6.1 数列的概念（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义围绕数列的概念专题，覆盖数列的定义、表示方法、分类、与函数的关系等高考核心考点，按必备知识梳理、必记结论归纳、基点诊断检测的逻辑架构组织内容，通过三个题型（an与Sn关系求通项、递推关系求通项、数列性质应用）的方法指导和真题训练，帮助学生构建知识网络，突破通项公式求解、性质分析等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如在递推关系求通项时，通过累加法、累乘法引导学生逻辑推理，在数列周期性分析中培养观察能力，结合2024年新课标Ⅰ卷真题链接斐波那契数列，设置分层对点练习。这能在有限时间内提升学生解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

6．1　数列的概念 [课标要求]　通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数． 【必备知识】 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项 an与它的序号 n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an 2．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 【必记结论】 1．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 2．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．(　　 ) (2)数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式只能是an＝.(　　 ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　 ) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.a2＝1＋. 3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　 ) A．15 B．16 C．49 D．64 解析：选A.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，所以a8＝2×8－1＝15. 4．已知数列{an}满足a1＝2，an＝2－ (n≥2)，则a5＝________，猜想an＝________． 解析：由题意知a2＝2－，猜想an＝. 答案： 　 题型一　由an与Sn的关系求通项公式 【例1】　(1)已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________． 解析：当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1， ∴a1＝－1. 当n≥2时，Sn＝2an＋1　①， Sn－1＝2an－1＋1　②， ①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1， 即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)， ∴{an}是首项为a1＝－1，公比为q＝2的等比数列，∴an＝a1·qn-1＝－2n-1. 答案：－2n-1 (2)(2024·山西名校联考)已知数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2，n∈N*，则{an}的通项公式an＝________． 解析：因为a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2　①，所以a1＝22＝4. 当n≥2时，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＝n2　②， 由①－②，可得(2n－1)an＝2n＋1， 所以an＝(n≥2，n∈N*)， 当n＝1时，不满足上式， 所以数列{an}的通项公式是an＝ 答案： 思维升华　an与Sn的关系问题的求解思路 (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 【对点练习】　1.(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sm＋Sn＝Sm＋n，若a1＝2，则a20等于(　　 ) A．2 B．4 C．20 D．40 解析：选A.方法一　a20＝S20－S19＝S18＋S2－(S18＋S1)＝S2－S1＝S1＝a1＝2. 方法二　令m＝1，∴Sn＋S1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝S1＝2，∴an＋1＝2，∴a20＝2. (2)(2024·重庆三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋Sn＋1＝n2＋1(n∈N*)，则S24＝(　　 ) A．276 B．272 C．268 D．266 解析：选A.∵a1＝S1＝1，又∵Sn＋Sn＋1＝n2＋1，∴S1＋S2＝12＋1＝2，解得S2＝1； 当n≥2时，Sn－1＋Sn＝(n－1)2＋1，作差得Sn＋1－Sn－1＝2n－1， ∴S24＝(S24－S22)＋(S22－S20)＋…＋(S4－S2)＋S2＝2×(23＋21＋…＋3)－11＋1＝276. 题型二　由数列的递推关系求通项公式 角度1　累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an 【例2】　若数列{an}满足an＋1－an＝lg ，且a1＝1，则数列{an}的第100项为(　　 ) A．2 B．3 C．1＋lg 99 D．2＋lg 99 解析：选B.因为an＋1－an＝lg ＝lg ＝lg (n＋1)－lg n， 所以a100－a99＝lg 100－lg 99， … a3－a2＝lg 3－lg 2， a2－a1＝lg 2－lg 1， 以上99个式子累加得a100－a1＝lg 100， 所以a100＝lg 100＋1＝3. 角度2　累乘法——形如 ＝f(n)，求an 【例3】　若{an}满足2＋(n＋2)·an·an＋1－＝0，且an>0，a1＝1，则an＝________． 解析：由2＋(n＋2)·an·an＋1－＝0， 得＋2an(an＋an＋1)＝0， ∴n(an＋an＋1)(2an－an＋1)＋2an(an＋an＋1)＝0， (an＋an＋1)[(2an－an＋1)·n＋2an]＝0， 又an>0，∴2n·an＋2an－n·an＋1＝0， ∴，又a1＝1，∴当n≥2时，an＝……×1＝2n-1·n， 又n＝1时，a1＝1适合上式， ∴an＝n·2n-1. 答案：n·2n-1 【对点练习】　2.(1)(2024·陕西西安检测)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则a10＝(　　 ) A．36 B．15 C．55 D．66 解析：选C.由题意得an＋1－an＝n＋1，则a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋a1＝10＋9＋…＋2＋1＝＝55. (2)已知数列{an}满足a1＝2，(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an，则数列{an}的通项公式为________． 解析：∵(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an， ∴， 则an＝a1·…＝(n＋1)·2n-1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝2满足上式， ∴an＝(n＋1)·2n-1. 答案：an＝(n＋1)·2n-1 题型三　数列的性质 角度1　数列的单调性 【例4】　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－3λn，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.若数列{an}为递增数列， 则an＋1－an＝[(n＋1)2－3λ(n＋1)]－(n2－3λn)＝2n＋1－3λ>0，即3λ<2n＋1， 由于n∈N*，所以3λ<2×1＋1＝3，解得λ<1， 反之，当λ<1时，an＋1－an>0， 则数列{an}为递增数列， 所以“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充要条件． 角度2　数列的周期性 【例5】　(2024·厦门质检)已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝2，n∈N*，若Tn＝a1a2…an，n∈N*，则T10＝________． 解析：因为a1＝2，an＋1＝， 所以a2＝， a4＝＝2＝a1，…， 所以数列{an}的周期为4， 又T4＝a1a2a3a4＝2×(－3)×＝1， 所以T10＝(a1a2a3a4)·(a5a6a7a8)·(a9a10)＝1×1×2×(－3)＝－6. 答案：－6 角度3　数列的最值 【例6】　数列{bn}满足bn＝，则当n＝________时，bn取最大值为________． 解析：方法一　bn－bn－1＝， ∴当n≤4时，bn>bn－1，∴{bn}单调递增， 当n≥5时，bn<bn－1，∴{bn}单调递减， 故(bn)max＝b4＝. 方法二　令即 解得， 又n∈N*，故n＝4，故(bn)max＝b4＝. 答案：4　 教考衔接 斐波那契数列{an}:1，1，2，3，5，8，13，21，34，…又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”. 1.递推公式：. 2.性质：(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 链接高考·【例7】(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且当x<3 时，f(x)=x，则下列结论中一定正确的是( ) 解析:选B.因为当，.，，；，；依次类推，；；；；；；；；；；；….显然. 教材溯源·(人教A版选择性必修第二册P10)见阅读与思考《斐波那契数列》 【对点练习】　3.(1)在数列{an}中，a1＝1，anan＋3＝1，则log5a1＋log5a2＋…＋log5a2 023＝(　　 ) A．－1 B．0 C．log53 D．4 解析：选B.因为anan＋3＝1，所以an＋3an＋6＝1， 所以an＋6＝an，所以{an}是周期为6的周期数列， 所以log5a1＋log5a2＋…＋log5a2 023＝log5(a1a2…a2 023) 又因为a1a4＝a2a5＝a3a6＝1， 所以a1a2…a6＝1， 所以原式＝log5(1337×1)＝log51＝0. (2)(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的为(　　 ) A．a5＝8 B．an＋3＝2an＋1＋an对∀n∈N＋恒成立 C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝a2 024 D．a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a2 025－1 解析：选BCD.“斐波那契数列”为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，所以a5＝5，A选项错误； 依题意an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，所以an＋3＝an＋2＋an＋1，故an＋3＝2an＋1＋an对∀n∈N＋恒成立，B选项正确； a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2 023＝a2 024－a2 022，所以a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝a2 024，C选项正确； 由a4＝a5－a3，a6＝a7－a5，…，a2 024＝a2 025－a2 023，得a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a2＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2 025－a2 023)＝a2－a3＋a2 025＝a2 025－1，D选项正确． (3)已知数列{an}的通项an＝，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项的值分别为________________． 解析：an＝， 当n≥11时，>0，且单调递减； 当1≤n≤10时，<0，且单调递减． 因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项， 则a11＝3，a10＝－1. 答案：3，－1 学科网（北京）股份有限公司 $