10.3 二项式定理（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦二项式定理高考核心考点，涵盖定理证明、通项公式、二项式系数性质及综合应用，按“概念-性质-应用”逻辑架构组织，通过基点诊断、题型分类讲解、真题演练等环节，帮助学生构建知识网络，突破通项求解、系数和计算等难点。 资料特色在于分层突破策略，如将展开式问题细分为二项式型、乘积型、三项式型，结合赋值法、计数原理等方法指导，培养学生数学思维与运算能力。设置基础诊断、典例精讲、对点练习三级训练，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

10．3　二项式定理 [课标要求]　1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．　2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【必备知识】 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝an＋an-1b＋…＋(n∈N*)． (2)通项公式：Tk＋1＝，它表示第k＋1项． (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为． 2．二项式系数的性质 【必记结论】 若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0，1，2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论： (1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项． (2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项． (3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项． (4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)(a＋b)n的展开式中的第k项是an－kbk.(　　 ) (2)在二项展开式中，系数最大的项一定为中间的一项或中间的两项．(　　 ) (3)通项Tk＋1＝an－kbk中的a和b不能互换．(　　 ) (4)在(ax＋b)n的展开式中，某项的系数一定与该项的二项式系数相同．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　 ) A． B．－ C． D．－ 解析：选D.(x－1)10的展开式的第6项是T6＝·x5·(－1)5＝－·x5，所以(x－1)10的展开式的第6项的系数是－. 3．＋＋＋…＋＝________． 解析：因为＋＋＋…＋＝211，且＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋，所以＋＋＋…＋×211＝1 024. 答案：1 024 4．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数分别是________，________． 解析：∵第4项与第8项的二项式系数相等，∴＝，∴n＝3＋7＝10，∴这两项的二项式系数是＝＝120. 答案：120　120 5．已知n∈N*，n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则该二项式展开式中各项系数和为________． 解析：∵n∈N*，n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n＝12，令x＝1，所以该二项式展开式中各项系数和为212. 答案：212 题型一　二项展开式中的通项问题 角度1　(a＋b)n(n∈N*)型 【例1】　(1)二项式6的展开式中系数为无理数的项的个数为(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B.展开式通项公式为Tr＋1＝6-rr＝x6-2r，r＝1，3，5时，不是整数，系数是无理数，共有3项． (2)(2024·北京卷)在6的展开式中，常数项为________． 解析：Tk＋1＝k＝·36-2k·x6k-18.令6k－18＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝·30·x0＝20. 答案：20 角度2　(a＋b)m(c＋d)n(n∈N*)型 【例2】　(1)(人教A版选择性必修三P38)(1－2x)5(1＋3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项为_________． 解析：(1－2x)5(1＋3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项，即展开式中含x2的项， (3x)2＋(－2x)2＋··(3x)1＝－26x2. 答案：－26x2 (2)(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中x4的系数为________． 解析： ∵(1＋x＋x2)(1－x)10＝(1－x)10＋x(1－x)10＋x2(1－x)10，∴(1＋x＋x2)(1－x)10展开式中x4的系数为(1－x)10中x4的系数加上其x3的系数加上其x2项的系数， ∵(1－x)10展开式的通项为Tr＋1＝(－x)r，令r＝4，3，2，分别得展开式含x4，x3，x2项的系数为. 故(1＋x＋x2)(1－x)10展开式中含x4的系数为－＋＝135. 答案：135 思维升华　求两个因式之积的特定项(或系数)的方法 方法一：对每一个二项式展开，利用多项或乘法法则对其展开即可； 方法二：先利用运算性质对其进行化简，再利用二项式定理进行展开． 角度3　(a＋b＋c)n(n∈N*)型 【例3】　(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　 ) A．10 B．20 C．30 D．60 解析：选C.法一　(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝(x2＋x)5-ryr， 令r＝2，则T3＝(x2＋x)3y2. 又(x2＋x)3的展开式的通项为Tk＋1＝(x2)3-k·xk＝x6-k，令6－k＝5，则k＝1. 所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为＝30. 法二　(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积，要得到x5y2，需从5个因式中选2个因式取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，因此x5y2的系数为＝30. 【对点练习】　1.(1)(多选)已知n的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成立的是(　　 ) A．n＝10 B．展开式中的常数项为45 C．含x5的项的系数为210 D．展开式中的有理项有5项 解析：选ABC.二项展开式的通项为Tk＋1＝，由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，则，故，得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确； 则Tk＋1＝，令20－＝0，解得k＝8，则展开式中的常数项为＝45，故B正确； 令20－＝5，解得k＝6，则含x5的项的系数为＝210，故C正确； 令20－∈Z，则k为偶数，此时k＝0，2，4，6，8，10，故有6项有理项，故D错误． (2)若(x2＋a)的展开式中x8的系数为9，则a的值为________． 