8.13 圆锥曲线中定点与定值问题（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦高考圆锥曲线核心考点，围绕定点与定值问题，按直线过定点、圆过定点及定值问题分题型构建知识体系，通过思维建模梳理解题思路，结合新课标Ⅱ卷等真题精讲方法，配套对点练习强化应用，形成系统复习链条。 资料以数学眼光引导学生抽象问题本质，通过参数运算和逻辑推理培养数学思维，如例1用参数法表示交点坐标证定点，例2特殊到一般法探究圆过定点，规范表达强化数学语言。分层练习适配不同学情，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

8．13　圆锥曲线中定点与定值问题 题型一　圆锥曲线中的定点问题 角度1　直线过定点问题 【例1】　(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上． [思维建模] 第(1)问 求什么 想什么 求双曲线的标准方程，想到待定系数法 给什么 用什么 已知焦点和离心率，可确定方程类型及a，c的值 第(2)问 求什么 想什么 证明点P在定直线上，想到把点P的坐标表示出来，证明某个坐标为定值或横纵坐标有固定关系 给什么 用什么 已知点P是直线MA1和NA2的交点，要表示出两条直线的方程，联立方程组确定点P的坐标 差什么 找什么 缺少M，N的坐标，需要设直线方程引入参数，有两个途径：一是以直线MA1和NA2的斜率为参数(两个)；二是以直线MN的斜率为参数 解：(1)设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，由焦点坐标可知c＝2， 则由e＝可得a＝2，b＝＝4，故双曲线方程为＝1. (2)由(1)可得A1(－2，0)，A2(2，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x＝my－4，且－<m<， 与＝1联立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)>0， 则y1＋y2＝， 直线MA1的方程为y＝(x＋2)，直线NA2的方程为y＝(x－2)， 联立直线MA1与直线NA2的方程可得： ＝ ＝ ＝， 由可得x＝－1，即xP＝－1， 据此可得点P在定直线x＝－1上运动． 思维升华　圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点． (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 【对点练习】　1.(2024·贵州贵阳二模)已知椭圆E的一个焦点是.直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2关于直线l：y＝x＋1对称，且相交于椭圆E的上顶点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求k1k2的值； (3)设直线l1，l2分别与椭圆E另交于P，Q两点，证明：直线PQ过定点． 解：(1)因为l1，l2相交且关于直线y＝x＋1对称，故l1，l2的交点在直线y＝x＋1上， 又直线y＝x＋1与y轴相交于点A(0，1)，则椭圆E的上顶点为(0，1)， 设椭圆E的标准方程为＝1(a>b>0)，则b＝1， 又半焦距c＝，得a2＝b2＋c2＝4， 所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)可得b1＝b2＝1. 设点B(x，y)是l1上任意异于A(0，1)的一点， 点B0(x0，y0)是B关于直线y＝x＋1的对称点， 所以由＋1得y－x＝x0－y0＋2　①， 由＝－1得y＋x＝x0＋y0　②， 联立①②，解得 代入直线l1得x0＝k1(y0－1)． 又由点B0(x0，y0)在直线l2上可得y0＝k2x0＋1，故y0－1＝k2x0， 所以x0＝k1k2x0，由x0≠0得k1k2＝1， 故k1k2的值为1. (3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 联立直线l1与椭圆E：得x2＋8k1x＝0， 所以x1＝， 同理，x2＝， 又由(2)：k1k2＝1，所以x2，y2也可表示为x2＝， 所以直线PQ的方程为y－， 化简得y＝－， 所以对任意的k1，总会过点. 故直线PQ过定点. 角度2　圆过定点问题 【例2】　已知椭圆C：＝1(a＞b≥1)的离心率为，其上焦点到直线bx＋2ay－＝0的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)过点P的直线l交椭圆C于A，B两点．试探究以线段AB为直径的圆是否过定点．若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由． 解：(1)由题意得，e＝，又a2＝b2＋c2，所以a＝b，c＝b. 又，a＞b≥1， 所以b2＝1，a2＝2， 故椭圆C的方程为＋x2＝1. (2)当AB⊥x轴时，以线段AB为直径的圆的方程为. 当AB⊥y轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1. 可得两圆交点为Q(－1，0)． 由此可知，若以线段AB为直径的圆恒过定点，则该定点为Q(－1，0)． 下证Q(－1，0)符合题意： 设直线l的斜率存在，且不为0，其方程为y＝k，代入＋x2＝1， 并整理得(k2＋2)x2－k2－2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝， 所以＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋x1＋x2＋1＋＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2＝0， 故⊥，即Q(－1，0)在以线段AB为直径的圆上． 综上，以线段AB为直径的圆恒过定点(－1，0)． 思维升华　抓住圆的几何特征：“直径所对的圆周角为90°”，巧用向量＝0求得定点坐标，学习中应体会向量解题的工具性． 【对点练习】　2.(2024·山东潍坊模拟)已知双曲线C：＝1(0<a<10，b>0)的右顶点为A，左焦点F(－c，0)到其渐近线bx＋ay＝0的距离为2，斜率为＝. (1)求双曲线C的方程； (2)过点T(6，0)的直线l2与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与直线x＝6相交于M，N两点，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 解：(1)因为双曲线C的左焦点F(－c，0)到双曲线的C一条渐近线bx＋ay＝0的距离为d＝＝b，而d＝2，所以b＝2， 故双曲线C的方程为＝1(0<a<10)． 依题意直线l1的方程为y＝(x－a)， 由消去y整理得(36－a2)x2＋2a3x－a2(a2＋36)＝0， 依题意得36－a2≠0，Δ>0， 设点A，B的横坐标分别为xA，xB， 则xAxB＝， 又xA＝a，所以xB＝， 所以|AB|＝＝＝＝8， 即＝8，解得a＝3或a＝12(舍去)，且a＝3时，Δ>0， 所以双曲线C的方程为＝1. (2)依题意直线l2的斜率不等于0，设直线l2的方程为x＝my＋6. 由消去x整理得(4m2－9)y2＋48my＋108＝0，故4m2－9≠0，Δ1>0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝， 直线AP的方程为y＝(x－3)， 令x＝6，得y＝，即M， 同理可得N. 由对称性可知，若以线段MN为直径的圆过定点，则该定点一定在x轴上， 设该定点为R(t，0)，则＝＝， 故＝(6－t)2＋＝(6－t)2＋＝(6－t)2＋＝(6－t)2＋＝(6－t)2－12＝0. 解得t＝6－2或t＝6＋2. 故以线段MN为直径的圆过定点和. 题型二　圆锥曲线中的定值问题 【例3】　(2024·陕西西安模拟)已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的离心率为，椭圆C的动弦AB过椭圆C的右焦点F，当AB垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M. (1)求点M的坐标； (2)若直线AB的斜率为，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为－，直线NF与椭圆C交于P，Q两点，证明：为定值． 解：(1)e＝， 解得a2＝5，所以椭圆方程为＋y2＝1， 又c2＝a2－b2＝5－1＝4，所以右焦点F(2，0)， 当AB垂直x轴时，不妨取A，根据对称性可知点M在x轴上，且直线MA的斜率存在， 设直线MA的方程为y＝k(x－2)＋， 联立 消去y得(1＋5k2)x2＋10kx＋52－5＝0， 则Δ＝2－4×5(1＋5k2)＝0， 化简得k2＋＝0，解得k＝－， 所以直线MA的方程为y＝－， 令y＝0，解得x＝，故点M的坐标为. (2)如图， 由题意可得直线AB的方程为y＝(x－2)，即x＝my＋2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题可知N， 所以kNF＝＝－m，故直线NF与AB垂直， 联立消去x得(m2＋5)y2＋4my－1＝0， 则y1＋y2＝－， 所以|AB|＝＝， 同理，|PQ|＝， 所以， 故为定值． 思维升华　圆锥曲线中的定值问题的常见类型 (1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 【对点练习】　3.(2024·湖南常德一模)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的短轴长为2，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，R为椭圆上的一点，且△RF1F2的周长为6. (1)求椭圆C的方程； (2)过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆交于E，F两点(点E在第一象限)，P，Q是椭圆C上位于直线l两侧的动点，始终保持∠QEF＝∠PEF，求证：直线PQ的斜率为定值． 解：(1)由已知有2b＝2，2c＋2a＝|F1F2|＋|RF1|＋|RF2|＝6，即a＋c＝3，b＝. 所以a－c＝＝1，从而a＝＝2. 故椭圆C的方程为＝1. (2)我们有c＝＝1，故直线l的方程为x＝1. 将x＝1代入＝1可得＝1，解出y＝故E，F. 由于∠QEF＝∠PEF，故PE，QE的斜率互为相反数． 设PE，QE的斜率分别是k，－k，则由E可知它们的方程分别是y＝kx＋－k和y＝－kx＋＋k. 将直线y＝kx＋－k与椭圆方程联立可知3x2＋4 2＝12，即(3＋4k2)x2＋4(3－2k)kx＋(3－2k)2－12＝0. 由E知此方程必有一根x＝1，故另一根是x＝. 得到P， 同理有Q. 所以直线PQ的斜率kPQ＝，为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $