9.1 随机抽样、统计图表（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦随机抽样、统计图表等高考核心考点，按课标要求构建“概念-方法-应用”知识体系，涵盖统计基本概念、两种抽样方法及图表绘制分析。通过必备知识梳理、必记结论总结、基点诊断、题型精讲和真题训练，帮助学生突破抽样方法选择、图表数据解读难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以“数学眼光观察数据、数学思维分析问题”为特色，设计分层教学活动，如拆解频率分布直方图绘制步骤、结合实例讲解分层抽样比例计算。通过基点诊断夯实基础，题型精讲提炼方法，对点练习强化应用，培养学生数据处理与逻辑推理能力，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

9．1　随机抽样、统计图表 [课标要求]　1.了解获取数据的基本途径．　2.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样．　3.能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性． 【必备知识】 1．统计的有关概念 名称 定义 全面调查(普查) 对每一个调查对象都进行调查的方法 总体 在一个调查中，把调查对象的全体称为总体 个体 组成总体的每一个调查对象 抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法 样本 从总体中抽取的那部分个体 样本量 样本中包含的个体数 2.简单随机抽样 抽签法和随机数法是比较常用的两种方法． 3．分层随机抽样 (1)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． (2)分层随机抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比． 4．统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等． (2)作频率分布直方图的步骤 ①求极差； ②决定组距与组数； ③将数据分组； ④列频率分布表； ⑤画频率分布直方图． 【必记结论】 1．利用按比例分配的分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等． 2．在按比例分配的分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为，样本平均数为，则. 3．频率分布直方图中小长方形高＝. 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次被抽到的可能性最大．(　　 ) (2)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　　 ) (3)在分层随机抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体被抽到的可能性越大．(　　 ) (4)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生的成绩是(　　) A．总体 B．个体 C．样本 D．样本容量 解析：选C.总体： 5 000名学生的成绩；个体：每个学生的成绩；样本： 200名学生的成绩；样本容量：200.所以抽取的200名学生的成绩是样本． 3．(多选)(人教A版必修二·P199例1改编)空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数的值越小，表明空气质量越好．AQI指数不超过50，空气质量为“优”；AQI指数大于50且不超过100，空气质量为“良”；AQI指数大于100，空气质量为“污染”．下图是某市2024年空气质量指数(AQI)的月折线图．下列关于该市2024年空气质量的叙述中一定正确的是(　　) 某市2024年空气质量指数(AQI)月折线图 A．全年的平均AQI指数对应的空气质量等级为“优”或“良” B．每月都至少有一天空气质量为“优” C．2月，8月，9月和12月均出现污染天气 D．空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份 解析：选ABC.每月的平均AQI指数都不超过100，故全年的平均AQI指数也不超过100，对应的空气质量为“优”或“良”，故选项A正确；每月的AQI指数的最小值均不超过50，故每月都至少有一天空气质量为“优”，选项B正确；2月，8月，9月和12月的AQI指数的最大值均大于100，故至少有一天出现了污染天气，故选项C正确；2月，8月，9月，12月中空气质量为“污染”的天数不确定，故选项D不一定正确． 4．某田径队有男运动员56人，女运动员42人，从中用分层抽样的方法抽取容量为28的样本，则男运动员应抽______人． 解析：运动员一共有98人，设男运动员应抽x人，所以，解得x＝16. 答案：16 5．从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～300 kW·h之间，适当分组(每组为左闭右开区间)后绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)直方图中x的值为________； (2)在被调查的用户中月用电量落在区间[100，250)内的户数为________． 解析：(1)根据频率分布直方图的面积和为1，得(0.002 4＋0.003 8＋0.006 0＋x＋0.003 2)×50＝1，解得x＝0.004 6. (2)月用电量落在区间[100，250)内的频率为f＝(0.003 8＋0.006 0＋0.004 6)×50＝0.72，所以在被调查的用户中月用电量落在区间[100，250)内的户数为100×0.72＝72. 答案：(1)0.004 6　(2)72 题型一　简单随机抽样 【例1】　(1)某工厂利用随机数法对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，…，699，700.从中抽取70个样本，下面提供了随机数表的第5行到第6行数据，若从随机数表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是(　　 ) 8442125331　3457860736　2530073286 2345788907　2368960804 3256780843　6789535577　3489948375 2253557832　4577892345 A．623 B．328 C．253 D．007 解析：选A.从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，则第四个数是007，第五个数是328，第六个数是623. (2)某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出三种及以上发明的有32人，据此估计该校三年级500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有(　　 ) A．69人 B．84人 C．108人 D．115人 解析：选D.在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100－45－32＝23(人)，设该校三年级中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x人，则，解得x＝115. 【对点练习】　1.(1)(多选)下列抽样方法不是简单随机抽样的是(　　 ) A．在机器传送带上抽取30件产品作为样本 B．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本 C．箱子里共有100个零件，从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，每次任意地拿出1个零件进行质量检验，检验后不再把它放回箱子里，直到抽取10个零件为止 D．某可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查 解析：选AB.A不是，因为传送带上的产品数量不确定；B不是，因为个体的数量无限；C是，因为满足简单随机抽样的定义；D是，因为一次性抽取和逐个不放回地随机抽取是等价的． (2)(2024·山东潍坊模拟)某高中学校共有学生3 600人，为了解某次数学文化知识竞赛的得分情况，采用分层抽样的方法从这3 600名学生中抽取一个容量为48的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列，则该学校高三年级的学生人数为______． 解析：设从高二抽取的人数为x，则高一抽取的人数为x－4，高三抽取的人数为x＋4，所以3x＝48，解得x＝16，所以高三年级抽取了20人，由分层抽样的概念可知高三年级的学生人数为3 600×＝1 500. 答案：1 500 题型二　频率分布直方图 【例2】　某市某月30天对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)： 61 76 70 56 81 91 92 91 75 81 88 67 101 103 95 91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 (1)完成频率分布表； 分组 频数 频率 [41，51) [51，61) [61，71) [71，81) [81，91) [91，101) [101，111] (2)作出频率分布直方图； (3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，空气质量为良；在101～150之间时，空气质量为轻度污染；在151～200之间时，空气质量为中度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价． 解：(1)频率分布表如表所示． 分组 频数 频率 [41，51) 2 [51，61) 1 [61，71) 4 [71，81) 6 [81，91) 10 [91，101) 5 [101，111] 2 (2)作出频率分布直方图，如图所示． (3)答对下述两条中的一条即可． 一：该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的，有26天处于良的水平，占当月天数的，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的，说明该市空气质量基本良好． 二：轻度污染有2天，占当月天数的，污染指数在80以上的接近轻度污染的天数有15天，加上处于轻度污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%，说明该市空气质量有待进一步改善． 思维升华　频率分布直方图的相关结论 (1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. (2)频率分布直方图中纵轴表示，每组样本的频率为组距×，即小长方形的面积． (3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数． 【对点练习】　2.某校为了解学生学习的效果，进行了一次摸底考试，从中选取60名学生的成绩，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六组后，得到不完整的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题： (1)求分数在区间[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)根据评奖规则，排名在前10%的学生可以获奖，请你估计获奖的学生至少需要多少分？ 解：(1)设分数在[70，80)内的频率为x， 根据频率分布直方图，可得(0.01＋0.015＋0.02＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.25， 所以分数在[70，80)内的频率为0.25， 补全这个频率分布直方图，如图所示． (2)因为分数在区间[80，90)内的频率为0.25，在区间[90，100]内的频率为0.05， 而0.05<10%<0.25＋0.05， 设排名前10%的分界点为90－a，则0.025a＋0.005×10＝10%，解得a＝2， 所以排名前10%的分界点为88分，即获奖的学生至少需要88分． 题型三　统计图表 【例3】　(1)(多选)根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据(单位：℃)绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是(　　 ) A．5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关 B．9号的最高气温与最低气温的差值最大 C．最高气温的众数为27 ℃ D．5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大 解析：选AC.由5号到11号的最低气温的散点分布是从左下到右上可知：最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关，故A正确； 由图可知6号的最高气温与最低气温的差值最大，故B错误； 最高气温27 ℃出现了两次，其他数据出现了1次，故27 ℃是最高气温的众数，故C正确； 5号到15号的最低气温的极差小于15－3＝12，5号到15号的最高气温的极差约等于27－15＝12，故D错误． (2)(多选)(2024·合肥模拟)为了解我国农业、农村、农民的基本情况，将全国第三次农业普查的部分数据整理得到如下的柱状图(单位：%)，则(　　 ) A．东北地区的四项数据均比中部地区高 B．西部地区的四项数据均比其他三个地区低 C．中部地区的发展情况相较于西部地区的发展较好 D．东部地区的发展情况相较于其他三个地区的发展较好 解析：选CD.东北地区通电的村、通宽带互联网的村、有电子商务配送站点的村的占比高于中部地区，但通天然气的村的占比低于中部地区，故A错误；西部地区通电的村、通宽带互联网的村、有电子商务配送站点的村的占比低于其他三个地区，但通天然气的村的占比高于其他三个地区，故B错误；中部地区除通天然气的村的占比低于西部地区，其他三项数据均不低于西部地区，故中部地区的发展情况相较于西部地区较好，故C正确；东部地区除通天然气的村的占比低于西部地区，其他三项数据均不低于其他三个地区，故东部地区的发展情况相较于其他三个地区较好，故D正确． 思维升华　统计图表的主要应用 (1)扇形图：直观描述各类数据占总数的比例． (2)折线图：描述数据随时间的变化趋势． (3)条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率． 【对点练习】　3.(1)(多选)(2024·湖北武汉调研)某市2024年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图： 则下列结论中正确的是(　　 ) A．招商引资后，工资净收入较前一年增加 B．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍 C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的 D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍 解析：选AD.设招商引资前经济收入为M，而招商引资后经济收入为2M，则对于A，招商引资前工资净收入为M×60%＝0.6M，而招商引资后的工资净收入为2M×37%＝0.74M，所以工资净收入增加了，故A正确；对于B，招商引资前转移净收入为M×4%＝0.04M，招商引资后转移净收入为2M×5%＝0.1M，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为0.1M＋0.56M＝0.66M<×2M＝0.8M，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；对于D，招商引资前经营净收入为M×30%＝0.3M，招商引资后经营净收入为2M×30%＝0.6M，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确． (2)(多选)新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等．我国的新能源汽车发展开始于21世纪初，近年来发展迅速，连续8年产销量位居世界第一．下面两图分别是2017年至2022年我国新能源汽车年产量和占比(占我国汽车年总产量的比例)情况，则(　　 ) A．2017～2022年我国新能源汽车年产量逐年增加 B．2017～2022年我国新能源汽车年产量的极差为626.4万辆 C．2022年我国汽车年总产量超过2 700万辆 D．2019年我国汽车年总产量不低于2018年我国汽车年总产量 解析：选BC.由图可知，从2018年到2019年，我国新能源汽车年产量在下降，故A错； 2017～2022年我国新能源汽车年产量的极差为705.8－79.4＝626.4(万辆)，故B对； 2022年我国汽车年总产量为≈2 757.03(万辆)，故C对； 2019年我国汽车年总产量为＝2 587.5(万辆)，2018年我国汽车年总产量为≈2 822.22(万辆)，所以2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总产量，故D错． 学科网（北京）股份有限公司 $