4.11 解三角形应用举例（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦解三角形应用高考核心考点，涵盖正弦定理、余弦定理及仰角俯角等测量术语，按必备知识、基点诊断、距离/高度/角度问题题型递进架构。通过考点梳理、方法指导（如思维升华总结）、真题训练（含2024模拟题）环节，系统突破应用难点。 资料以“用数学眼光观察现实世界”为指导，创新采用“实际情境—三角形建模—定理应用”教学流程，如测量高度时引导学生画示意图分析仰角关系，用正弦定理求解。设置分层练习（基础诊断、题型对点），培养数学思维与表达能力，助力教师高效把控复习节奏，提升学生解题速度与准确率。

4．11　解三角形应用举例 [课标要求]　会运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．　 【必备知识】 　测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α (1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)东南方向与南偏东45°方向相同．(　　) (2)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.(　　) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　) (4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为．(　　) (5)在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠ACB＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为(　　) A．20 m B．30 m C．40 m D．50 m 解析：选D.由三角形内角和定理可知， ∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°， 由正弦定理得⇒⇒AB＝50 m. 3．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为______ km. 解析：如图，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km，则由余弦定理知9＝x2＋4－4x·cos 120°，∵x>0，∴x＝－1. 答案： －1 4．如图，某中学举行升旗仪式，在坡角为15°的看台顶端E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高CD是________ m． 解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝， 在△ADE中，由正弦定理得 因此CD＝AD sin 60°＝＝10m. 答案：10 题型一　测量距离问题 【例1】　(1)(2024·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A．10 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里 解析：选A.依题意，如图，在△ABC中， ∠BAC＝50°－20°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，则∠ACB＝45°，AB＝40×＝20(海里)， 由正弦定理得，即， 因此BC＝(海里)， 所以B，C两点间的距离是10 海里． (2)(人教A版必修二P49)如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离． 解：如图所示， 在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得CD＝a，并且在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ. 在△ADC和△BDC中，由正弦定理得 AC＝， BC＝. 于是，在△ABC中，由余弦定理可得A，B两点间的距离 AB＝ ＝． 思维升华　距离问题的解题思路 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解． 注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． 【对点练习】　1.(1)(2024·东北师大附中模拟)为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10 km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则基站A，B的距离为(　　) A．10 km B．30km C．30km D．10 km 解析：选D.因为∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，所以∠BCD＝45°， 在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝30°＝∠ADC，所以AC＝CD＝10， 在△BDC中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°， 由正弦定理得，即BC＝＝5， 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝2＋2－2××cos 75°＝500， 所以AB＝10，即基站A，B之间的距离为 km. (2)如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离为________km(精确到0.1 km，参考数据：sin 40°≈0.643，sin 117°≈0.891)． 解析：在△ABD中，有AB＝5，AD＝7，∠ABD＝60°， 由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos ∠ABD， 即49＝25＋BD2－2×5×BD×， 整理可得BD2－5BD－24＝0， 解得BD＝8或BD＝－3(舍去)． 在△BCD中，有BD＝8，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°， 所以∠BDC＝180°－∠BCD－∠CBD＝40°. 由正弦定理可得， BC＝≈5.8(km)． 答案：5.8 题型二　测量高度问题 【例2】　(1)(人教A版必修二P51)如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为37°，沿坡角为23°的斜坡向上走28 m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为53°，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度约为(参考数据：sin 37°≈0.6)(　　) A．30 m B．32 m C．34 m D．36 m 解析：选A.∠BAQ＝23°，∠BPA＝∠QPA－∠BPC＝53°－37°＝16°，∠PAB＝∠PAQ－∠BAQ＝37°－23°＝14°，∠PBA＝180°－16°－14°＝150°. 由正弦定理得， 即， 可得AP＝ ≈＝50(m)． 所以山的高度约为PQ＝AP·sin 37°≈50×0.6＝30(m)． (2)矗立在上饶市市民公园(如图1)的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．如图2，某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为，且AB＝BC＝20 m，则四门通天的高度为(　　) A．15 m B．10 m C．6 m D．5 m 解析：选B.设OP＝h，则OA＝h， 在△ABO中，由余弦定理得cos ∠ABO＝， 在△BCO中，由余弦定理得cos ∠OBC＝， 因为∠ABO＋∠OBC＝π， 所以＝0， 即800－h2＝0， 解得h＝10， 所以四门通天的高度为10 m. 思维升华　高度问题的易错点 (1)图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错； (2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错． 【对点练习】　2.(1)(2024·青岛模拟)如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物CD，测得CD的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物CD之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°(其中B，E，D三点共线)．该学习小组利用这些数据估算得AB约为60米，则CD的高h约为(　　) (参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45) A．11米 B．20.8米 C．25.4米 D．31.8米 解析：选C.由题意可得∠AEB＝75°，∠CED＝30°， 则∠AEC＝75°，∠ACE＝60°，∠CAE＝45°， 在Rt△ABE中，AE＝， 在△ACE中，由正弦定理得， 所以CE＝， 所以CD＝， 又sin 75°＝sin (45°＋30°)＝， 所以CD＝≈60－20×1.73＝25.4(米)． (2)“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为60 m，游客在乘坐舱P升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC，伦敦眼与建筑之间的距离AB为120 m，游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为θ.当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，视角θ＝30°，则建筑BC的高度为________m． 解析：当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，如图所示， 因为摩天轮的半径为60， 所以AD＝120，又AB＝120， 因此DB＝， 因为∠DBA＝45°，所以∠DBC＝45°， 因为∠CDB＝θ＝30°， 所以∠DCB＝180°－45°－30°＝105°， 由正弦定理可知⇒⇒BC＝， 因为sin 105°＝sin (60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝， 所以BC＝＝120－120. 答案：120－120 题型三　测量角度问题 【例3】　(1)如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos ∠DEF＝__________． 解析：如图，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，则DF＝， DE＝＝100， EF＝＝130， 在△DEF中，由余弦定理得cos ∠DEF＝. 答案：－ (2)已知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘救援艇．岛A处的一艘故障船正以10海里/小时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，问救援艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时追赶上该故障船？(参考数据：sin 38°取，sin 22°取 解：如图，设救援艇在C处追赶上故障船，D为岛A正南方向上一点，救援艇的速度为x海里/小时， 结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°. 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝9＋25－2×3×5×＝49， 所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14. 又由正弦定理得sin ∠ABC＝， 所以∠ABC＝38°， 又∠BAD＝38°，所以BC∥AD， 故救援艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时追赶上该故障船． 思维升华　测量角度问题的基本思路 (1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． (2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角． 【对点练习】　3.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ等于(　　 ) A． B．－2 C．－1 D．－1 解析：选C.由题知，∠CAD＝15°，∠CBD＝45°， 所以∠ACB＝30°，∠ABC＝135°. 在△ABC中，由正弦定理得， 又AB＝100 m，所以AC＝100 m. 在△ADC中，∠ADC＝90°＋θ，CD＝50 m， 由正弦定理得， 所以cos θ＝sin (θ＋90°)＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $