若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设七月份到九月份的月平均增长率为，利用九月的销售量七月的销售量（七月份到九月份的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设七月份到九月份的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：七月份到九月份的月平均增长率为． 【小问2详解】 设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当龙眼每箱降价元时，该超市十月可获利元． 21. 如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，的平分线交于点M，交于点N，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵． ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可得证； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是菱形， ∴， ∵F为边的中点， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22. 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 任务3 应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为的矩形中，正方形的面积最大． 【答案】任务1：； 任务2：； 任务3：设矩形的面积为，其中一边长为，另一边长为 当时，有最大值，为 周长为的矩形中，正方形的面积最大． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式、解一元一次不等式及解一元二次方程，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答． 任务1：根据材料设，利用判别式解答即可； 任务2：根据材料令，利用判别式解答即可； 任务3：设矩形的面积为，其中一边长为，另一边长为，列出关系式，根据材料变形为，利用判别式解答即可． 【详解】任务1：解：设 任务2：解：令 又的最小值为－1 ； 任务3：略 23. 教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰中，．即，∵，∴是个固定值． （1）如图1，在矩形中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_________． 知识应用： （2）如图2，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． （3）如图3，当点P是等边．外一点时，过点P分别作直线、、的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积_________． 【答案】（1） （2）的周长是定值24，理由见解答过程 （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论； （2）先求，则，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出，即可解决问题； （3）由，可求的长，从而求出． 【小问1详解】 解：如图1，设与的交点为，连接， 四边形是矩形，，， ，，，，， ，， ，， ，， ， 解得：． 【小问2详解】 解：的周长是定值24，理由如下： 四边形是矩形， ，，， ， 连接，过点作于，如图2所示： 则四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，，， ， ， ， 的周长， 的周长是定值24； 【小问3详解】 解：如图3，连接，，， ，是等边三角形， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握矩形的性质和判定，折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积等知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质检 九年级数学科试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分 1. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 2. 解一元二次方程最简单的方法是（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 3. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 4. 若是一元二次方程的根，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 0 5. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形在平面直角坐标系中，其对角线，交于点B，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，平分，交于点，连接，恰好平分，的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的多项式：，． ①若，则代数式的值为； ②若，当y随着x的增加而增加时，n的取值范围为； ③当时，若，则或． 以上结论正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是______． 12. 若实数a、b分别满足，，且，则的值为_________． 13. 如图，在中，，，，D是边的中点，则______． 14. 定义新运算“”，规则：，如，若的两根分别为，，则______． 15. 如图，在正方形中，，对角线，相交于点O，点E从点B出发，在边上由B向A移动，同时点F从点A出发，以相同的速度在边上由A向D移动，连接，．下列结论：①；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的结论有________（填序号）． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 用配方法解方程：； 17. 关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，且，求满足条件的n的范围； （2）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n． 18. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图①中以已知线段为对角线画出一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，则该矩形的面积为______； （2）在图②中以已知线段为对角线画出一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上； （3）在图③中画出面积为8的正方形． 20. 某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． （1）若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 21. 如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，的平分线交于点M，交于点N，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22. 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 任务3 应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为的矩形中，正方形的面积最大． 23. 教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰中，．即，∵，∴是个固定值． （1）如图1，在矩形中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_________． 知识应用： （2）如图2，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． （3）如图3，当点P是等边．外一点时，过点P分别作直线、、的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $