8.7 离心率的范围问题（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦高考热点圆锥曲线离心率范围问题，按利用定义、性质、几何图形三大题型架构知识体系，通过题型解读梳理考点，例题精讲提炼转化方法，思维升华总结规律，对点练习强化应用，帮助学生突破特征关系转化与几何关系挖掘难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料特色在于结合2024年多地模拟真题，采用“真题情境-定义性质应用-逻辑推理”教学策略，如例1利用双曲线定义转化周长求AB范围，培养数学思维与几何直观，设置基础到综合的分层练习，确保学生高效掌握解题逻辑，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

8．7　离心率的范围问题 [题型解读]　圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁． 题型一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围 【例1】　(1)(2024·江西南昌三模)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若△F1AB的周长为10b，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　 ) A． B． C． D．[2，＋∞) 解析：选A.由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a， 两式相加可得|AF1|＋|BF1|＝4a＋|AB|， 则△F1AB的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝10b，即|AB|＝5b－2a， 再由|AB|≥，可得5ab－2a2≥2b2，解得≤2， 故e＝∈. (2)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A的坐标为(0，1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于18，则双曲线C的离心率的取值范围为________． 解析：由右焦点为F＝＝5. 因为△APF的周长不小于18，所以|PA|＋|PF|的最小值不小于13. 设F2为双曲线的左焦点，可得|PF|＝|PF2|＋2a， 故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋2a， 当A，P，F2三点共线时，|PA|＋|PF2|＋2a取最小值，最小值为|AF2|＋2a，即5＋2a， 所以5＋2a≥13，即a≥4. 因为c＝2，所以e＝. 又e>1，所以e∈. 答案： 思维升华　此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围． 【对点练习】　1.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆C上存在一点M，使得△MF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.△MF1F2的面积为|F1F2|·|yM|， 因为△MF1F2的内切圆半径为， 所以△MF1F2的面积可表示为(2a＋2c)·， 所以·2c·|yM|＝(2a＋2c)·， 解得|yM|＝， 因为|yM|≤b，所以≤b， 两边平方得≤b2， 又因为b2＝a2－c2，整理得5c2＋2ac－3a2≤0， 因为e＝，不等式两边同时除以a2，得5e2＋2e－3≤0，解得－1≤e≤， 又椭圆C的离心率e∈(0，1)， 所以椭圆C的离心率的取值范围为. 题型二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围 【例2】　(1)(2024·广东东莞模拟)若双曲线C：＝1(a>0)的右支上存在A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)到点P(5a，0)的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A. 根据题意，结合双曲线的对称性可知， 存在以点P(5a，0)为圆心的圆与双曲线的右支有四个交点， 所以当双曲线上的点Q到点P的距离最小时，点Q不可为双曲线的右顶点， 设点Q(x0，y0)，则|PQ|2＝(x0－5a)2＋， 又因为由＝1，可得＝4， 所以|PQ|2＝(x0－5a)2＋＝－10ax0＋25a2－4(x0>a)， 要使>a，解得a2>1， 所以e＝<. 又因为双曲线中e>1，所以e∈. (2)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若离心率e＝，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　 ) A. B． C． D． 解析：选D.因为e＝＝e|PF2|， 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a， 解得|PF2|＝， 因为a－c≤|PF2|≤a＋c，所以a－c≤≤a＋c， 两边同除以a得1－e≤≤1＋e， 解得e≥－1， 因为0<e<1，所以－1≤e<1， 所以离心率e的取值范围是. 思维升华　利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解． 【对点练习】　2.(1)(2024·山东菏泽二模)已知e1，e2分别为椭圆＝1(a>b>0)和双曲线＝1的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B.由椭圆＝1(a>b>0)的离心率e1＝， 双曲线＝1的离心率e2＝，可得， 令k＝，因为双曲线的渐近线的斜率不超过，即，则0<k2≤， 此时2＝∈(1，9]，即∈(1，3]， 则的最大值是3. (2)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＝1(a>b>0)的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足FA⊥FB，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　 ) A．(0，1) B． C． D． 解析：选C.设椭圆C的右焦点为F′，连接AF′，如图所示． 由椭圆的性质得，AF′∥BF，∠FAF′＝， 即椭圆上存在点A，满足∠FAF′＝，即以FF′为直径的圆与椭圆有公共点． 设椭圆C的半焦距为c(c>0)， 所以只需c≥b，即c2≥a2－c2，即e2≥， 又0<e<1，所以≤e<1， 所以椭圆C的离心率的取值范围为. 题型三　利用几何图形的性质求离心率的范围 【例3】　(1)设F1，F2分别是椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D. 如图所示，因为线段PF1的中垂线过F2， ∴|F1F2|＝|PF2|＝2c， 又|QF2|＝ 故2c≥－c，即3c2≥a2，故e2≥， 又0<e<1，所以≤e<1. (2)(2024·浙江杭州三模)已知双曲线＝1(a>0，b>0)上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得△ABC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是(　　 ) A． B． C．(2，＋∞) D． 解析：选A.由题意可知：双曲线的渐近线方程为y＝±x， 设点A(x，y)，则可取C， 则整理得<， 解得b2>a2，即c2－a2>a2，可得>2，则e＝>， 所以该双曲线离心率的取值范围是. 思维升华　利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系． 【对点练习】　3.椭圆的中心在坐标原点，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、上、下顶点，F2为其右焦点，直线B1F2与直线A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A. 如图，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)， 由题意得A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，F2(c，0)， 则＝(a，b)，＝(－c，b)． 因为∠B1PA2为向量与的夹角， 且∠B1PA2为钝角， 所以<0，所以b2－ac<0. 又b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2<0， 两边同时除以a2得1－e－e2<0， 解得e<或e>， 因为e∈(0，1)，所以<e<1. 学科网（北京）股份有限公司 $