专题11线段的和差七类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024七年级上册

专题11 线段的和差七类综合题型 典例详解 类型一、线段（直线）的计数规律 类型二、线段的和差计算 类型三、单中点模型 类型四、双中点模型 类型五、三等分（n等分点）模型 类型六、线段和差的数学思维——方程思维 类型七、线段和差的数学思维——分类讨论 压轴专练 类型一、线段（直线）的计数规律 例1．（20-21七年级上·山东聊城·期中）如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段的定义及查找，解题的关键是熟练掌握相关定义． 利用直线，射线和线段的定义进行判断即可． 【详解】解：根据图象可得，共有射线10条，共有线段10条，直线1条， 故选：C． 变式1-1．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）杭黄高铁一头是宛如天堂的杭州胜景，另一头是拥有君子谦和之风的黄山，被誉为国内最美高铁线，全长仅265公里，却经过了五十多个景点．下面是从杭州西站到黄山北站的某趟列车的停靠站点，该趟列车往返一共要准备不同车票的种类有（    ） A．6种 B．12种 C．21种 D．42种 【答案】D 【分析】本题考查了数线段的数量，将每个站点看做一个点，数一共有多少条线段，注意列车是往返的，所以两个站点间的车票有两种，即可得出结果． 【详解】解：从杭州西站到黄山北站的某趟列车的停靠站点共有7个， 因为是往返，所以每个站点都有6种车票， 则该趟列车往返一共要准备不同车票的种类有（种）， 故选：D． 变式1-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，能用字母表示的直线有 条，线段有 条，射线有 条 【答案】 1 3 4 【分析】首先识别图中直线、射线、线段的数量，同时结合还要能用字母表示线段、直线、射线即可解决问题． 【详解】解：直线没有端点，可向两端无限延伸。图中A、B、C三点在同一条直线上，能用字母表示的直线只有条(可表示 为直线，直线直线，本质是同一条直线)； 线段有两个端点，不可延伸，表示线段有共三条； 直线上有三个点，共有六条射线，但是用字母来表示的只有射线，射线，射线，射线共四条． 故答案为：①1  ②3  ③4． 【点睛】本题考查了线段、直线、射线的定义，其中理解能用字母表示线段、直线、射线是解本题的关键． 变式1-3．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）（）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）应用（）中的结论，若火车的行驶路线上有个车站， ①问用于这条线路的车票最多有多少种不同的票价． ②若火车在这条线路上往返行车，则需要印制多少种火车票． 【答案】（）；（）；（）；（）①种；②种 【分析】（）根据线段的定义结合图形解答即可； （）根据线段的定义结合图形解答即可； （）根据（）、（）的结果找到规律即可求解； （）①火车车票票价问题可以抽象成直线上有个点的线段条数问题，据此即可求解；②根据火车往返是双向的，结合票价数量解答即可求解； 本题考查了线段的定义及其应用，找到规律是解题的关键． 【详解】解：（）图中有条线段， 故答案为：； （）图中有条线段， 故答案为：； （）∵直线上有个点时，图中有条线段， 直线上有个点时，图中有条线段， 直线上有个点时，图中有条线段， ∴直线上有个点时，图中有条线段， 故答案为：； （）①火车车票票价问题可以抽象成直线上有个点的线段条数问题， 当时，， ∴这条线路的车票最多有种不同的票价； ②∵火车往返是双向的， ∴需要印制种火车票． 类型二、线段的和差计算 例2．（25-26七年级上·北京·期中）已知A，B，C为直线l上的三点，如果线段，那么A，C两点间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和与差．由于点A，B，C在直线l上的相对位置不确定，需分类讨论：当点B在点A和点C之间时，为与之和；当点A在点B和点C之间时，为与之差． 【详解】解：分两种情况： 当点B在点A和点C之间时，； 当点A在点B和点C之间时，， 故答案为：或． 变式2-1．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为 ． 【答案】18或36 【分析】本题考查求线段长．根据题意，分两种情况：①当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、；②当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： ①当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、， ，即， ，即线段是最长的一段， 最长的一段为， ，解得， 这条绳子的原长为； ②当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、， ， 线段是最长的一段， 最长的一段为， ，解得， ， 这条绳子的原长为． 综上所述，这根绳子原来的长度为或． 故答案为：18或36． 变式2-2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知线段，点C、D是线段上两点，，，求线段的长． 【答案】7 【分析】本题考查了线段的数量关系，由，可求出、，根据求出，进而可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型三、单中点模型 例3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，且，点为线段的中点． (1)若，求的长； (2)在直线上有一点，满足，若，请直接写出的长（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，．   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式3-1．（2025七年级上·全国·专题练习）线段，点C在直线上，且，点M为的中点，求线段的长． 【答案】或 【分析】此题考查了线段的和差计算和线段中点的相关计算．分两种情况：点C在线段的延长线上，点C在线段上，分别画图进行解答即可． 【详解】 解：分两种情况讨论： ①如图1所示：点C在线段的延长线上， ∵，， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴； ②如图2，点C在线段上， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∴ ， 综上可知：的长为或 变式3-2．（2025七年级上·河北·专题练习）如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，； (1)若，求的长； (2)若F为的中点，求长． 【答案】(1)20 (2)6 【分析】本题考查与线段中点有关的计算、一元一次方程的几何应用，根据图形得到线段间的数量关系是解答的关键． （1）设，则，先根据线段中点求得，由列方程求得x，进而由可求解； （2）根据点E是线段的中点，得出，根据F为的中点，得出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：设，由得， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵点E是线段的中点， ∴， 为的中点， ， ． 变式3-3．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图，点B，D在线段上． 发现：____________； 求值：若D是线段的中点，，求线段的长． 【答案】； 【分析】本题考查线段的和差，线段中点．根据线段的和差即可解答“发现”．先由线段的中点求出，再根据得到，再由即可解答． 【详解】解：发现：． 故答案为：；． 求值：因为D是线段的中点，， 所以， 因为，， 所以， 所以． 类型四、双中点模型 例4．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点是线段上的一点，且，和分别是和的中点，已知，，则线段的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了线段中点的性质与线段长度的计算，解题的关键是利用中点性质求出相关线段的长度． 根据线段中点的定义求出、、的长度，再通过线段的和差关系求出的长度． 【详解】解：因为是的中点，， 所以， 又因为， 所以， 因为是的中点，所以， 则． 故答案为：5． 变式4-1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）线段，点在线段上，是线段的中点，是线段的中点．    (1)求线段的长度； (2)老师说：其它条件不变，无论长度怎么改变，线段和始终满足一个不变的数量关系，请你直接写出来． 【答案】(1)线段的长度为； (2)． 【分析】本题考查线段中点的相关计算，线段和差，线段之间的数量关系． （1）根据题意可得，，由，即可得； （2）根据题意可得，，结合，即可得线段和的数量关系． 【详解】（1）解：∵点在线段上，是线段的中点，是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的长度为． （2）解：∵点在线段上，是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴． 变式4-2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点、、、在同一直线上，已知，且点、分别是、的中点，若，求线段的长度． 【答案】14 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及和差关系是正确解答的关键． 根据线段的和差关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【详解】解：设， ， ，， ， ， 点、分别是、的中点， ，， ， 解得， ． 变式4-3．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，A、B、C、D四点在同一直线上，M是的中点，N是的中点． (1)若，，，则 ． (2)若，，用a、b表示线段． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，关键是根据线段的中点及各线段间的关系求解． （1）由已知M是的中点，N是的中点，可求出和，从而求出； （2）已知M是的中点，N是的中点，推出，，则推出，从而得出答案． 【详解】（1）解：∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：13． （2）解：∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型五、三等分（n等分点）模型 例5．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点B对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为_______． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3） 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式；点对应的数为；若数轴上点的对应数为；点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式；点对应的数为． ①填空：若数轴上点的对应数为；点 的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①②存在，当时， 为定值，是． 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）先由非负数的性质求出，进而可得CD的中点所对应的数； （2）求出点P表示的数为，点Q表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （3）①依题意可得出M对应的数； ②由（2）可知∶点P所表示的数为，点Q表示的数为，再求出点E所表示的数为，进而求出， ，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）， ，． ，． 的中点所对应的数为． （2）由题意得，点所表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得， 解得．， 当时，的中点所对应的数为． （3）①根据题意∶点M对应的数为 故答案为∶ ． ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为． ，． 当时， ； 当时， ； 当时， ． 当时， 为定值，是． 变式5-1．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知线段上有一点，其中，，若是的中点，是的三等分点（靠近点），求的长． 【答案】 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，由中点的定义可得，进而利用线段的差计算解答即可．解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 【详解】解：如图： ∵，，是的中点，是的三等分点（靠近点），∴， ∴，， ∴． 即的长为． 变式5-2．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查选段的和差运算，线段中点的定义，熟练掌握数形结合思想是解题的关键； (1)根据线段的比，可设，则，，由求出的值即可； (2)根据线段的比，可设，则，，再根据线段中点的定义得出，由列方程求出的值，再根据进行计算即可. 本题考查两点间的距离， 【详解】（1）解：由于，可设，则，， ∴， ∴， ，，， 是线段的中点， ， ； （2）由于，可设，则，， 是线段的中点， ， ， ，即， 解得， ． 变式5-3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． (1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________． (2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒． ①当为何值时，点是线段的三等分点． ②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)①当为或时，点是线段的三等分点；②的值为或或 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键． （1）由，，可得出的长度； （2）①点是线段的三等分点，分两种情况：或进行讨论求解即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ 故答案为：3； （2）由题意可得：， ∴， 点是线段的三等分点，分两种情况： 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述：当为或时，点是线段的三等分点； 由题意得：，则，， ∵点，点分别是，的三等分点， ∴可以分四种情况讨论： 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：（舍去）； 点，点分别是，的三等分点，的值为或或． 类型六、线段和差的数学思维——方程思维 例6．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，线段，，，点、分别是线段和线段的中点，求线段的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段长的计算，理解线段中点的定义，根据题目中的已知条件设置适当的未知数构造方程组是解决问题的关键． 设，根据，设，，则，根据得，则，再根据得，由此解出，，得，然后根据线段中点定义即可解答． 【详解】解：设， ， 设，， ， ， ， ， ， ， 即， 将代入，得：， 解得：， ， ，，， ， 点、分别是线段和线段的中点， ，， ． 变式6-1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如图，已知线段和的公共部分，线段、的中点E、F之间距离是，求，的长． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、线段的中点的定义、线段的和差，设，则，，，根据线段的中点的定义可得，再根据，，得出方程，解方程即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则，，， 点、点分别为的中点， ， ， ， ， 解得：， ． 变式6-2．（20-21七年级上·陕西渭南·期末）如图，、、、四点在同一直线上． (1)如图1，若，，且，求的长； (2)如图2，若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，线段之间的数量关系， （1）利用线段的和差计算即可； （2）利用线段之间的比例关系，以及线段中点的定义，即可求出线段的长； 解题的关键是掌握线段的加减，线段中点的定义． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的长为； （2）设，则，， ∴， ∵点是的中点，点是的中点，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 即的长为． 类型七、线段和差的数学思维——分类讨论 例7．（12-13七年级上·重庆·期末）已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且，规定A、B两点之间的距离记作． (1)求A、B两点之间的距离； (2)设点P在线段之间且在数轴上对应的数为x，当时，求x的值； (3)若点P在线段之外，N、M分别是的中点．对于①的值，②的值．探究①②中值的结果，判断哪个结果的值一定是一个常数，说明理由并求出这个常数． 【答案】(1)6 (2) (3)的结果与点P位置有关，不为常数，的值为常数，这个常数为3 【分析】本题考查了绝对值和完全平方式的非负性，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的意义等知识点． （1）先由绝对值和完全平方式的非负性求出，再代入公式求解即可； （2）先表示出，，再由建立方程求解； （3）分两种情况讨论，结合绝对值的意义以及线段和差求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴，， ． （2）解：由上可得点A在数轴上对应的数为，点B对应的数为， ∵P在A、B之间，， ∵， ∴， ∴． （3）解：②的值是一个常数， 当点P在线段的左侧时， 有， 当点P在线段的右侧时， 有， ∴点P在线段之外时总有， 而的结果与点P位置有关，不为常数， ∴的值为常数，这个常数为3． 变式7-1．（24-25七年级上·山东临沂·月考）如图，已知点为线段上一点，，，分别是的中点．求： (1)求的长度； (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，数形结合，注意分类讨论，是解题的关键． （1）根据线段中点定义得出，，求出即可； （2）分两种情况当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵分别是中点， ∴，， ∴． （2）解：由（1）可知，， ①当点在线段上时， ∵， ∴， ②当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴的长为或． 变式7-2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知C、D是线段上不重合的两点． (1)若，求证：； (2)若，，且，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查线段的和差计算； （1）由得到； （2）根据和在线段上与线段外，在的左边或右边，分情况讨论，分别画出图形，根据列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当和都在线段上，且在的左边时， 此时由图可得， 由可得，解得， ∴； 当和都在线段上，且在的右边时， 此时由图可得， 由可得，解得， ∴； 综上所述，或． 1．（25-26七年级上·河北衡水·期中）已知有理数满足：．如图，线段在直线上运动点B在点C的左侧），．下列结论中正确的是（　　） ①； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值和平方非负性，线段的和差．先根据绝对值和平方的非负性求出a，b的值，即可判断①．根据线段的中点的定义判断②．设，根据线段的和差表示出，，即可判断③．根据线段的位置分情况讨论即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，故①正确． ∵，， ∴， ∴当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点，故②正确． 当点B与点A重合时， ∵，， ∴ 设， ∴， ， ∴， ， ∴，故③正确． ∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴， 分为五种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ； 第四种情况：当B、C在点A两侧时，如图： ； 第五种情况：当和都在右边时，如图： ， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变，即④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④． 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，电子屏幕上有一条直线m，在直线m上有A、B、C、D、E五点．点P沿直线m从左向右移动，当出现点P与A、B、C、D、E五点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线m上会发出警报的点P位置最多有 个． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、线段等知识点，发现当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报是解题的关键． 先发现当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，再确定线段的条数即可解答． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，因为图中有线段、、、、、、、、、共10条，所以发出警报的点P位置最多有10个． 故答案为：10． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·开学考试）如图1，当线段上有1个点时，可将线段分成2个部分，可得到3条线段；如图2，当线段上有2个点时，可将线段分成3个部分，可得到6条线段；如图3，当线段上有3个点时，可将线段分成4个部分，可得到10条线段……根据题意，回答下列问题． (1)当线段上有4个点时，可将线段分成________个部分，可得到________条线段． (2)若在线段上得到66条线段，则线段上除端点之外还有多少个点？ 【答案】(1)5，15 (2)线段上除端点之外还有10个点 【分析】本题主要考查了图形类规律、一元二次方程的应用等知识点，找到图形变化规律是解题的关键． （1）依次求得线段上有1个、2个、3个点时分成的部分和线段条数，找到变化规律，再利用规律即可解答； （2）先确定线段的总数与n的关系，列方程求解即可。 【详解】（1）解：当线段上有1个点时，可将线段分成2个部分，可得到（条）线段； 当线段上有2个点时，可将线段分成3个部分，可得到（条）线段； 当线段上有3个点时，可将线段分成4个部分，可得到（条）线段， ∴当线段上有4个点时，可将线段分成5个部分，可得到（条）线段。 故答案为：5，15。 （2）解：由（1）得当线段上有n个点时，可将线段分成个部分，可得到条线段， 令，整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴线段上除端点之外还有10个点． 4．（24-25六年级下·全国·单元测试）如图，已知线段长，点B、C、D、E顺次在上，且，E是的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据线段的和差，线段中点的性质进行求解即可． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 5．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点，如图1，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个，依此类推，一条线段的四等分点有三个． (1)已知：如图2，，点P是的三等分点，直接写出_________； (2)已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒． ①若点P、点Q同时出发，且当时，求t的值； ②若点P、点Q同时出发，且当点P是线段的四等分点时，直接写出t的值为______． 【答案】(1)30或15 (2)①4秒或14秒；②秒或秒或135秒 【分析】本题考查了线段n等分点的计算，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）分、两种情况求解即可； （2）①分点P、点Q相遇前及点P、Q相遇后两种情况列方程求解即可； ②分点P、点Q相遇前及点P、Q相遇后两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）当时，； 当时，． 综上所述：的长为或． 故答案为30或15； （2）①当点P、点Q相遇前，由题意得， ， 解得； 当点P、点Q相遇后，由题意得， ， 解得． 综上可知，t的值为4秒或14秒； ②当时，． 点P、点Q相遇前， 当时，由题意，得 ， 解得； 当时，由题意，得 ， 解得； 点P、点Q相遇后， 当时，由题意，得 ， 解得； 当时，由题意，得 ， 解得（舍去）； 综上可知，t的值为秒或秒或135秒． 故答案为：秒或秒或135秒． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，，求线段的长度． 【答案】5 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，熟练掌握线段间的数量关系，是解题的关键．设，则，，根据线段间的数量关系得出，根据，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 7．（24-25七年级上·全国·期末）如图，B、C两点把线段分成的三部分，M为的中点，，求和的长． 【答案】，． 【分析】本题考查了线段的中点，以及线段之间的数量关系，由已知B、C两点把线段分成的三部分，所以设，，，根据已知分别用x表示出，从而得出，继而求出x，则求出和的长． 【详解】解：设，， 所以 因为M是的中点 所以 所以 因为， 所以， 所以 所以，． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧．设线段的长为a，若F是直线上一点，且，求线段的长． 【答案】的长为a或 【分析】本题考查了线段中点，线段的和差，注意分类讨论； 分点F位于点A的左侧或点B的右侧两种情况考虑，利用中点与在等分点的意义，结合线段的和差关系即可求解． 【详解】解：根据题意得：点F位于点A的左侧或点B的右侧， 当点F位于点A的左侧时，如图， ∵， ∴，即， ∴， ∵，D是线段的三等分点且在点C的左侧． ∴， ∴； 当点F位于点B的右侧时，如图， ∵， ∴，即， ∴， ∵，D是线段的三等分点且在点C的左侧． ∴， ∴； 综上所述，的长为a或． 9．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）根据线段中点的定义求出，进而根据比即可求解； （）分点在点左侧和右侧两种情况，根据线段的和差关系解答即可求解； 本题考查了线段的中点，线段的和差，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点在点左侧时，如图， ∵，， ∴； 当点在点右侧时，如图， ∵，， ∴； 综上，线段的长为或． 10．（2025七年级上·全国·专题练习）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D的左侧）．将，分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，求的长． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差，分两种情况：及，分别画出图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， 由于翻折，则， 由图知， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 线段的和差七类综合题型 典例详解 类型一、线段（直线）的计数规律 类型二、线段的和差计算 类型三、单中点模型 类型四、双中点模型 类型五、三等分（n等分点）模型 类型六、线段和差的数学思维——方程思维 类型七、线段和差的数学思维——分类讨论 压轴专练 类型一、线段（直线）的计数规律 例1．（20-21七年级上·山东聊城·期中）如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 变式1-1．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）杭黄高铁一头是宛如天堂的杭州胜景，另一头是拥有君子谦和之风的黄山，被誉为国内最美高铁线，全长仅265公里，却经过了五十多个景点．下面是从杭州西站到黄山北站的某趟列车的停靠站点，该趟列车往返一共要准备不同车票的种类有（    ） A．6种 B．12种 C．21种 D．42种 变式1-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，能用字母表示的直线有 条，线段有 条，射线有 条 变式1-3．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）（）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）应用（）中的结论，若火车的行驶路线上有个车站， ①问用于这条线路的车票最多有多少种不同的票价． ②若火车在这条线路上往返行车，则需要印制多少种火车票． 类型二、线段的和差计算 例2．（25-26七年级上·北京·期中）已知A，B，C为直线l上的三点，如果线段，那么A，C两点间的距离为 ． 变式2-1．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为 ． 变式2-2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知线段，点C、D是线段上两点，，，求线段的长． 类型三、单中点模型 例3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，且，点为线段的中点． (1)若，求的长； (2)在直线上有一点，满足，若，请直接写出的长（用含的式子表示）． 变式3-1．（2025七年级上·全国·专题练习）线段，点C在直线上，且，点M为的中点，求线段的长． 变式3-2．（2025七年级上·河北·专题练习）如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，； (1)若，求的长； (2)若F为的中点，求长． 变式3-3．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图，点B，D在线段上． 发现：____________； 求值：若D是线段的中点，，求线段的长． 类型四、双中点模型 例4．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点是线段上的一点，且，和分别是和的中点，已知，，则线段的长度为 ． 变式4-1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）线段，点在线段上，是线段的中点，是线段的中点．    (1)求线段的长度； (2)老师说：其它条件不变，无论长度怎么改变，线段和始终满足一个不变的数量关系，请你直接写出来． 