6.2 等差数列（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦等差数列高考核心考点，涵盖概念、通项公式、前n项和公式、性质及判定应用，严格对标课标要求。以“概念-公式-性质”为逻辑主线构建知识网络，通过基点诊断夯实基础，题型分类讲解（基本量运算、判定证明、性质应用）提炼方法，真题训练（如2024全国甲卷例1）提升实战能力，形成系统高效的复习路径。 讲义突出分层教学与思维培养，采用多解法对比（如例1基本量法与性质法）和组合证明训练（如例3条件组合推结论），培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础诊断、典例精讲、分层练习三级环节，确保复习针对性，助力教师精准把控节奏，有效提升学生等差数列综合应用与应考能力。

6．2　等差数列 [课标要求]　1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．　2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．　3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．　4.体会等差数列与一元一次函数的关系． 【必备知识】 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 数学语言：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可知2A＝a＋b． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前n项和公式：Sn＝＝na1+d＝n. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)； (2)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq； (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)仍是等差数列，公差为md； (4)数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d； (5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列； (6)若{an}是等差数列，则也成等差数列． 【必记结论】 1．在公差为d的等差数列{an}中： (1)d＞0⇔{an}为递增数列； (2)d＝0⇔{an}为常数列； (3)d<0⇔{an}为递减数列． 2．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 3．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 4．若等差数列的项数为偶数2n，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)； (2)S偶－S奇＝nd； (3)(S偶≠0)． 5．若等差数列的项数为奇数2n－1，则 (1)S2n－1＝(2n－1)an； (2)S奇－S偶＝an； (3)(S偶≠0)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　 ) (2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S6，S12，S18也成等差数列．(　　 ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　 ) (4)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝(　　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选C.由题意知 解得所以a4＝a1＋3d＝0＋3×2＝6. 3．等差数列{an}中，a3＋a7＝6，则{an}的前9项和等于(　　 ) A．－18 B．27 C．18 D．－27 解析：选B.S9＝＝27. 4．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________． 解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 答案：180 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S4＝30，则S6＝________． 解析：由等差数列的性质，可得S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，公差为(S4－S2)－S2＝(30－10)－10＝10，所以S6＝S2＋(S4－S2)＋(S6－S4)＝10＋20＋30＝60. 答案：60 题型一　等差数列基本量的运算 【例1】　(1)(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　) A．－2 B． C．1 D． 解析：选D.方法一(利用等差数列的基本量) 由S9＝1，根据等差数列的求和公式，得S9＝9a1＋d＝1，化简得9a1＋36d＝1， 所以a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝(9a1＋36d)＝. 方法二(利用等差数列的性质) 根据等差数列的性质，知a1＋a9＝a3＋a7，由S9＝1，根据等差数列的求和公式，得S9＝＝1，故a3＋a7＝. 方法三(特殊值法) 不妨取等差数列公差d＝0，则S9＝1＝9a1，得a1＝，则a3＋a7＝2a1＝. (2)(人教A版选择性必修二P55)《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.设5人分到的面包数量从小到大记为{an}，设公差为d， 依题意可得，S5＝＝5a3＝100， ∴a3＝20，∵a3＋a4＋a5＝7(a1＋a2)， ∴60＋3d＝7(40－3d)，解得d＝， ∴a1＝a3－2d＝20－. (3)(人教A版选择性必修二P23)在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，则S16＝________． 解析：设等差数列的公差为d， 则解得 则S16＝16×＝72. 答案：72 【对点练习】　1.(1)广丰永和塔塔高九层，每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境．某游客从塔底层(一层)进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景．现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需(　　 ) A．352步 B．387步 C．332步 D．368步 解析：选C.设从第n层到第n＋1层所走的台阶数为an，绕第n＋1层一周所走的步数为bn， 由已知可得a1＝26，an＋1－an＝－2，n∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，b8＝12，bn－bn＋1＝3，n∈{1，2，3，4，5，6，7}， 所以数列{an}是首项为26，公差为－2的等差数列，故an＝28－2n，n∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，数列{bn}是公差为－3的等差数列， 故bn＝36－3n，n∈{1，2，3，4，5，6，7，8}， 设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn， 所以S8＝＝180，S8＋T8＝152＋180＝332， 故这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需332步． (2)(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________． 解析：设{an}的公差为d， 则解得则S10＝10a1＋45d＝95. 答案：95 【例2】　(12分)(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列①的公差为d，且d＞1.令bn＝②，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21③，求{an}的通项公式④； (2)若{bn}为等差数列⑤，且S99－T99＝99⑥，求d⑦. 破题①：联想等差数列的通项公式． 破题②：观察bn的结构形式，把an代入求出bn. 破题③：利用等差数列的相关公式转化为基本量a1，d之间的关系，建立方程组求解． 破题④：求得a1，d，代入通项公式即可． 破题⑤：由等差中项的性质求出a1，d的关系，并表示出求和公式． 破题⑥：利用等差数列和与项的关系将和转化为项． 破题⑦：由a1，d的关系和S99－T99＝99推得的关系建立方程组． ———————————[例2满分作答]——————————— 解：(1)∵3a2＝3a1＋a3， ∴(1分) ① ∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，an＝a1＋(n－1)d＝nd， 又T3＝b1＋b2＋b3＝，(3分) ② ∴S3＋T3＝6d＋＝21，即2d2－7d＋3＝0， 解得d＝3或d＝(舍去)，(4分) ∴an＝nd＝3n.(5分) (2) ∵{bn}为等差数列，∴2b2＝b1＋b3，即， ③ ∴6，即－3a1d＋2d2＝0， 解得a1＝d或a1＝2d，(7分) ∵d>1，∴an>0，又S99－T99＝99， 由等差数列性质知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1，(9分) ④ ∴a50－＝1，即－a50－2 550＝0，解得a50＝51或a50＝－50(舍去)．(10分) 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d＞1矛盾，无解；(11分) 当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，解得d＝. ⑤ 综上，d＝.(12分) 【关键点拨】 ①②处代入a1，d计算 ③处由{bn}为等差数列得b1，b2，b3的关系，进而找a1，d的关系 ④处由等差数列的性质把等差数列的前n项和换成通项 ⑤处分类讨论求d 题型二　等差数列的判定与证明 【例3】　(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列；②数列{③ (注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．) 解：①③⇒②. 已知{an}是等差数列，a2＝3a1. 设数列{an}的公差为d， 则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1， 所以Sn＝na1＋d＝n2a1. 因为数列{an}的各项均为正数， 所以， 所以＝(n＋1)(常数)，所以数列{}是等差数列． ①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{}是等差数列． 设数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋n. 因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{}是等差数列，a2＝3a1， 所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{}的公差为d，d>0， 则＝d，得a1＝d2， 所以＋(n－1)d＝nd， 所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列． 思维升华　判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列； (2)等差中项法：对于数列{an}，2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列； (3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列； (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列． 【对点练习】　2.(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积， 所以n≥2时，Sn＝， 代入＝2，可得＝2， 整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2)． 又＝2，所以b1＝， 故{bn}是以为首项，为公差的等差数列． (2)由(1)可知，bn＝，则＝2， 所以Sn＝. 当n＝1时，a1＝S1＝， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝. 又a1＝不满足此式， 故an＝ 题型三　等差数列的性质及应用 角度1　等差数列项的性质 【例4】　(1)(2024·江西赣州二模)在等差数列{an}中，a2，a5是方程x2－8x＋m＝0的两根，则{an}的前6项和为(　　 ) A．48 B．24 C．12 D．8 解析：选B.因为a2，a5是方程x2－8x＋m＝0的两根，所以a2＋a5＝8，又因为{an}是等差数列，所以a2＋a5＝a1＋a6＝8，设{an}的前6项和为S6，则S6＝＝3×8＝24. (2)(多选)(北师大版选择性必修二P46T2改编)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，S5<S6，S6＝S7，S7>S8，则下列说法正确的有(　　 ) A．公差d<0 B．S12>0 C．S9>S5 D．使Sn<0的最小正整数n为14 解析：选ABD.由S5<S6得S6－S5＝a6>0，由S6＝S7得S7－S6＝a7＝0，由S7>S8得S8－S7＝a8<0. 由a6>a7，得d<0，故A正确； S12＝＝6(a6＋a7)＝6a6>0，故B正确； S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝2a8<0，故S9<S5，故C错误； S14＝＝7(a7＋a8)＝7a8<0，S13＝＝14a7＝0，故D正确． 角度2　等差数列前n项和的性质 【例5】　(1)(2024·重庆一诊)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.法一　设等差数列{an}的公差为d， 由题设，，可得a1＝d， ∴. 法二　由题意知S8＝3S4，又S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，且S8－S4＝2S4，则S12－S8＝3S4，故S12＝6S4，S16－S12＝4S4，得S16＝10S4，所以. (2)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，若，则等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.. [变式]　在本例(2)中，将改为，则＝________． 解析：. 答案： 【对点练习】　3.(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝16，S6＝8，则S12＝(　　 ) A．－50 B．－60 C．－70 D．－80 解析：选D.由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列， 且该数列的公差为(S6－S3)－S3＝－8－16＝－24， 则S9－S6＝(S6－S3)－24＝－32， 所以S12－S9＝(S9－S6)－24＝－56， 因此S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝－80. (2)(2024·重庆联考)等差数列{an}是递增数列，公差为d，前n项和为Sn，满足a7＝3a5，则下列说法正确的是(　　 ) A．d<0 B．a1>0 C．当n＝5时，Sn最小 D．当Sn>0时，n的最小值为8 解析：选D.对于A，B，由a7＝3a5得a1＋6d＝3a1＋12d，即a1＝－3d，由于{an}是递增数列，所以d>0，a1<0，故A，B错误； 对于C，an＝a1＋(n－1)d＝(n－4)·d， 由于d>0，故当n>4，且n∈N*时，an＝(n－4)d>0， 当n＝4时，an＝0， 当n<4，n∈N*时，an＝(n－4)d<0， 因此当n＝3或n＝4时，Sn最小，故C错误； 对于D，令Sn＝na1＋n(n－7)>0， 由于d>0，故解得n>7，且n∈N*，故当Sn>0时，n的最小值为8，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $