8.5 椭圆（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

8．5　椭圆 [课标要求]　1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．　2.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．　3.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．　4.了解椭圆的简单应用． 【必备知识】 1．椭圆的定义 把平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． (1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2； (3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 图形 几 何 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴长|A1A2|＝2a；短轴长|B1B2|＝2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 【必记结论】 (1)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝；最长的焦点弦是长轴． (2)与椭圆 ＝1(a>b>0)有共同焦点的椭圆方程为 (3)椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. ①当P为短轴端点时，θ最大最大． ②sin θ＝＝c|y0|. ③|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. ④|PF1|·|PF2|≤＝a2. ⑤4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)设F1(－4，0)，F2(4，0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．(　　 ) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　 ) (3)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　 ) (4)椭圆＝1(a>b>0)与椭圆＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4) √ 2．若椭圆＋y2＝1上一点A到焦点F1的距离为2，则点A到另一焦点F2的距离为(　　 ) A．1 B．3 C．4 D．2 解析：选C.由椭圆方程知a＝3，根据椭圆的定义有|AF1|＋|AF2|＝2a，因为|AF1|＝2，所以|AF2|＝2a－|AF1|＝6－2＝4. 3．已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　 ) A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 解析：选D.把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＝1，所以a＝，则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝. 4．已知椭圆C的焦点为F1，F2，短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三角形，则椭圆C的离心率为____________． 解析：因为|BF1|＝|BF2|＝a，|F1F2|＝2c，所以依据题意可知a＝2c，从而离心率e＝. 答案： 5．已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点，则它的标准方程是____________． 解析：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＝1(a>b>0)， 由椭圆的定义知c＝2，2a＝，所以a＝， 所以b2＝a2－c2＝10－4＝6， 所以所求椭圆的标准方程为＝1. 答案： 题型一　椭圆的定义及其应用 【例1】　(1)(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 解析：选B.法一　因为＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而＝b2tan 45°＝1＝＝2. 法二　因为＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知c2＝5－1＝4⇒c＝2， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2＝16＋2|PF1||PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2. [变式]　若将本例中的“＝0”变为“∠F1PF2＝60°”，求|PF1|·|PF2|及OP的值． 解：由椭圆方程知c2＝5－1＝4，即c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，即16＝20－3|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝. 因为， 所以2 ＝ ＝－] ＝. 所以PO＝. 综上可知，和. (2)(2024·山东潍坊模拟)如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成．已知A，C可在带滑槽的直杆l上滑动；另一根带滑槽的直杆DH长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子(可在带滑槽的直杆上滑动)．若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P到点B距离的最大值为_______． 解析：如图，连接BD，PB，BH， 因为ABCD为菱形，则AC为线段BD的垂直平分线，故|PB|＝|PD|， 所以|PH|＋|PB|＝|PH|＋|PD|＝|DH|＝4>|BH|， 故点P的轨迹为以B，H为焦点的椭圆，可得2a＝4，2c＝2，即a＝2，c＝1， 所以|PB|的最大值为a＋c＝3. 答案：3 思维升华　椭圆定义的应用 (1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． (2)当点P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可建立|PF1|＋|PF2|＝2a与|PF1|·|PF2|的联系，通过整体代入可求其面积等． 【对点练习】　1.(1)(2024·郑州模拟)若F为椭圆C：＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为________． 解析： 如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋(2a－|BF1|)＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|， 当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0， 当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|<0， 所以△ABF周长的最大值为20. 答案：20 (2)(2024·哈尔滨模拟)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容．例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)． 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕．圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C. 现有半径为4的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，在C上任取一点M，O为线段EF的中点，则|OM|的最小值为________． 解析： 如图，设点F关于折痕的对称点为点A， 由对称性可知|MF|＝|MA|，且A，M，E三点共线， 以FE所在直线为x轴，EF的中点 O为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 所以|ME|＋|MF|＝|EA|＝4>|EF|＝2， 所以曲线C是以F，E为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆， 则可得a＝2，c＝1，则b＝， 所以曲线C的方程为＝1， 设点M(x0，y0)，则＝1， 所以且－2≤x0≤2， 所以|OM|＝，当且仅当x0＝0时，等号成立，故. 答案： 题型二　椭圆的标准方程 ·教考衔接· 链接高考·【例2】　(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＝1(y>0) 　B．＝1(y>0) C．＝1(y>0) 　D．＝1(y>0) 解析：选A.设M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，因为点P在曲线C上，所以2＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，所以线段PP′的中点M的轨迹方程为＝1(y>0)． 教材溯源·(人教A版选择性必修一P108例2)如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合．) 解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0，0)．由点M是线段PD的中点，得x＝x0，y＝. 因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以＝4　①. 把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4， 即＋y2＝1. 所以点M的轨迹是椭圆． 【例2】　(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　 ) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 解析：选D.设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|， 所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆， 因为2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b2＝a2－c2＝48， 故所求的轨迹方程为＝1. (3)(人教A版选择性必修一P54)求满足下列各条件的椭圆的标准方程： ①经过点P，Q两点； ②与椭圆＝1有相同离心率，且经过点. 解：①设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 则有解得 则所求椭圆的标准方程为＝1. ②椭圆＝1的离心率是e＝， 当焦点在x轴上时， 设所求椭圆的方程是＝1(a＞b＞0)， ∴解得 ∴所求椭圆方程为＝1. 当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)， ∴∴ ∴椭圆的标准方程为＝1， 综上，所求椭圆标准方程为＝1或＝1. 思维升华　求椭圆方程的方法与步骤 1．定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置求解． 2．待定系数法：(1)根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能； (2)设椭圆方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)； (3)根据已知条件，建立关于a，b的方程组； (4)解方程组求出a，b，即可得到椭圆方程． 3．相关点法(代入法)： (1)设所求轨迹的点M(x，y)，曲线上的动点Q(x0，y0)； (2)找出M(x，y)与Q(x0，y0)的关系，由x，y表示x0，y0，即 (3)Q(x0，y0)满足已知的曲线方程，将x0，y0代入，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍． 【对点练习】　2.过点，且与椭圆＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为______________． 解析：法一(定义法)　椭圆＝1的两个焦点分别为(0，－4)，(0，4)，即c＝4. 由椭圆的定义，知2a＝，得a＝2. 由c2＝a2－b2可得b2＝4， 所以所求椭圆的标准方程为＝1. 法二(待定系数法)设所求椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)， 由题意得c2＝25－9＝16，即a2－b2＝16　①. 又点在所求椭圆上， ∴＝1，即＝1　②. 由①②得a2＝20，b2＝4， ∴所求椭圆的标准方程为＝1. 法三(待定系数法)　由题意可设所求椭圆方程为＝1(k＜9)． ∵点在所求椭圆上， ∴＝1，解得k＝5或k＝21(舍去)， ∴所求椭圆的标准方程为＝1. 答案：＝1 题型三　椭圆的几何性质 角度1　椭圆的离心率 【例3】　(1)(2024·江苏泰州模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线与C交于点A，与y轴交于点B，，则C的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.设|F2A|＝m，因为， 所以|BF2|＝4m，AB＝5m， 由对称性可得|F1B|＝4m，又＝0， 所以F1A⊥F1B， 所以|F1A|＝＝3m，cos ∠F1BA＝， 又|F1A|＋|F2A|＝2a，所以4m＝2a，|F1B|＝|BF2|＝2a，又|F1F2|＝2c， 所以由余弦定理cos ∠F1BA＝， 所以2a2＝5c2，C的离心率e＝. (2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.设P(x0，y0)，由B(0，b)，因为＝1，a2＝b2＋c2， 所以|PB|2＝＋(y0－b)2＝a2＋(y0－b)2＝－2＋＋a2＋b2， 因为－b≤y0≤b，对称轴y0＝－<0，当－≤－b，即b2≥c2时，令y0＝2，即|PB|max＝2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0<e≤； 当－>－b，即b2<c2时，令y0＝＋b2，即＋a2＋b2≤4b2，化简得，(c2－b2)2≤0，显然该不等式不成立． 综上，C的离心率的取值范围是. 思维升华　求椭圆离心率(或范围)的两种常用方法 方法1：求出a，c，代入公式e＝； 方法2：根据条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2，转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可． 角度2　与椭圆几何性质有关的最值、范围问题 【例4】　(1)设A，B是椭圆C: ＋ ＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　 ) A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，3]∪[9，＋∞) C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞) 解析：选A.法一　设椭圆的焦点在x轴上， 则0<m<3，不妨设A，B，M(x，y)． 过点M作x轴的垂线，交x轴于点N(图略)，则N(x，0)． 故tan ∠AMB＝tan (∠AMN＋∠BMN)＝. 又tan ∠AMB＝tan 120°＝－ ，且由 ＋ ＝1， 可得x2＝3－ ，则 ＝－ ＝. 又0<|y|≤，即0< ≤，结合0<m<3，解得0<m≤1. 对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9. 则m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞)． 法二　当0<m<3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则 ≥tan 60°＝，即 ≥，解得0<m≤1. 当m>3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则 ≥tan 60°＝，即 ≥，解得m≥9， 故m的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)． (2)(多选)已知椭圆＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则(　　 ) A．的最大值为4 B． C．不存在点P使PF1⊥PF2 D． 解析：选AB.依题意知，a＝4，b＝2，c＝2，当P为短轴顶点时max＝，故A正确； 由椭圆的性质知，故B正确； 对于C，sin ∠F2BO＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝，即∠F1PF2的最大值为，最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误； 对于D，设P(x0，y0)，所以|PB|＝，又＝1，所以＝，又－2≤y0≤2，故当y0＝－max＝，故D错误． 思维升华　与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略 策略1：利用椭圆的几何意义，尤其是椭圆的性质． 策略2：利用函数，尤其是二次函数． 策略3：利用不等式，尤其是基本不等式． 策略4：利用一元二次方程的判别式． 【对点练习】　3.(1)(2024·广东汕头模拟)已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得，则椭圆离心率的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.由，得＝， 又<a＋c， ∴a2－c2<2ac<(a＋c)2，即e2＋2e－1>0， 又e∈(0，1)，∴e∈. (2)已知椭圆＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为(　　 ) A．[－16，0] B．[－8，0] C．[0，8] D．[0，16] 解析：选D.方法一　由题意知A(－4，0)，F(2，0)，设M(x0，y0)， 则＝(－4－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝(x0－2)(x0＋4)＋(x0＋4)2， 因为＝1，所以≤1， 所以－4≤x0≤4，所以0≤≤16. 方法二　由题意知A(－4，0)，F(2，0)， 设M(x0，y0)，取线段AF的中点N， 则N(－1，0)，连接MN，如图， 则－9＝(x0＋1)2＋ (x0＋4)2， 因为＝1，所以≤1， 所以－4≤x0≤4，所以0≤≤16. (3)(2024·山东泰安模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左，右焦点，M，N是C上两点，且＝0，则C的离心率为______． 解析： 如图，连接NF2，设|NF1|＝n，则|MF1|＝2n，|MF2|＝2a－2n，|NF2|＝2a－n， 在Rt△MNF2中，|MN|2＋|MF2|2＝|NF2|2，即(3n)2＋(2a－2n)2＝(2a－n)2， ∴12n2＝4an，n＝＝＝， 在Rt△MF1F2中，|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，即4c2＝， ∴9c2＝5a2，e2＝，又∵e∈(0，1)，∴e＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $