4.9 多边形与三角形中的特殊线段问题（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学高考复习资料聚焦三角形高线、中线、角平分线及多边形特殊线段问题，按题型梳理考点，构建“策略总结-真题精讲-对点练习”复习框架，通过考点分析明确考查要求，方法指导（如等面积法、向量法）提炼解题思路，真题训练（含新课标Ⅰ卷原题）强化应用，帮助学生系统突破解三角形综合问题。 资料突出高考实战导向，以数学思维培养为核心，如例1通过三角恒等变换推导角的关系，引导学生逻辑推理；结合分层练习（基础例题与提升练习），规范数学语言表达，确保学生在有限时间内掌握解题通法，既提升学生应考能力，也为教师精准把控复习节奏提供清晰教学路径。

4．9　多边形与三角形中的特殊线段问题 [题型解读]　1.掌握三角形中角平分线、中线、高线等问题．　2.能利用解三角形的方法解决平面几何的有关问题及判断三角形的存在问题． 题型一　高线问题 高线问题的处理策略 如图，在△ABC中，AD⊥BC. (1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC. (2)AD＝AB·sin B＝AC·sin C. (3)a＝c·cos B＋b·cos C. 【例1】　(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解：(1)∵A＋B＝3C，∴π－C＝3C，即C＝， 又2sin (A－C)＝sin B＝sin (A＋C)， ∴2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C， ∴sin A cos C＝3cos A sin C， ∴sin A＝3cos A，即tan A＝3， ∴0<A<，∴sin A＝. (2)由(1)知cos A＝， 则sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝＝， 由正弦定理，可得b＝， 设AB边上的高为h，则AB·AC·sin A， ∴h＝b·sin A＝2＝6. 【对点练习】　1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b sin ＝c sin B. (1)求角C； (2)若AB边上的高线长为2，求△ABC面积的最小值． 解：(1)由已知得A＋B＋C＝π， 所以b sin ＝b sin ＝b cos ， 所以b cos ＝c sin B， 由正弦定理得sin B cos ＝sin C sin B， 因为B，C∈(0，π)， 所以sin B>0，0<<，cos >0， 所以cos ＝sin C，则cos ＝2sin cos ， 所以sin ，所以，则C＝. (2)由S△ABC＝ab sin C，得ab＝4c， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，即c2≥4c， 因为c>0，所以c≥4，当且仅当a＝b＝c＝4时取等号，此时△ABC面积的最小值为4. 题型二　中线问题 中线问题的处理策略 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC及∠BAC，求中线AD长． (1)倍长中线：如图，构造全等三角形，再用余弦定理即可； (2)向量法：，平方即可； (3)余弦定理：邻补角余弦值互为相反数，即cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0. 补充：若将条件“AD为BC的中线”换为“＝λ”，则可以考虑方法②或方法③. 【例2】　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b2(sin2B－3cos2B)＝－a(a＋b)，且sinC＝sin 2B. (1)求角B的大小； (2)若△ABC的面积为2，求AC边上的中线长． 解：(1)∵sin C＝sin 2B，∴sin C＝2sin B cos B，由正弦定理得c＝2b cos B， 由b2(sin2B－3cos2B)＝－a(a＋b)，得b2(1－4cos2B)＝－a2－ab， 又由c＝2b cosB，得c2＝4b2cos2B， 则b2＝－a2－ab， 则a2＋b2－c2＝－ab， ∴由余弦定理得cosC＝， 又∵C∈(0，π)，∴C＝， 由sin C＝sin 2B，得sin ＝sin 2B， 又B∈，∴2B∈，∴2B＝. (2)由(1)得B＝，∴a＝b， 又S△ABC＝ab sin C＝2，即， 故a＝2， ∴c＝ ＝， 设AC的中点为D，则AD＝， 在△ABD中，由余弦定理得BD＝ ＝， ∴AC边上的中线长为. 【对点练习】　2.在△ABC中，b sin B＝a sin A－(b＋c)sin C. (1)求角A的大小； (2)若BC边上的中线AD＝2，且S△ABC＝2，求△ABC的周长． 解：(1)由已知b sin B＝a sin A－(b＋c)sin C及正弦定理得b2＝a2－bc－c2，即b2＋c2－a2＝－bc， 所以由余弦定理得cos A＝， 在△ABC中，因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由S△ABC＝bc sin A＝， 得bc＝8　①， 由(1)知b2＝a2－bc－c2，即b2＋c2＝a2－8　②， 在△ABD中，由余弦定理得c2＝2＋2－·cos ∠ADB， 在△ADC中，由余弦定理得b2＝2＋2－·cos ∠ADC， 因为cos ∠ADB＝－cos ∠ADC， 所以b2＋c2＝＋24　③， 由①②③，得a＝8，b2＋c2＝56，bc＝8， 所以b＋c＝， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋6. 题型三　角平分线问题 角平分线问题的处理策略 △ABC中，AD平分∠BAC. (1)角平分线定理：. (2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理． 【例3】　已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝60°，c＝b＋1，sin B＝. (1)求c的值； (2)设AD是△ABC的角平分线，求AD的长． 解：(1)由A＝60°，可得sin A＝，cos A＝， 由c＝b＋1>b，可得B为锐角， 则cos B＝， 所以sinC＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝， 由可得，解得c＝3. (2)由(1)可得b＝c－1＝2， 因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD＝30°， 设AD＝x，由S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，可得，化简得解得x＝，则AD＝. 【对点练习】　3.(2024·山西晋城质检)已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B＋b cos A＝2c cos B. (1)求角B； (2)若A＝，角B的平分线交AC于点D，BD＝，求CD的长． 解：(1)因为a cos B＋b cos A＝2c cos B， 所以由正弦定理可得sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos B， 所以sin (A＋B)＝2sin C cos B， 即sin C＝2sin C cos B， 因为0<C<π，所以sin C>0，故cos B＝， 因为0<B<π，所以B＝. (2)由(1)及题意可知∠ABD＝∠CBD＝， 又A＝，所以∠ADB＝，∠CDB＝，∠BCD＝， 所以BC＝BD＝， 在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC cos ∠CBD， 即CD2＝2＋2－2×＝2，解得CD＝－1. 题型四　与多边形有关的问题 【例4】　(2024·烟台模拟)在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4. (1)若△ABC的面积为3，求AC； (2)若AD＝3，∠ACB＝∠ACD＋，求tan ∠ACD. 解：(1)在△ABC中，BC＝4，∠ABC＝， ∴S△ABC＝AB·BC·sin ∠ABC＝3， 解得AB＝3， 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝13， ∴AC＝. (2)设∠ACD＝α， 则∠ACB＝∠ACD＋， 在Rt△ACD中，AD＝3， 易知AC＝， 在△ABC中，∠BAC＝π－∠ACB－∠ABC＝－α， 由正弦定理得， 即， ∴2sin α＝3sin cos α－sin α， 可得tan α＝，即tan ∠ACD＝. 【对点练习】　4.(2023·株洲模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝2，AD＝4. (1)求cos ∠DBC的值； (2)求AC的长度． 解：(1)在△ABD中，由勾股定理得BD＝， sin ∠ABD＝， cos ∠ABD＝， cos ∠DBC＝cos (60°－∠ABD)＝cos 60°cos ∠ABD＋sin 60°sin ∠ABD ＝. (2)因为∠DCB＝90°， 所以BC＝BD·cos ∠DBC＝3， 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝12＋27－2×2×3＝21， 所以AC的长度为. 学科网（北京）股份有限公司 $