3.4 函数中的构造问题（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

3.4　函数中的构造问题 [题型解读]　函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 题型一　利用f(x)与x构造函数 【例1】　(2024·长春二模)已知函数f(x)的定义域为(－∞，0)，其导函数f′(x)满足xf′(x)－2f(x)>0，则不等式f(x＋2 024)－(x＋2 024)2f(－1)<0的解集为(　　 ) A．(－2 025，－2 024) B．(－2 024，0) C．(－∞，－2 024) D．(－∞，－2 025) 解析：选A.由题意知，当x∈(－∞，0)时，xf′(x)－2f(x)>0， 令g(x)＝，则g′(x)＝<0， 所以g(x)在(－∞，0)上单调递减， 不等式f(x＋2 024)－(x＋2 024)2f(－1)<0等价于， 即为g(x＋2 024)<g(－1)，所以解得－2 025<x<－2 024. 思维升华　(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x). (2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 【对点练习】　1.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，当x＞0时，xf′(x)－f(x)>0，若a＝f(1)，b＝，c＝2，则a，b，c的大小关系是________． 解析：构造函数g(x)＝(x＞0)，得g′(x)＝， 当x＞0时，g′(x)＞0， 故g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以， 即，即c＜a＜b. 答案：c＜a＜b 题型二　利用f(x)与ex构造函数 【例2】　(2024·吉安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)<f′(x)－2，则(　　 ) A．f(2 025)－ef(2 024)<2(e－1) B．f(2 025)－ef(2 024)>2(e－1) C．f(2 025)－ef(2 024)>2(e＋1) D．f(2 025)－ef(2 024)<2(e＋1) 解析：选B.令g(x)＝， 则g′(x)＝>0， 因此函数g(x)是增函数， 于是得g(2 025)>g(2 024)，即，整理得f(2 025)－ef(2 024)>2(e－1). 思维升华　(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x). (2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 【对点练习】　2.(2024·长沙联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′(x)>0在R上恒成立，则不等式e2x＋1f(2x＋1)>e3－xf(3－x)的解集是________． 解析：令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0， 所以g(x)在R上单调递增， e2x＋1f(2x＋1)>e3－xf(3－x)，即g(2x＋1)>g(3－x)， 所以2x＋1>3－x，得x>. 所以不等式e2x＋1f(2x＋1)>e3－xf(3－x)的解集是. 答案： 题型三　利用f(x)与sin x、cos x构造函数 【例3】　设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，π)时，f′(x)sin x－f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)<2fsin x的解集为____________． 解析：令g(x)＝，x∈(－π，0)∪(0，π)， 则g′(x)＝， ∵当x∈(0，π)时，f′(x)sinx－f(x)cos x<0， ∴在(0，π)上，g′(x)<0， ∴函数g(x)在(0，π)上单调递减． ∵y＝f(x)，y＝sin x是奇函数， ∴函数g(x)是偶函数， ∴函数g(x)在(－π，0)上单调递增． 当x∈(0，π)时，sin x>0，则不等式f(x)<2sin x可化为， 即g(x)<g，∴<x<π； 当x∈(－π，0)时，sin x<0，则不等式f(x)<2fsin x可化为， 即g(x)>g， ∴<x<0. 综上可得，不等式的解集为. 答案： 思维升华　函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 (1)F(x)＝f(x)sin x， F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； (2)F(x)＝， F′(x)＝； (3)F(x)＝f(x)cosx， F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； (4)F(x)＝， F′(x)＝. 【对点练习】　3.已知f′(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f′(x)cosx>f(x)sin x，若a＝f，b＝0，c＝－，则a，b，c的大小关系是(　　 ) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．c<a<b 解析：选A.由于比较a＝f，b＝0，c＝－大小，即比较f，0，大小即可． 设函数g(x)＝f(x)cos x，则g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x， 因为f′(x)cos x－f(x)sin x>0，所以g′(x)>0， 所以g(x)在(0，π)上是增函数，且f＝fcos ＝g，0＝＝g，＝cos ＝g， 则f<0<，所以a<b<c. 学科网（北京）股份有限公司 $