8.8 抛物线（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义围绕抛物线高考核心考点，按课标要求系统梳理定义、标准方程、几何性质及应用，以“必备知识-必记结论-基点诊断”构建知识网络，通过定义应用、方程求解、性质综合三大题型，结合例题精讲、变式迁移、真题演练，帮助学生突破焦点弦、焦半径等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出数学眼光与思维培养，如通过折叠矩形纸片抽象抛物线定义（数学眼光），利用定义转化距离求最值（数学思维）。设计分层练习（基础诊断、能力提升），融入2024北京高考题等真题，培养模型意识，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

8．8　抛物线 [课标要求]　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．　2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．　3.了解抛物线的简单应用． 【必备知识】 1．抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． (2)数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 性质 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 离心率 e＝1 准线方程 x= x= y= y= 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝ |PF|＝ |PF|＝ |PF|＝ 3.抛物线的通径 过焦点且垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通径，它的长等于2p，通径是过焦点最短的弦．p越大，通径越大，抛物线的开口就越大；p越小，通径越小，抛物线的开口就越小． 【必记结论】 1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，也称为抛物线的焦点弦． 3．抛物线定义中，如果定点F在直线l上，此时动点的轨迹为过点F且与l垂直的直线． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　 ) (2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0)．(　　 ) (3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．(　　 ) (4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　 2．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　) A． B． C． D．0 解析：选B.抛物线方程可化为x2＝y，开口向上，准线方程为y＝－.点M到焦点的距离为1，所以点M到准线y＝－的距离为1，所以点M的纵坐标是. 3．图中是抛物线形拱桥，当水面在m时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为(　　) A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 解析：选D.以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系， 可设拱桥所在抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)， 又抛物线过点(4，－2)，则16＝4p，解得p＝4， 则抛物线的方程为x2＝－8y，当x＝5时，y＝－， 故当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为米． 4．(2024·北京高考)已知抛物线y2＝16x，则焦点坐标为________． 解析：由题意抛物线的标准方程为y2＝16x，所以其焦点坐标为(4，0)． 答案：(4，0) 5．已知点M到点F(4，0)的距离比它到直线l：x＋6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程是____________． 解析：因为点M到点F(4，0)的距离比它到直线l：x＋6＝0的距离小2，所以点M到点F(4，0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等，即点M的轨迹是以F(4，0)为焦点，直线x＋4＝0为准线的抛物线，抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则＝4，即p＝8，所以点M的轨迹方程为y2＝16x. 答案：y2＝16x 题型一　抛物线的定义及其应用 【例1】　(1)(2024·南昌模拟)设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为(　　 ) A．x2＝8y B．x2＝16y C．y2＝8x D．y2＝16x 解析：选A.因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)， 所以A(0，2)，B(0，－2)， 又因为过点B作圆O的切线l， 所以切线l的方程为y＝－2， 因为动点P到A的距离等于P到l的距离， 所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为(0，2)，准线为y＝－2， 所以P的轨迹方程为x2＝8y. (2)(2024·北京海淀一模)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于点A，B，线段AB的中点的横坐标为4，则AB长为(　　 ) A．10 B．8 C．5 D．4 解析： 选A.法一　设AB中点为C，则xC＝4，过A，B，C分别做准线x＝－1的垂线，垂足分别为M，N，D.因为C为AB中点，则易知CD为梯形AMNB的中位线， 而|CD|＝xC＋1＝5， 所以|AM|＋|BN|＝2|CD|＝10.根据抛物线定义可知|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝10. 法二　由弦长公式得|AB|＝xA＋xB＋p＝2xC＋p＝2×4＋2＝10. [变式]　已知抛物线y2＝4x，P是抛物线上任意一点，则点P到直线l：x＝－1的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是________． 解析：易知直线l：x＝－1为抛物线的准线，抛物线y2＝4x与直线3x＋4y＋7＝0相离，由抛物线的定义可知，点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离， 故点P到直线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2. 