3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

3．1　导数的概念及其意义、导数的运算 [课标要求]　1.了解导数概念的实际背景．　2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．　3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．　4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．　5.了解复合函数的求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数． 【必备知识】 1．导数的概念及其几何意义 定义 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率) 记法 记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝ 几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是过该点切线的斜率k0，即k0＝ 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ax ln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ [提醒]　函数的解析式中含有根式的，在求导时要先将根式化为分数指数幂后求导数． 3．导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)(g(x)≠0). 4．复合函数的导数 (1)定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). (2)求导法则：一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x． 【必记结论】 1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数． 2．在点处的切线与过点的切线的区别 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 3.′＝(f(x)≠0). 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　 ) (2)函数f(x)＝sin (－x)的导数f′(x)＝cos x．(　　 ) (3)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是5.(　　 ) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选)下列导数的运算中正确的是(　　 ) A．(3x)′＝3x ln 3 B．(x3ex)′＝3x2ex＋x3ex C．′＝ D．(sin x cos x)′＝cos 2x 解析：选ABD.因为′＝，所以C项错误，其余都正确． 3．设f(x)＝＋ln 2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为(　　) A．0 B．e C． D． 解析：选D.f′(x)＝′＝，所以f′(1)＝. 4．曲线y＝x2－2在点处的切线的倾斜角是________． 解析：点在曲线上，且y′＝x，所以切线的斜率k＝1，所以倾斜角为. 答案： 5．曲线y＝－3ln x的斜率为－2的切线方程为____________________________． 解析：∵y＝－3ln x，x>0，∴y′＝x－，由y′＝x－＝－2，可得x＝1，x＝－3(舍去)，当x＝1时，y＝，∴曲线y＝－3ln x的斜率为－2的切线方程为y－＝－2(x－1)，即4x＋2y－5＝0. 答案：4x＋2y－5＝0 题型一　导数的运算 【例1】　(1)(多选)下列求导正确的是(　　 ) A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2 C．′＝－ D．(ln 2x)′＝ 解析：选ABC.对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确； 对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确； 对于C，′＝－·(ln x)′＝－，故C正确； 对于D，(ln 2x)′＝2·，故D错误． (2)已知f(x)＝2x ln x－f′(1)x，则f(e)＝(　　 ) A．e B．0 C．－e D．－1 解析：选A.f′(x)＝2ln x＋2－f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2ln 1＋2－f′(1)，解得f′(1)＝1，所以f(x)＝2x ln x－x，f(e)＝2eln e－e＝e. 方法指导　导数计算的方法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；求每一层基本初等函数的导数；每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数． 【对点练习】　1.(人教A版选择性必修二P78P81)求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋2x)；(2)y＝；(3)y＝tan x； (4)y＝；(5)y＝log2(2x＋1)；(6)y＝sin . 解：(1)y′＝； (2)y′＝； (3)y′＝(tan x)′＝′＝； (4)因为y＝， 所以y′＝′＝； (5)y′＝[log2(2x＋1)]′＝； (6)因为y＝sin ＝－cos 3x， 所以y′＝(－cos 3x)′＝3sin 3x. 题型二　导数的几何意义及其应用 角度1　求切线方程 【例2】　(1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.f′＝， 所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. (2)(2024·莆田质检)若直线l经过点，且与曲线y＝x2(x＋1)相切，写出l的一个方程________． 解析：由y＝x2(x＋1)＝x3＋x2，得y′＝3x2＋2x， 设切点坐标为(t，t2(t＋1))， 则过切点的切线方程为y－t2(t＋1)＝(3t2＋2t)(x－t)， 把点代入，可得－t2(t＋1)＝(3t2＋2t)， 整理得t(t－1)(5t＋3)＝0， 即t＝0或t＝－或t＝1， 当t＝0时，切线方程为y＝0， 当t＝1时，切线方程为y＝5x－3， 当t＝－时，切线方程为y＝－， 综上，直线l的方程为y＝0或5x－y－3＝0或15x＋125y－9＝0. 答案：y＝0(答案不唯一) 方法指导　求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． (2)当点 P(x0，y0)不是切点时，可分以下四步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程． 角度2　求切点坐标或参数的值 (1)求切点坐标的思路 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标． (2)利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 教考衔接 链接高考·【例3】(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=_____. 解析: 令f(x)=ex+x，则f′(x)=ex+1，所以f′(0)=2,所以曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线方程为y=2x+1.令g(x)=ln(x+1)+a，则g′(x)=,设直线y=2x+1与曲线y=g(x)相切于点(x0，y0)，则2得x0=，则y0=2x0+1=0，所以0=ln+a, 所以a=ln 2. 答案: ln 2. 教材溯源·(人教A版选择性必修二P104T13) 已知曲线y=x+ln x在点(1，1)处的切线与曲线y=ax2+(2a+3)x+1只有一个公共点，求a的值. 解:由y=x+ln x得y′=1+(x>0), 所以曲线y=x+ln x在点(1，1)处的切线的斜率k==1+ =2. 所以切线方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1(x∈R), 因为切线y=2x-1与曲线y=ax2+(2a+3)x+1只有一个公共点， 所以方程 2x-1=ax2+(2a+3)x+1 有且只有一解, 即ax2+(2a+1)x+2=0 ①有且只有一解， 当a=0 时，①式变为x+2=0，则x=2，方程有且只有一解，符合题意， 当a≠0时，则，解得a=, 综上，a=0或a=. 【对点练习】　2.(1)(2024·湖北武汉开学考试)若曲线y＝ln (x＋2a)的一条切线为y＝ex－2b(e为自然对数的底数)，其中a，b为正实数，则的取值范围是(　　 ) A．[2，e) B．(e，4] C．[4，＋∞) D．[e，＋∞) 解析：选C.y′＝，令＝e，则x＝－2a，有y＝ln ＝－1， 即e－2b＝－1，即ae＋b＝1， 又a，b为正实数，则＝(ae＋b)＝1＋1＋＝4， 当且仅当，即b＝ea＝时，等号成立， 故的取值范围是[4，＋∞)． (2)(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是___________________． 解析：∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex，设切点为，则y0＝，切线斜率k＝，切线方程为：， ∵切线过原点，∴，整理得＋ax0－a＝0， ∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0， ∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) 题型三　两曲线的公切线问题 【例4】　(1)(2024·四川宜宾模拟)若曲线y＝ex＋a在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x的切线，则a＝(　　 ) A．－2 B．1 C．－1 D．e 解析：选A.由曲线y＝ex＋a得y′＝ex， 则其在x＝0处的切线斜率为1，且当x＝0时，y＝1＋a， 所以曲线y＝ex＋a在x＝0处的切线为y－(1＋a)＝1×(x－0)，即y＝x＋1＋a， 由曲线y＝ln x得y′＝， 设切点为(x0，y0)，则＝1，解得x0＝1，y0＝0，又切点在切线y＝x＋1＋a上， 即有0＝1＋1＋a，得a＝－2. (2)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是(　　 ) A．(0，2e] B． C． D．[2e，＋∞) 解析：选B.设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，)，其中x1>0，对于y＝ln x－1，有y′＝， 则切线方程为y－(ln x1－1)＝(x－x1)， 即y＝＋ln x1－2， 对于y＝ax2，有y′＝2ax， 则切线方程为y－＝2ax2(x－x2)， 即y＝2ax2x－， 所以则－＝ln x1－2， 即ln x1(x1>0)， 令g(x)＝2x2－x2ln x，x>0， 则g′(x)＝3x－2x ln x＝x(3－2ln x)， 令g′(x)＝0，得x＝， 当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 所以g(x)max=， 故0<≤e3，即a≥e－3. 思维升华　解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2 (x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝. 【对点练习】　3.(1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m等于(　　 ) A．－3 B．1 C．3 D．5 解析：选D.依题意，设曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同． ∵f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x， ∴f′(x)＝2x，g′(x)＝－4， ∴即 ∵x0>0，∴x0＝1，m＝5. (2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有(　　 ) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 解析：选C.根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)， 对于f(x)＝ex－1，有f′(x)＝ex， 则直线l的斜率k＝em， 则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)， 即y＝emx＋(1－m)em－1， 对于g(x)＝ln x＋1，有g′(x)＝， 则直线l的斜率k＝， 则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)， 即y＝x＋ln n，则 可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1， 则切线方程为y＝ex－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有2条． 学科网（北京）股份有限公司 $