解析：因为(x2＋a)＋a·8，且展开式的通项为Tk＋1＝＝x8-2k， 当8－2k＝6时，k＝1，此时x6的系数为. 当8－2k＝8时，k＝0，此时x8的系数为. 所以展开式中x8的系数为＝8＋a＝9，解得a＝1. 答案：1 (3)(2024·重庆质检)(2x2＋y＋1)5的展开式中x4y2项的系数为________． 解析：将(2x2＋y＋1)5看作5个因式(2x2＋y＋1)相乘，根据x4y2的指数可得5个因式中有两个选2x2，两个选y，一个选1，进行相乘，即(2x2＋y＋1)5的展开式中x4y2项的系数为＝120. 答案：120 题型二　二项式系数和与各项系数和 角度1　二项式系数和与系数和 【例4】　(1)(多选)已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8，则(　　 ) A．n＝4 B．展开式中所有项的系数和为1 C．展开式中二项式系数和为24 D．展开式中不含常数项 解析：选AD.由题意得＝，则，解得n＝4，故A正确； 所以，令x＝1，则所有项的系数之和为－1，故B错误； 所以的二项式系数和为29，故C错误； 的通项公式为Tk＋1＝(－2x)k＝(－2)kx2k-9，若Tk＋1为常数项，则有2k－9＝0，解得k＝∉N，所以不存在常数项，故D正确． (2)(多选)(2024·重庆模拟)已知(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023＋a2 024x2 024，则(　　 ) A．展开式中二项式系数最大项为第1 012项 B．展开式中所有项的系数和为1 C．＝－1 D．＝4 048 解析：选BCD.由二项展开式中的二项式系数性质可知二项式系数最大为，易知应为第1 013项，故A错误； 令x＝1，可得(1－2)2 024＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＋a2 024＝1，即展开式中所有项的系数和为1，故B正确； 令x＝0，可得a0＝1，令x＝，可得2 024＝a0＋＝0， 所以＝－1，故C正确； 将等式(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023＋a2 024x2 024两边同时求导可得，2 024×(－2)(1－2x)2 023＝x2 023，再令x＝1，可得＝4 048，故D正确． 角度2　系数与二项式系数的最值 【例5】　(1)(2024·山东省实验中学二模)(x＋2y)6展开式中二项式系数最大的项的系数为______． 解析：由二项式系数的基本性质可知(x＋2y)6展开式中二项式系数最大的项为T4＝·x3·(2y)3＝160x3y3.因此，展开式中二项式系数最大的项的系数为160. 答案：160 (2)(2024·全国甲卷)10的展开式中，各项系数中的最大值为________． 解析：10的展开式的通项公式为Tr＋1＝xr(r＝0，1，2，…，10)． 若Tr＋1项的系数最大， 则 解得，又r∈N＋，所以r＝8，则T9项的系数最大，最大项的系数为2＝5. 答案：5 【对点练习】　2.(1)(2024·西安质检)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于(　　 ) A．1 B．243 C．121 D．122 解析：选B.令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1　①， 令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243　②， ①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242， 即a4＋a2＋a0＝－121. ①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244， 即a5＋a3＋a1＝122. 所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝122＋121＝243. (2)已知n的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是(　　 ) A．二项展开式中各项系数之和为37 B．二项展开式中二项式系数最大的项为 C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为240x3 解析：选D.因为n的二项展开式中二项式系数之和为64，所以2n＝64，则n＝6，所以二项式为6，则二项展开式的通项为Tk＋1＝(2x)6-kk＝，令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A错误； 第4项的二项式系数最大，此时k＝3，则二项展开式中二项式系数最大的项为T4＝，故B错误； 令6－k＝0，则k＝4，所以二项展开式中的常数项为＝60，故C错误； 令第k＋1项的系数最大， 则解得， 因为k∈N，所以k＝2，所以二项展开式中系数最大的项为T3＝24x3＝240x3，故D正确． (3)(2022·浙江高考)已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________． 解析：(x－1)4展开式的通项为Tk＋1＝故a2＝×(－1)3＋×(－1)2＝8. 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝0，得a0＝2，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2. 答案：8　－2 题型三　二项式定理的综合应用 【例6】　(1)(2024·河北唐山、邯郸高三期末)9810除以1 000的余数是________． 解析：因为9810＝(100－2)10＝10010＋×(－2)×1009＋×(－2)2×1008＋…＋×(－2)9×100＋×(－2)10＝[×(－2)×1009＋×(－2)2×1008＋…＋(－2)9×1 000]＋1 024＝＋24，所以9810除以1 000的余数是24. 答案：24 (2)用二项式定理估算1.0110≈______．(精确到0.001) 解析：1.0110＝(1＋0.01)10＝＋×0.013＋…≈1＋0.1＋0.004 5＝1.104 5≈1.105. 答案：1.105 思维升华　二项式定理应用的题型及解法 (1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式． (2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx. 【对点练习】　3.(1)设n为奇数，那么11n＋·11n-1＋·11n-2＋…＋·11－1除以13的余数是(　　 ) A．－3 B．2 C．10 D．11 解析：选C.11n＋·11n-1＋·11n-2＋…＋·11－1＝·11n＋·11n-1＋·11n-2＋…＋·11＋－2＝(11＋1)n－2＝12n－2＝(13－1)n－2＝·13n－·13n-1＋…＋·13＋－2， 因为n为奇数，则上式＝·13n－·13n-1＋…＋·13n－·13n-1＋…＋]＋10，所以11n＋·11n-1＋·11n-2＋…＋·11－1除以13的余数是10. (2)利用二项式定理计算0.996，则其结果精确到0.001的近似值是(　　 ) A．0.940 B．0.941 C．0.942 D．0.943 解析：选B.0.996＝(1－0.01)6＝×1－×0.01＋×0.012－×0.013＋…＋×0.016＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941. 学科网（北京）股份有限公司 $