8.10 圆锥曲线中常见结论及应用（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的常用结论及应用，覆盖高考核心考点，按焦点三角形、周角定理、切线切点弦、焦点弦等题型分角度梳理，构建“定义-性质-结论-应用”的知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题解析与对点练习，帮助学生突破综合应用难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于聚焦高频二级结论，创新采用“结论推导-例题示范-即时应用”三步教学法。例如在焦点三角形教学中，结合椭圆定义和内切圆性质推导面积公式，培养学生数学思维与符号表达能力。设置分层练习适配不同水平学生，能在有限时间内提升解题效率，助力学生掌握应考技巧，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

8．10　圆锥曲线中常见结论及应用 [题型解读]　椭圆、双曲线、抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解． 题型一　椭圆、双曲线的常用结论及其应用 角度1　焦点三角形 【例1】　已知椭圆C：＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为(　　 ) A．2 B．4 C．6 D．12 解析：选D.由e＝，得，即a＝2c　①. 设△F1PF2的内切圆的半径为r， 因为△F1PF2的内切圆的面积为3π， 所以πr2＝3π，解得r＝(舍负)， 在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知＝b2tan r(2a＋2c)， 即(a＋c)　②， 又a2＝b2＋c2　③， 联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3， 所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12. 方法指导　焦点三角形的面积公式 P为椭圆(或双曲线)上异于长(或实)轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ， 则椭圆中＝b2·tan ， 双曲线中. 【对点练习】　1.(1)已知椭圆＝1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2＝60°，则△F1MF2的面积为(　　 ) A． B．16 C．3 D．9 解析：选C.根据椭圆焦点三角形的面积的二级结论＝b2tan ，得＝9tan . (2)已知双曲线＝1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2＝120°，则△F1MF2的面积为________． 解析：根据双曲线焦点三角形的面积的二级结论，得. 答案： 角度2　周角定理 【例2】　已知椭圆C：＋y2＝1的左、右两个顶点分别为A，B，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10，这10条直线的斜率乘积为(　　 ) A．－ B．－ C． D． 解析：选B. 由椭圆的性质可得. 由椭圆的对称性可得. 同理可得. ∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为. 方法指导　周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝. 周角定理的推广：已知A，B两点为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝双曲线中kPA·kPB＝. 【对点练习】　2.已知直线l：y＝kx与椭圆E：＝1(a>b>0)交于A，B两点，M是椭圆上异于A，B的一点．若椭圆E的离心率的取值范围是，则直线MA，MB斜率之积的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.由椭圆中的结论，可得kMA·kMB＝－， 由椭圆的离心率的取值范围是， 即<e<⇔<<⇔<<， 所以<<⇒－<－<－， 即－<kMA·kMB<－. 角度3　切线、切点弦方程 【例3】　椭圆C1：＋y2＝1，O为坐标原点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　 ) A．1 B． C． D．2 解析：选C.设B(x1，y1)(x1>0，y1>0)，由题意得，过点B的切线l的方程为＋y1y＝1， 令y＝0，可得C，令x＝0，可得D， 所以△OCD的面积S＝， 又点B在椭圆上，所以＝1， 所以S＝， 当且仅当，即x1＝1，y1＝时等号成立， 所以△OCD面积的最小值为. 方法指导　1.已知点P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中＝1，双曲线中＝1. 2．若点P(x0，y0)是椭圆(或双曲线)外一点，过点P(x0，y0)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程在椭圆中是＝1，双曲线中是＝1. 【对点练习】　3.点P为直线l：y＝x＋1上一动点，过P作双曲线－y2＝1的切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB过定点________． 解析：设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则PA，PB的方程分别为－y2y＝1， 因为点P在两条直线上，所以－y2y0＝1. 这表明，点A，B都在直线－y0y＝1上， 即直线AB的方程为－y0y＝1. 又y0＝＋1，代入整理得(x－y)－(y＋1)＝0， 令解得 即直线AB过定点(－1，－1)． 答案：(－1，－1) 题型二　抛物线的常用结论及其应用 与抛物线的焦点弦有关的二级结论 若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则 (1)焦半径|AF|＝x1＋， |BF|＝x2＋， (2)焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝， (3)S△OAB＝坐标原点)， (4)x1x2＝，y1y2＝－p2， (5)， (6)以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切． 【例4】　(1)已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足，S△OAB＝的值为(　　 ) A． B． C．4 D．2 解析：选A. 如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈， ∵， ∴F为AB的三等分点， 令|BF|＝t，则|AF|＝2t， 由，得⇒t＝p， ∴|AB|＝3t＝p， 又|AB|＝，∴p⇒sinα＝， 又S△OAB＝， 即p⇒p＝2，∴|AB|＝. (2)已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B的纵坐标之积为－8，且|AF|＝3|BF|，则△OAB的面积是(　　 ) A．4 B． C． D． 解析：选D.不妨令A(xA，yA)在第一象限，B(xB，yB)在第四象限， 则yAyB＝－p2＝－8，所以p＝2. 又因为|AF|＝3＝3， 即|yA|＝3|yB|，代入yAyB＝－8， 可得＝8，由于B在第四象限，则yB＝－， 所以yA＝2， 所以S△OAB＝＝. 思维升华　焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解． 【对点练习】　4.(1)斜率为的直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且与抛物线交于A，B两点，A在第一象限且|AF|＝4，则|AB|＝________． 解析：直线l的倾斜角α＝60°， 由|AF|＝＝4， 得p＝4(1－cos α)＝2， ∴|AB|＝. 答案： (2)(2024·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________． 解析：依题意，抛物线y2＝16x，p＝8，又l的倾斜角α＝，所以S△OAB＝. 答案：64 (3)(2024·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为________． 解析：因为p＝2，所以＝1， 所以2|AF|＋|BF|＝， 当且仅当|BF|＝＝＝＋1时，等号成立， 因此，2. 答案：3＋2 学科网（北京）股份有限公司 $