4.4 简单的三角恒等变换（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦高考三角恒等变换核心考点，系统梳理二倍角、半角、降幂公式及恒等变换应用，构建公式推导、结论拓展、考点诊断的知识网络。通过必备知识梳理、必记结论归纳、基点诊断检测，结合题型分类讲解与对点练习，帮助学生突破化简、求值等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“数学思维”与“数学语言”为导向，创新采用“题型分层突破”策略，如将求值问题细分为给角、给值、给角求值三类，结合新高考真题讲解“三看原则”等解题技巧。设置基础诊断、典例精讲、分层练习环节，确保学生在有限时间内掌握变换规律，提升逻辑推理与运算能力，为教师把控复习节奏提供高效教学方案。

4．4　简单的三角恒等变换 [课标要求]　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆). 【必备知识】 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α． (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． (3)公式T2α：tan2α＝． 2．半角公式 sin＝±；cos ＝±；tan ＝±.符号由所在象限决定． 3．降幂公式 sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝. 【必记结论】 1．二倍角公式的变形公式 (1)1－cos α＝2sin2，1＋cosα＝2cos2. (2)1±sinα＝. 2．半角正切公式的有理化 tan ＝＝. 3．万能公式 (1)sin α＝2sin cos ＝＝； (2)cosα＝cos2－sin2＝＝. 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　) (2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z).(　　) (3)存在角α，使得sin2α＝2sin α成立．(　　) (4)sin2－cos2＝.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．cos15°等于(　　) A． B． C．± D．± 解析：选A.因为15°是第一象限角，所以cos 15°>0，由半角的余弦公式可知cos 15°＝. 3．已知sin α＝，cos α＝，则tan 等于(　　) A．2－ B．2＋ C．－2 D．±(－2) 解析：选C.因为sin α＝，cos α＝，所以tan ＝＝－2. 4．已知sin (α－π)＝，则cos 2α＝________． 解析：sin (α－π)＝－sin α＝，故sin α＝－， 所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×(－)2＝. 答案： 5．已知sin－cos ＝，则sin α的值为________． 解析：由sin －cos ＝，所以(sin －cos )2＝sin2－2sincos ＋cos2＝1－sinα＝，解得sin α＝. 答案： 题型一　三角函数式的化简 【例1】　(1)＋的化简结果为(　　) A．－sin 20° B．－cos 20° C．cos 20° D．sin 20° 解析：选C.原式＝＋＝|sin20°－cos 20°|＋＝cos20°－sin 20°＋sin 20°＝cos 20°. (2)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos 2β＝___________________________. 解析：法一：原式＝·＋·－cos 2αcos 2β ＝＋－cos 2αcos 2β ＝＋cos 2αcos 2β－cos 2αcos 2β＝. 法二：原式＝(1－cos2α)(1－cos2β)＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1) ＝1－cos2β－cos2α＋cos2αcos2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1) ＝1－cos2β－cos2α＋2cos2αcos2β－2cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝. 法三：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(cos2α－sin2α)(cos2β－sin2β) ＝(2sin2αsin2β＋2cos2αcos2β－cos2αcos2β＋cos2αsin2β＋sin2αcos2β－sin2αsin2β) ＝[sin2α(sin2β＋cos2β)＋cos2α(sin2β＋cos2β)],＝(sin2α＋cos2α)＝. 答案： 思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点． 【对点练习】　1.(1)化简：cos20°cos 40°cos 80°＝__________． 解析：cos 20°cos 40°cos 80° ＝ ＝＝ ＝＝. 答案： (2)已知0＜θ＜π，则＝______． 解析：原式＝ ＝ ＝＝－cos θ. 答案：－cos θ 题型二　三角函数式的求值 角度1　给角求值 【例2】　(2024·保定模拟)黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与72°角对应边的比值为≈0.618，这个值被称为黄金比例．若t＝，则等于(　　) A． B． C． D． 解析：选D.依题意，得t＝＝＝2cos 72°， 则＝＝＝＝＝. 角度2　给值求值 【例3】　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选B.因为sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝，则sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， 所以cos (2α＋2β)＝cos ＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×()2＝. (2)(2024·西安铁一中模拟)已知sin(α＋)＝，则sin (2α＋)＝________． 解析：∵cos (2α＋)＝1－2sin2(α＋)＝1－2×()2＝－， cos(2α＋)＝cos [＋(2α＋)]＝－sin (2α＋)＝－. ∴sin (2α＋)＝. 答案： 角度3　给值求角 【例4】　已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝______，2α－β＝________． 解析：因为cos α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝. 又因为α，β均为锐角，sinβ＝， 所以sin α＝，cos β＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝. 因为α为锐角，所以0＜2α＜π. 又cos 2α＞0，所以0＜2α＜， 又β为锐角，所以－＜2α－β＜， 又sin (2α－β)＝，所以2α－β＝. 答案：　 思维升华　已知三角函数值求角的解题步骤 给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 【对点练习】　2.(1)(2024·铁岭质检)已知＋tan θ＝2，则tan 的值为(　　) A．3 B．或－1 C． D． 解析：选D.由＋tan θ＝＋＝＋＝2， 整理得3＋2－1＝0， 解得＝或tan ＝－1. 因为cos θ≠0，所以θ≠＋kπ，k∈Z， 所以≠＋，k∈Z， 所以tan ≠－1，故tan ＝. (2)(人教A版必修一P255)已知sin α－cos α＝，0≤α≤π，sin 的值为____________． 解析：将sin α－cos α＝平方得1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝，所以α∈. 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝，从而sin α＋cos α＝. 联立得 所以sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝－. 故sin＝(sin 2α－cos 2α)＝×＝. 答案： (3)已知α∈，tan ＝，则α＝________． 解析：tan ＝＝，整理得sin ＝cos (sin α－sin )，即sin (α－)＝sin ，因为α∈，所以α－∈，所以α－＝，所以α＝. 答案： 题型三　三角恒等变换的综合应用 [例5] (2024·广州模拟)若α，β∈，且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，则下列结论正确的是(　　) A．2α＋β＝ B．2α－β＝ C．α＋β＝ D．α－β＝ 解析：选A.∵α，β∈，∴sin α≠0， ∵(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β， ∴2sin2α(1＋sinβ)＝2sin αcos αcos β， 即sin α(1＋sin β)＝cos αcos β. ∴sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)， ∴cos (α＋β)＝cos ， ∵α，β∈， ∴π<α＋β<2π，且－<－α<0， ∴α＋β＝－α＋2π，解得2α＋β＝. 【对点练习】　3.(2024·哈尔滨模拟)已知<θ<，若a＝，b＝－cos2θ，c＝－cos θ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c>a>b B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c 解析：选C.a＝＝＝sinθcos θ， b＝(1－cos 2θ)＝sin2θ， c＝－cos θ＝＝sin θtan θ， 又<θ<，则sin θ∈， 且tan θ>1>sin θ>>cos θ>， 所以c＝sin θtan θ>b＝sin2θ>a＝sinθcos θ. 学科网（北京）股份有限公司 $