变式4-2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点、、、在同一直线上，已知，且点、分别是、的中点，若，求线段的长度． 变式4-3．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，A、B、C、D四点在同一直线上，M是的中点，N是的中点． (1)若，，，则 ． (2)若，，用a、b表示线段． 类型五、三等分（n等分点）模型 例5．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点B对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为_______． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3） 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式；点对应的数为；若数轴上点的对应数为；点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式；点对应的数为． ①填空：若数轴上点的对应数为；点 的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的值，若不存在，说明理由． 变式5-1．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知线段上有一点，其中，，若是的中点，是的三等分点（靠近点），求的长． 变式5-2．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 变式5-3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． (1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________． (2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒． ①当为何值时，点是线段的三等分点． ②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值． 类型六、线段和差的数学思维——方程思维 例6．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，线段，，，点、分别是线段和线段的中点，求线段的长． 变式6-1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如图，已知线段和的公共部分，线段、的中点E、F之间距离是，求，的长． 变式6-2．（20-21七年级上·陕西渭南·期末）如图，、、、四点在同一直线上． (1)如图1，若，，且，求的长； (2)如图2，若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 类型七、线段和差的数学思维——分类讨论 例7．（12-13七年级上·重庆·期末）已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且，规定A、B两点之间的距离记作． (1)求A、B两点之间的距离； (2)设点P在线段之间且在数轴上对应的数为x，当时，求x的值； (3)若点P在线段之外，N、M分别是的中点．对于①的值，②的值．探究①②中值的结果，判断哪个结果的值一定是一个常数，说明理由并求出这个常数． 变式7-1．（24-25七年级上·山东临沂·月考）如图，已知点为线段上一点，，，分别是的中点．求： (1)求的长度； (2)若在直线上，且，求的长度． 变式7-2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知C、D是线段上不重合的两点． (1)若，求证：； (2)若，，且，求的长度． 1．（25-26七年级上·河北衡水·期中）已知有理数满足：．如图，线段在直线上运动点B在点C的左侧），．下列结论中正确的是（　　） ①； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，电子屏幕上有一条直线m，在直线m上有A、B、C、D、E五点．点P沿直线m从左向右移动，当出现点P与A、B、C、D、E五点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线m上会发出警报的点P位置最多有 个． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·开学考试）如图1，当线段上有1个点时，可将线段分成2个部分，可得到3条线段；如图2，当线段上有2个点时，可将线段分成3个部分，可得到6条线段；如图3，当线段上有3个点时，可将线段分成4个部分，可得到10条线段……根据题意，回答下列问题． (1)当线段上有4个点时，可将线段分成________个部分，可得到________条线段． (2)若在线段上得到66条线段，则线段上除端点之外还有多少个点？ 4．（24-25六年级下·全国·单元测试）如图，已知线段长，点B、C、D、E顺次在上，且，E是的中点，，求的长． 5．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点，如图1，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个，依此类推，一条线段的四等分点有三个． (1)已知：如图2，，点P是的三等分点，直接写出_________； (2)已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒． ①若点P、点Q同时出发，且当时，求t的值； ②若点P、点Q同时出发，且当点P是线段的四等分点时，直接写出t的值为______． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，，求线段的长度． 7．（24-25七年级上·全国·期末）如图，B、C两点把线段分成的三部分，M为的中点，，求和的长． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧．设线段的长为a，若F是直线上一点，且，求线段的长． 9．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 10．（2025七年级上·全国·专题练习）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D的左侧）．将，分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $