4.10 解三角形中的最值与范围问题（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦解三角形中的最值与范围问题，整合边长、周长、面积及角度相关考点，以正余弦定理、三角函数、基本不等式为工具构建知识网络。通过题型解读梳理命题规律，例题精讲（含2022新课标Ⅰ卷真题）示范解题方法，思维升华总结策略，对点练习分层巩固，形成完整复习闭环。 资料突出高考真题导向与核心素养培养，如例1结合新课标Ⅰ卷真题，引导学生用数学思维分析角边关系，通过正弦定理转化为三角函数求最值，培养推理能力。分层设计皖北协作区联考等对点练习，基础题巩固方法，综合题提升应用，助力教师精准把控节奏，高效提升学生应考能力。

4．10　解三角形中的最值与范围问题 [题型解读]　解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系． 题型一　利用基本不等式求最值(范围) 【例1】　(2022·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． 解：(1)因为， 所以， 所以， 所以cos A cos B＝sin B＋sin A sin B， 所以cos (A＋B)＝sin B， 所以sin B＝－cos C＝－cos . 因为B∈，所以B＝. (2)由(1)得cos (A＋B)＝sin B， 所以sin ＝sin B，且0<A＋B<， 所以0<B<，0<－(A＋B)<， 所以－(A＋B)＝B，解得A＝－2B， 由正弦定理得 ＝ ＝ ＝＝4cos2B＋－5 ≥2－5， 当且仅当cos2B＝时取等号， 所以的最小值为4－5. 思维升华　求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法 在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cosA，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系． (1)求面积最值时，S＝bc sin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值． (2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤，即可求得b＋c的最值． 【对点练习】　1.(2024·皖北协作区联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a－b＝2c cos B. (1)求角C； (2)若c＝，求△ABC周长的取值范围． 解：(1)由正弦定理及2a－b＝2c cos B， 得2sin A－sin B＝2sin C cos B， 又∵sin A＝sin [π－(B＋C)]＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， ∴2sin B cos C＝sin B. ∵sin B≠0，∴cos C＝. 又∵C∈(0，π)，∴C＝. (2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab. ∵，∴ab≤，当且仅当a＝b时等号成立． ∴3ab＝(a＋b)2－3≤(a＋b)2， ∴0＜a＋b≤2，当且仅当a＝b＝时等号成立． ∴a＋b＋c≤2. 又∵a＋b＞c，∴a＋b＋c＞2c＝2. ∴△ABC周长的取值范围为. 题型二　转化为三角函数求最值(范围) 【例2】　已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，. (1)求角B； (2)若△ABC外接圆的面积为12π，且△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围． 解：(1)因为， 所以由正弦定理得， 化简可得a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理得cos B＝， 因为B为三角形内角，B∈(0，π)，所以B＝. (2)因为△ABC的外接圆面积为12π，故其外接圆半径为2， 因为B＝，所以由正弦定理可得， 故a＝4sin A，b＝4sin B＝6，c＝4sin C＝4sin ， 所以a＋b＋c＝6＋4sin A＋＝6＋12cos ， 因为△ABC为锐角三角形，则 ∴A∈⇒A－∈⇒cos ∈⇒6＋12cos ∈， 即△ABC的周长的取值范围为. 思维升华　三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或有其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围． 【对点练习】　2.(2024·山东青岛模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos B＋b cos A＝2c cos C. (1)求C； (2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 解：(1)因为a cos B＋b cos A＝2c cos C， 所以由正弦定理得sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos C， 即sin (A＋B)＝2sin C cos C， 因为A＋B＝π－C， 所以sin (A＋B)＝sin C＝2sin C cos C， 因为0<C<π，故sin C≠0，所以cos C＝， 所以C＝. (2)由(1)知C＝－B， 由正弦定理得， 因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<且0<－B<，所以<B<， 所以tan B>，所以∈. 题型三　转化为其他函数求最值(范围) 【例3】　已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)若A＝，求B； (2)若a sin C＝1，求的最大值． 解：(1)由题意知， 所以sin (A－B)cos C＝sin (A－C)cos B， 所以sin A cos B cos C－cos A sin B cos C＝sin Acos Ccos B－cos A sin C cos B， 所以cos A sin B cos C＝cos A sin C cos B， 因为A＝，所以sin B cos C＝sin C cos B， 所以tan B＝tan C， 因为B，C∈，所以B＝C， 由A＝，所以B＝. (2)由(1)知B＝C，所以sin B＝sin C，b＝c， 因为a sin C＝1，所以＝sin C， 由正弦定理得a sin C＝c sin A＝b sin A＝1， 所以＝sin A， 因为A＝π－B－C＝π－2C， 所以＝sin A＝sin 2C， 所以＝sin2C＋sin22C＝－cos22C)＝－cos22C－cos2C＋， 因为△ABC为锐角三角形，且B＝C， 则有<C<，得<2C<π， 所以－1<cos 2C<0， 由二次函数的性质可得，当cos 2C＝－时，取得最大值，所以的最大值为. 思维升华　解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解． 【对点练习】　3.(2024·浙江联考)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)若C＝，求B； (2)求的取值范围． 解：(1)由及正弦定理可得，即c2＝b2＋ab， ∵C＝，∴c2＝a2＋b2， ∴b2＋ab＝a2＋b2，解得a＝b，即A＝B， 又C＝，∴B＝. (2)由(1)知c2＝b2＋ab， ∴a＝，c>b， 由三角形三边关系可得 代入化简可得b<c<2b， ∴－1， 令x＝，则x∈(1，2)，f(x)＝x2＋x－1，1<x<2， ∴f(x)＝∈(1，5)， ∴－1∈(1，5)， ∴的取值范围是(1，5)． 学科网（北京）股份有限公司 $