8.3 圆的方程（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学高考复习资料聚焦圆的方程核心考点，涵盖圆的定义、标准方程与一般方程、点与圆的位置关系及轨迹、最值等高考高频问题，按“知识梳理-性质应用-题型突破”逻辑架构知识点，通过必备知识回顾、基点诊断辨析、题型分类精讲（几何法与代数法）、真题实战演练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破方程求解、轨迹分析等难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用一题多解（如圆的方程求法对比几何法与待定系数法）和分层训练（基础诊断、能力提升、真题应用），在最值问题中通过参数方程转化培养学生的数学眼光，将代数运算与几何直观结合。设置即时反馈练习与方法总结，确保学生高效掌握解题策略，为教师提供精准复习节奏把控依据，助力提升学生应考能力。

8．3　圆的方程 [课标要求]　1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．　2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 【必备知识】 1．圆的定义与方程 2．点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)． 【必记结论】 1．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形． 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 3．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)过不共线的三点一定有唯一的一个圆．(　　 ) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　 ) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　 ) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．圆心为点C(8，－3)，且过点A(5，1)的圆的一般方程是______________． 解析：圆的半径r＝|CA|＝＝5， 所以圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25， 化为一般式，得x2＋y2－16x＋6y＋48＝0. 答案：x2＋y2－16x＋6y＋48＝0 3．已知圆x2＋y2＋2x－ay－4＝0的半径为3，则实数a的值为________． 解析：圆的方程用配方化为标准方程，得(x＋1)2＋2＝所以r2＝5＋＝9，解得a＝±4. 答案：±4 4．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________． 解析：∵原点(0，0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－<m<. 答案： 5．已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是_______________． 解析：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)， 由于点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，所以x＝， 于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3　①， 因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即(x0＋1)2＋＝4　②， 把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，整理得2＋2＝1，这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆． 答案：2＋2＝1 题型一　圆的方程 【例1】　已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为_____________________. 解析：法一(几何法)　∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a，－a)． 又所求圆被直线x－y＝0相切，∴半径r＝. 又所求圆被直线x－y－3＝0截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝， ∴d2＋2＝r2，即＝2a2，解得a＝1. ∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 法二(待定系数法)　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝， ∴r2＝，即2r2＝(a－b－3)2＋3　①. 由于所求圆与直线x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2　②. 又圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0　③. 联立①②③，解得故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 法三(待定系数法)　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为，半径r＝. ∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－＝0，即D＋E＝0　①. 又圆C与直线x－y＝0相切，∴即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)． ∴D2＋E2＋2DE－8F＝0　②. 又知圆心到直线x－y－3＝0的距离d＝，由已知得d2＋2＝r2， ∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)　③. 联立①②③，解得故圆C的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2 思维升华　求圆的方程的两种方法 (1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径； (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程；②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则设圆的一般方程． 【对点练习】　1.(人教A版选择性必修一P84)已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程． 解：解法1：设圆心C的坐标为(a，b)，因为圆心C在直线l：x－y＋1＝0上， 所以a－b＋1＝0　①. 因为A，B是圆上两点，所以|CA|＝|CB|， 根据两点间距离公式，有， 即a－3b－3＝0　②. 由①②可得a＝－3，b＝－2，所以圆心C的坐标是(－3，－2)， 圆的半径r＝|AC|＝＝5. 所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. 解法2：如图，设线段AB的中点为D.由A，B两点的坐标为(1，1)，(2，－2)，可得点D的坐标为直线AB的斜率为kAB＝＝－3. 因此，线段AB的垂直平分线l′的方程是y＋，即x－3y－3＝0. 由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解． 解这个方程组，得 所以圆心C的坐标是(－3，－2)． 圆的半径r＝|AC|＝＝5. 所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. 题型二　与圆有关的轨迹问题 【例2】　(1)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是(　　 ) A．y2＝4x B．x2＋y2－2x－2y－3＝0 C．x2＋y2－2y－3＝0 D．y2＝－4x 解析：选B.因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C(1，1)，半径r＝1， 因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1， 又AM与圆相切，且|AM|＝2， 则|AC|＝， 设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5， 即x2＋y2－2x－2y－3＝0， 所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. (2)已知A(－2，0)，B(2，0)，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是____________． 解析：设M(x，y)，则|MA|＝＝. 因为|MA|＝2|MB|， 所以， 整理可得3x2＋3y2－20x＋12＝0， 即x2＋y2－x＋4＝0. 所以点M的轨迹是圆，方程为x2＋y2－x＋4＝0. 答案：x2＋y2－x＋4＝0 (3)已知O为坐标原点，点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 解：设P(x，y)，N(x0，y0)， ∵四边形MONP为平行四边形， 则， 即(x，y)＝(－3，4)＋(x0，y0)， 即则 又N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， ∴＝4，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4， 易知直线OM的方程为y＝－x， 联立 解得或 ∴点P的轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4除去点和. 思维升华　求与圆有关的轨迹问题的常用方法； (1)直接法：直接根据题设条件列方程； (2)定义法：根据圆的定义列方程； (3)几何法：利用圆的几何性质列方程； (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 【对点练习】　2.(1)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，若动点M满足，则点M的轨迹方程是(　　 ) A．x2＋(y＋2)2＝2 B．x2＋(y－2)2＝2 C．x2＋(y＋2)2＝8 D．x2＋(y－2)2＝8 解析：选D.设M(x，y)，因为，A(0，－2)， 所以， 所以x2＋(y＋2)2＝2(x2＋y2)， 所以x2＋(y－2)2＝8为点M的轨迹方程． (2)(人教A版选择性必修一P89)长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 解：设线段AB的中点P(x，y)，若A、B不与原点重合时，则△AOB是直角三角形，且∠AOB为直角， 则OP＝AB，而AB＝2a， ∴OP＝a，即P的轨迹是以原点为圆心，以a为半径的圆，方程为x2＋y2＝a2(a＞0)； 若A、B有一个是原点，同样满足x2＋y2＝a2(a＞0)． 故线段AB的中点的轨迹方程为x2＋y2＝a2(a＞0)，表示圆心在原点，半径为a的圆． 圆的参数方程 (人教A版选择性必修一P89习题10)在平面直角坐标系中，如果点P的坐标(x，y)满足其中θ为参数．证明：点P的轨迹是圆心为(a，b)，半径为r的圆． 证明：由可得又因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以2＋2＝1，即(x－a)2＋(y－b)2＝r2，所以点P的轨迹是圆心为(a，b)，半径为r的圆． 结论：圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的参数方程为为参数．圆的参数方程在求最值和范围时常作为一种简洁的运算手段使用，通常称为三角换元． 【典例】　1.(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋ B．4 C．1＋3 D．7 解析：选C.法一　令x－y＝k，则x＝k＋y， 代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0， 因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0， 化简得k2－2k－17≤0，解得1－3， 故x－y的最大值是3＋1. 法二　x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9， 令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π]， 则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos ＋1， ∵θ∈[0，2π]，所以θ＋∈，则θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1. 法三　由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9， 设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，解得1－3， 故x－y的最大值为3＋1. 2．(2024·广东广州三模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知直线l：2x＋y－5＝0，点A，B为圆x2＋y2＝1上两动点，且满足∠AOB＝，则A，B到直线l的距离之和的最小值为(　　 ) A．2 B．2－2 C．2 D．2－1 解析：选D.设A(cos θ，sin θ)，B，sin ，θ∈[0，2π]， 点A到直线l：2x＋y－5＝0的距离dA＝， 同理可得点B到直线l：2x＋y－5＝0的距离dB＝， 所以点A，B到直线l的距离之和为dB＋dA＝ ＝ ＝ ＝sin θ＋sin θ－ ＝cos θ＋]＝， 其中cos φ＝，sin φ＝， 故当sin (θ－φ)＝－1时，此时dA＋dB取最小值＝2－1. 题型三　与圆有关的最值问题 角度1　圆上的点到直线的最值问题 【例3】　(2024·天津四校联考)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离是(　　) A．36 B．8 C．18 D．6 解析：选B.因为圆x2＋y2－4x－4y－10＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝18， 所以圆心坐标为(2，2)，半径r＝3， 因为圆心到直线x＋y－14＝0的距离d＝>3， 所以直线x＋y－14＝0与圆(x－2)2＋(y－2)2＝18相离， 所以圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为d＋r＝. 思维升华　设r为圆C的半径，d为圆心C到直线l的距离． 如图(1)，当直线l与圆C相交时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为AD＝r＋d； 如图(2)，当直线l与圆C相切时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为AD＝2r； 如图(3)，当直线l与圆C相离时，圆C上的点到直线l的最小距离为BD＝d－r，最大距离为AD＝r＋d. 角度2　斜率型、截距型、距离型最值问题 【例4】　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆． (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值， 此时，解得k＝±. 所以的最大值为，最小值为－. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－2±， 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方， 由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是2＝7＋4，x2＋y2的最小值是2＝7－4. 思维升华　与圆有关的最值问题的三种几何转化法 角度3　用对称性求最值 【例5】　已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，点M，点N分别是圆C1，圆C2上的动点，点P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．5－4 B．－1 C．6－2 D． 解析：选A.由题可知圆心C1(2，3)，圆心C2(3，4)．因为点P是x轴上任意一点，所以|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，所以|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4，作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)(图略)，所以|PC1|＋|PC2|＝|PC′1|＋|PC2|≥|C′1C2|＝5－4≥5－4. 思维升华　求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路： ①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； ②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 【对点练习】　3.(1)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　 ) A．[2，6] B．[4，8] C． D． 解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d＝， 所以点P到直线的距离d1∈. 根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)， 所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝·d1＝d1. 因为d1∈，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]. (2)已知动点P(x，y)满足x2＋y2－|x|－|y|＝0，O为坐标原点，则|PO|的最大值是________． 解析：如图，方程x2＋y2－|x|－|y|＝0可以转化为2＋2＝，所以动点P(x，y)的轨迹为原点和四段圆弧．由于对称性，仅考虑圆弧2＋2＝(x≥0，y≥0)，显然，当点P为(1，1)时，|PO|max＝. 答案： (3)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为________． 解析：由题意，得＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)， 所以＝x2＋y2－4， 由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1， 故x2＝－(y－3)2＋1， 所以＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12. 易知2≤y≤4，所以当y＝4时，的值最大，最大值为6×4－12＝12. 答案：12 学科网（北京）股份有限公司 $