答案：2 【对点练习】　1.(1)有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图中所示的方法进行折叠，使折叠后的点B落在边AD上，此时将B记为B′(注：图中EF为折痕，点F也可能落在边CD上)．过点B′ 作B′T∥CD交EF于点T，则点T的轨迹是以下哪种曲线的一部分(　　 ) A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 解析：选B.由于B′T∥CD，故B′T⊥AD，连接TB，由折叠关系，知|B′T|＝|TB|，即动点T到直线AD 的距离等于到定点B的距离．由抛物线的定义，知动点T的轨迹是以B为焦点，以AD为准线的抛物线在矩形ABCD内的部分． (2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是(　　 ) A． B． C．2 D． 解析：选B.直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线， 如图所示，当点P为所作直线与抛物线的交点时，d1＋d2的值最小，为点F到直线x＋y－4＝0的距离． ∵F(－1，0)， ∴(d1＋d2)min＝. 题型二　抛物线的标准方程 【例2】　 (1)(2024·青岛二中检测)已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　 ) A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝12x D．y2＝－12x 解析：选A.设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，所以＝3，2p＝12，其方程为x2＝－12y. (2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点A，B在抛物线上，且直线AB过点D＝2|FB|＝6，则抛物线C的标准方程为____________． 解析：如图，过点A，B分别作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为A1，B1， 由抛物线的定义可知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|， ∵2|FB|＝|FA|，∴2|BB1|＝|AA1|， 则易知B为AD的中点． 连接OB，则OB为△DFA的中位线， ∴2|OB|＝|FA|，∴|OB|＝|FB|， ∴点B在线段OF的垂直平分线上， ∴点B的横坐标为， ∴|FB|＝＝3，∴p＝4， ∴抛物线C的标准方程为y2＝8x. 答案：y2＝8x 【对点练习】　2.(1)抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为________． 解析：∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)， 则2p＝. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. 答案：y2＝x或x2＝－y (2)设抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，点P在抛物线C上，|PF|＝.若以线段PF为直径的圆过x轴上距离原点为1的点，则该抛物线C的方程为________． 解析：由题意设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，P(x0，y0)，F，圆的半径为，由焦半径公式可知y0＋，得y0＝， 并且线段PF中点的纵坐标是， 所以以线段PF为直径的圆与x轴相切，切点坐标为(－1，0)或(1，0)，所以x0＝±2， 即点P的坐标为， 代入抛物线方程x2＝2py(p>0)，得4＝2p·，解得p＝1或p＝4， 即当点F在y轴正半轴时，抛物线方程是x2＝2y或x2＝8y. 答案：x2＝2y或x2＝8y 题型三　抛物线的几何性质 【例3】　(1)已知圆x2＋y2＝1与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.因为四边形ABCD是矩形， 所以由抛物线与圆的对称性知，弦AB为抛物线y2＝2px(p>0)的通径， 因为圆的半径为1，抛物线的通径为2p， 所以有＋p2＝1，解得p＝. (2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　 ) A．p＝4 B． C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4 解析：选ABC. 如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°. 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°， 由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|， 则△AEF为等边三角形， 所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°， 所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确； 因为|AE|＝|EF|＝2，故B正确； 因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确； 因为|BD|＝2|BF|，所以|BF|＝＝＝，故D错误． 思维升华　应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何性质，体现了数形结合思想解题的直观性． 【对点练习】　3.(1)(2021·新课标Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________． 解析：方法一(解直角三角形法)　由题易得|OF|＝＝p，∠OPF＝∠PQF， 所以tan ∠OPF＝tan ∠PQF， 所以，即， 解得p＝3(p＝0舍去)， 所以C的准线方程为x＝－. 方法二(应用射影定理法)　由题易得|OF|＝＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|， 即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)， 所以C的准线方程为x＝－. 答案：x＝－ (2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3＝________． 解析：易知焦点F的坐标为(4，0)，准线l的方程为x＝－4，如图，抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C， AF∥MB∥NC， 则， 由3，得， 又|CN|＝4，|OF|＝4， 所以＝＝|BM|＝＝16. 答案：16 学科网（北京）股份有限公司 $