专题14一次函数的应用九类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题14 一次函数的应用九类综合题型 典例详解 类型一、一次函数与一次方程综合 类型二、一次函数与不等式综合 类型三、路程与时间的函数图像问题 类型四、距离与时间的函数图像问题 类型五、销售最值问题 类型六、方案选择问题 类型七、分段计费问题 类型八、含参数的一次函数问题 类型九、一次函数的其他应用问题 压轴专练 类型一、一次函数与一次方程综合 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 例1．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）两条直线和的位置关系为 ．由此可知，方程组的解的情况为 ． 变式1-2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点． (1)求直线，的函数表达式． (2)若点在直线上，且的面积为10，求点的坐标． 变式1-3．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一个直角坐标系中，画出一次函数和的图象，并在图象中标出交点坐标． （2）求二元一次方程组的解． （3）交点坐标与方程组的解有关系吗？什么关系？请说明理由． 类型二、一次函数与不等式综合 一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 例2．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）直线和直线的图像如图，则当（    ）时，． A． B． C． D． 变式2-2．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点． （1）不等式的解集为 ． （2）不等式的解集为 ． 变式2-3．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，直线与轴交于点，直线经过点，，且与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)直线上有一点，使得的面积是面积的倍，请求出点的坐标； (3)根据图象，直接写出的解集为________． 类型三、路程与时间的函数图像问题 例3．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 变式3-1．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲． 变式3-2．（25-26八年级上·四川成都·期中）成都2025年世界运动会期间，为展现智能科技与体育赛事的融合，组委会开展人形机器人模拟赛事项目竞速测试．两款人形机器人“蜀韵”和“锦风”参与测试，已知“蜀韵”和“锦风”同时从起点出发前往模拟赛事终点，与分别表示“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)分别求出“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)当时，求“蜀韵”和“锦风”相距时的时间． 变式3-3．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）在一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地，两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)甲车的行驶速度是 千米/时，B、C两地之间的距离为 千米； (2)求点M、N的坐标； (3)求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）． 变式3-4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知，两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从，两地相向而行．如图，直线，分别表示甲、乙两人离地的距离与时间之间的函数关系图象，根据图象提供的信息，解答下列问题． (1)分别求出甲、乙两人离地的距离（千米）与（时）之间的函数关系式； (2)经过多长时间，两人相距40千米？ 变式3-5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两辆汽车同时从相距360千米的，两地沿同一条公路相向而行（甲由到，乙由到），（千米）表示汽车与地的距离，（分）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车的与的关系． (1)求，分别表示的两辆汽车的与的关系式； (2)2小时后，两车相距多少千米？ (3)行驶多长时间的，甲、乙两车相遇？ 类型四、距离与时间的函数图像问题 例4．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中折线表示甲、乙两车的距离（单位：）与行驶时间x（单位：h）的函数关系图象，下列说法：①乙先出发的时间为；②甲的速度是；③甲出发后两车相遇；④乙到A地比甲到B地早．其中正确的说法是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 变式4-1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）甲车从A地匀速驶往相距的B地，当甲车行驶小时经过途中的C地时，乙车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当乙车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地（甲车到达B地，乙车到达A地后分别停止运动）．行驶过程中两车的距离y（）与甲车从出发所用的时间x（）之间的函数关系如图所示，则甲车到达B地时，乙车距A地 ． 变式4-2．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示． (1)两地相距______，快车返回时速度为______； (2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地； (3)慢车出发多长时间后，两车相距． 变式4-3．（2022·河南洛阳·一模）已知一列慢车与一列快车相继从泰州开往上海，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系． (1)请解释图中点的实际意义； (2)分别求慢车和快车的速度、泰州与上海的距离； (3)如果两车都配有对讲机，并且二车相距不超过时，能相互通话，求两车均在行驶过程中能通话的时间． 类型五、销售最值问题 例5．（25-26八年级上·安徽六安·期中）综合与实践：设计最大利润的采购方案． 某超市欲购进一批饮料，已知购进2箱可乐和3箱雪碧需要270元，购进3箱可乐和1箱雪碧需要195元．现要求： ①购进可乐和雪碧共300箱； ②可乐的购进数量最少为150箱； ③可乐的购进数量不超过雪碧的2倍． 已知可乐售价为65元/箱，雪碧售价为70元/箱．设可乐购进了箱，全部售出后的利润为元． (1)求每箱可乐和雪碧的进价各是多少元； (2)求和之间的函数关系式；（写出自变量的取值范围） (3)受市场影响，超市实际采购时，每箱可乐进货单价上调了元，每箱雪碧进货单价下调了元，其他条件不变．如何分配可乐和雪碧的购进数量，能使利润最大？并求出最大利润． 变式5-1．（25-26八年级上·重庆·期中）随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人，已知2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米． (1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题） (2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示． (3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为万元一台，型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少；请说明理由． 变式5-2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）班主任老师为了奖励期中考试成绩优异的同学，计划购买笔记本和钢笔作为奖品．已知买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔各多少元？ (2)若班主任老师需购买笔记本和钢笔共30件，其中笔记本数量不超过16个，求总费用（元）与笔记本的数量（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？ 变式5-3．（25-26八年级上·四川·期中）中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台成本（万元） 型号 4 12 型号 5 16 (1)若公司有技术人员60人全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，问和服务器的安装数量各是多少台？ (2)由于公司规模扩大，技术人员增至65人，全部参与维护且每人负责一种服务器，要求型号超过4台．问和服务器的安装数量各是多少台时，安装总成本最少？ 类型六、方案选择问题 例6．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某体育用品店准备购进篮球和足球进行销售，这两种球的进价和售价如下表： 种类 进价（元/个） 售价（元/个） 篮球 80 110 足球 60 100 (1)现计划购进篮球和足球共100个，且篮球的数量不少于足球数量的一半．该体育用品店怎样进货才能使两种球全部售出后获利最大？最大利润是多少？ (2)某学校需要购买一批该体育用品店的篮球和足球作为体育器材，其中篮球m个，足球24个．体育用品店给出以下两种优惠方案： 方案一：所有球均按售价的八折出售； 方案二：篮球按售价的七折出售，足球按售价的九折出售． 学校采购员应选择哪种方案花费最少？请说明理由． 变式6-1．（25-26八年级上·重庆·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 变式6-2．（25-26七年级上·重庆·期中）某游乐园票价为每人120元，为了吸引客源，该游乐园在“双11”期间推出了针对团体的优惠活动，具体内容如下： ①若团体人数不足10人，则不享受优惠； ②若团体人数在10人及以上，则有两种优惠方案可供选择； 方案一：每人都享受七五折优惠； 方案二：其中10人享受八五折优惠，其余人享受六折优惠． 期中练习后，为了让孩子们放松一下，三个家庭准备到该游乐园游玩，已知A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人． (1)若这三个家庭直接去游乐园，则购买门票共需花费多少元？ (2)为了享受优惠，他们准备再邀请一些人组成团体一起去该游乐园，假设他们共邀请了x个人，请解决下列问题： ①若他们选择方案一，设购买门票共需花费y元．试用含x的代数式表示y； 若他们选择方案二，设购买门票共需花费w元，试用含x的代数式表示w． ②当时，选择哪种方案更合算？请通过计算说明． 变式6-3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式； (2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 变式6-4．（20-21八年级下·广西南宁·期末）拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，某中学组织八年级全体学生前往某研学基地开展研学活动，在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 (1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ (2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为______． (3)最省钱的租车方式的费用是多少？ 类型七、分段计费问题 例7．（25-26八年级上·山西运城·期中）某市为了鼓励市民节约用电，采用分档计费的方式计算电费．下表是家庭人口不超过4人时户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 收费/[元/（）] 第一档      第二档      第三档      (1)当时，写出每月应交电费（单位：元）与户月用电量（单位：）之间的关系式． (2)若某户一个月的用电量为，则该户这个月应交电费多少元？ (3)若某户上个月交电费180元，求该户上个月的用电量． 变式7-1．（25-26八年级上·辽宁·期中）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格/（元/千瓦时） 不超过200千瓦时的部分 0.55 超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分 0.6 超过400千瓦时的部分 0.8 (1)设我市一户居民某月用电量x千瓦时，当月的电费y元，直接写出y与x的关系式； (2)某户居民七月份用电量为260千瓦时，求该户这个月的电费； (3)某户居民八月份交电费170元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时? 变式7-2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）为鼓励居民合理用电，广东某市电力公司对居民用户采取分月用电量分档收费办法（按夏季和非夏季区分），下表1是某户居民某月电费发票的部分信息： 表1                                                      表2 ××居民电费专用发票 （非夏季标准：1~4月、11~12月） x 0 y 0 m 计费期限：一个月    用电量x（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实付金额：（元） （大写）壹佰叁拾叁元零角 根据以上提供的信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x（度）来表示，实付金额用y（元）来表示，则当时，y与x之间的函数关系式为 ． (2)根据（1）中函数关系式，列出y与x的几组对应值（如表2），其中 ，并在平面直角坐标系中，根据表2中的数值描点，在图3中画出该函数的图象． (3)当时，y与x之间的函数关系式为 ；根据表中该用户的本月实付金额，计算该用户本月的实际用电量为 度． 变式7-3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量； (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ 类型八、含参数的一次函数问题 例8．（2025·浙江湖州·二模）某景区的同一线路上依次有，，三个景点（如图）．小兴从景点出发，步行米去景点，共用时分钟；同时，桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点，休息分钟后，桐桐改成骑电动车去景点，结果桐桐比小兴早分钟到达景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图所示． (1)求的值，并说出的实际意义； (2)求桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数解析式（不必写出的取值范围）； (3)请求出两人在途中相遇时的时间（分）的值． 变式8-1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）为进一步推动绿色生态文明建设，走可持续发展之路，某工厂在生产过程中同步进行污水处理，有两种处理方案： 方案1：污水纳入污水处理厂统一处理，每生产1件产品需付7元的排污费； 方案2：积极响应“无废城市”号召，使用专业设备，通过有效方法，对污水进行循环利用．每生产1件产品需付1元的设备原料费，并且设备损耗费为每月b元． 若工厂每月生产x件产品，产品的成本价为25元/件，出厂价为50元/件，方案1、方案2的月利润y（元）与x（件）之间的函数关系如图所示．结合图象回答问题： (1)填空：a＝ ，b＝ ； (2)当工厂每月生产300件产品时，两种方案的月利润相差多少元？ (3)当两种方案的月利润相差1500元时，求x的值． 变式8-2．（24-25七年级下·四川成都·期末）在学校开展的综合与实践活动中，小红发现绿道旁的护栏长度问题可以与学习内容《变量之间的关系》产生联系．该护栏平面示意图如图所示，已知每根立柱宽为米，立柱间距为米． 小红通过测量，将测量结果制成如下表格： 立柱根数 护栏总长度（米） (1)表中的值为_______，的值为_______； (2)设有根立柱，护栏总长度为米，请写出与之间的关系式； (3)若护栏总长度为米，请求出立柱共有多少根？ 类型九、一次函数的其他应用问题 例9．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）现有甲、乙两种恒温电热水壶在同时加热相同质量水的时候，壶中水的温度与时间（秒）之间的函数关系图象如图所示． (1)分别求出甲、乙两种电热水壶在水温达到恒定温度（）之前，关于的函数表达式； (2)当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为多少？ 变式9-1．（2025八年级上·全国·专题练习）项目式学习 项目主题：深圳地铁票价探究 素材 深圳地铁实行里程分段计价票制．普通车厢起步价：首公里人民币元；公里至公里部分，每人民币元可乘坐公里；公里至公里部分，每人民币元可乘坐公里；超过公里，每人民币元可乘坐公里． 备注：两个地铁站之间里程为两站之间沿地铁的最短线路长度．例如，若某两站之间有两种乘坐线路，长度分别为公里和公里，则此两站之间的里程为公里，票价为元． 素材 深圳地铁的部分线路图如下（经过变形处理，并省略部分站点），标注了部分站点之间的地铁线路及里程．    素材 深圳市深圳通有限公司与手机公司合作推出深圳通互联互通卡业务，该卡是通过芯片绑定在手机上的一张虚拟公交卡．手机用户支付元不可退服务费用后办理此卡，可在乘坐地铁普通车厢使用此卡刷卡出闸时享受票价折优惠． 问题解决 任务 小达乘坐地铁从站到站，票价为元，则两站之间的最长里程为______． 任务 小达从布心站出发，乘坐号线前往临海站并出站游玩，游玩后再从临海站出发，依次乘坐号线、号线、号线、号线和号线回到布心站，求全程的地铁票价． 任务 小达以任务的方式在布心站和临海站之间往返，设其往返的来回数为，办理深圳通互联互通卡出行相比不办理节省的费用为，请求出与的关系式，并计算至少往返几个来回时，办理深圳通互联互通卡出行比不办理更划算？ 变式9-2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）科学证明，健康饮水的适宜温度是，这个温度区间与人体体温相近，对胃肠道的刺激较小．小明买了一个保温壶，并对这个保温壶进行了保温测试，他向保温壶中倒入热水，经过一段时间的测试发现：保温壶内的水温与测试时间之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． (1)热水刚倒入保温壶时的温度是___________； (2)求y与x之间的关系式； (3)小明在9小时后饮用该保温壶里的水，此时保温壶中的水温是否在健康饮水的适宜温度范围内？ 变式9-2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）综合与实践： 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2拟订设计方案 如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用6分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米 2．（24-25七年级下·陕西铜川·月考）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，在y轴上有一点，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，t的值为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 3．（25-26八年级上·山西运城·期中）某市为鼓励居民节约用电，计划采用分段计费的方法收取电费．月用电量不超过时，按元计费；月用电量超过时，其中的仍按元计费，超过的部分按元计费．若某户家庭月用电量为，则应交电费（单位：元）与月用电量之间的函数关系式为 ． 4．（2020·陕西·一模）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．该公司准备投入资金y万元，购买A，B两种机器人共8台，其中购进A型机器人x台．下表是某科技公司提供给快递公司有关两种型号的机器人分拣速度和单价的信息． 型号 分拣速度 单价 A 1200件/小时 6万元/台 B 1000件/小时 4万元/台 (1)求y关于x的函数关系式； (2)若要使这8台机器人每小时分拣快递的总件数不少于8300件，该公司至少需要投入资金多少万元？ 5．（2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元． (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ (2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？ 6．（2025·山东烟台·一模）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 36600 第二周 12 15 45000 (1)求a，b的值； (2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 7．（25-26八年级上·广西梧州·期中）如图，已知直线和分别记为，它们相交于点． (1)根据图上所给条件，求出的解析式； (2)求出交点的坐标． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 9．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）为了表彰在学年智慧阅读活动表现优异的同学，学校决定购买A，B两种奖品共42件，已知A，B两种奖品的单价分别是50元/件和40元/件，且购买的A种奖品的数量少于B种奖品数量的，但又不少于10件．设购买A种奖品x件，购买这两种奖品共花费y元． (1)求计划购买这两种奖品所需的费用y（元）关于x（件）的函数解析式． (2)共有多少种不同的购买方案？购买这些奖品最少需要多少元？ (3)采购人员在采购奖品时，恰逢商场正在促销：A种奖品每件降价a元，B种奖品每件降价b元．采购人员通过计算发现，购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关，请求出的值． 10．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图：直线：和直线与轴分别相交于、两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)求的面积． 11．（25-26七年级上·山东济南·期中）甲、乙两人开车同时分别从相距30km的、两地出发，相向而行．图中分别表示甲、乙两人距地的距离、与行驶时间之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1)分别求出、与之间的函数关系式； (2)求出乙行驶多长时间与甲相遇； (3)当为何值时，甲、乙相距8km？ 12．（25-26九年级上·浙江台州·期中）在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感． 【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线经过点和，右侧边界线的函数表达式为，和相交于点，即点为灭点． （1）求左侧边界线的函数表达式； （2）求灭点的坐标； 【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持的位置不变，将向上平移个单位长度，使得灭点的纵坐标不小于6，求的取值范围． 13．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）为增强学生环保意识，争做绿色文明的推动者和传播者，某校发起了以“种下一棵者，为未来留下一份幸福”为主题的植树活动．现需要采购一批树苗，有两家苗圃基地，具体收费标准如下： 甲苗圃基地：树苗单价为元/株，免费配送； 乙苗圃基地：树苗单价为元/株，另加元配送费． (1)设采购株树苗，去甲苗圃基地采购树苗的费用为元，去乙苗圃基地采购树苗的费用为元，请分别写出，与之间的关系式； (2)购买多少株树苗时两家苗圃基地的收费是一样的？ (3)若学校用于采购树苗的费用为元，选择哪个苗圃基地能多买一些？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 一次函数的应用九类综合题型 典例详解 类型一、一次函数与一次方程综合 类型二、一次函数与不等式综合 类型三、路程与时间的函数图像问题 类型四、距离与时间的函数图像问题 类型五、销售最值问题 类型六、方案选择问题 类型七、分段计费问题 类型八、含参数的一次函数问题 类型九、一次函数的其他应用问题 压轴专练 类型一、一次函数与一次方程综合 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 例1．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于， ∴一次函数与的图象向下平移1个单位长度得到函数的解析式为，， 则一次函数与的图象的交点也相应的向下平移一个单位长度为， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：C． 变式1-1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）两条直线和的位置关系为 ．由此可知，方程组的解的情况为 ． 【答案】 平行 无解 【分析】本题考查一次函数的位置关系，直线交点与二元一次方程组的解之间的关系；通过比较两条直线的相等判断位置关系；方程组对应两条直线，根据位置关系判断解的情况． 【详解】解：∵对于两条直线和，， ∴两条直线平行； 方程组可化为， ∵两条直线平行，没有交点， ∴方程组无解， 故答案为：平行，无解． 变式1-2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点． (1)求直线，的函数表达式． (2)若点在直线上，且的面积为10，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，几何图形面积的计算是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，设，由三角形面积的计算得到，解绝对值方程即可求解． 【详解】（1）解：直线：与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴直线的函数表达式为， 直线：与轴交于点， ∴， 解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：直线：与轴交于点， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴设， ∴， ∴， 当时，，则； 当时，，则； ∴点的坐标为或． 变式1-3．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一个直角坐标系中，画出一次函数和的图象，并在图象中标出交点坐标． （2）求二元一次方程组的解． （3）交点坐标与方程组的解有关系吗？什么关系？请说明理由． 【答案】（1）图象见解析；（2）；（3）有关系，关系为交点的横坐标与纵坐标即为方程组的解，理由见解析 【分析】本题考查画一次函数图象，解二元一次方程组，一次函数与二元一次方程组； （1）用描点法画出两一次函数的图象； （2）用加减消元法解二元一次方程组； （3）两一次函数图象的交点的横坐标与纵坐标即为方程组的解. 【详解】解：（1）图象及交点坐标，如图所示， （2） 将得： 解得 将代入①得： 解得 ∴方程组的解为. （3）交点坐标与方程组的解有关系，关系为交点的横坐标与纵坐标即为方程组的解，理由如下： ∵方程组中可变形为，可变形为， ∴方程组中的两个方程为两一次函数的解析式， ∵交点坐标是同时满足两个解析式的， ∴交点的横坐标与纵坐标满足两个方程， ∴交点的横坐标与纵坐标即为方程组的解. 类型二、一次函数与不等式综合 一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 例2．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了利用图象法解不等式，数形结合是解题的关键． 根据过点，即可求出，根据图象进而即可求解． 【详解】解：∵过点， ∴， 解得， ∴， 由图可得，当时，， 故选A． 变式2-1．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）直线和直线的图像如图，则当（    ）时，． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． 根据函数图像，得到当时，直线的图像位于直线图像的上方，即可解答． 【详解】解：由图像可知，当时，直线的图像位于直线图像的上方， ∴当时，． 故选：A． 变式2-2．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点． （1）不等式的解集为 ． （2）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与不等式的关系，正确确定与的交点是关键． （1）观察图象可得结论； （2）首先确定和的交点作出的大体图象，然后根据图象判断即可． 【详解】解：（1）当时，， 由题图可知，当时，； （2）的图象经过点， ∴， 当时，， 即在函数的图象上 又∵在的图象上 ∴与相交于点 则函数图象如图， 则不等式的解集为． 故答案为：；． 变式2-3．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，直线与轴交于点，直线经过点，，且与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)直线上有一点，使得的面积是面积的倍，请求出点的坐标； (3)根据图象，直接写出的解集为________． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)或； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，求出函数解析式． （）利用待定系数法求出直线的解析式即可； （）先求出，，设，然后求出，再通过的面积是面积的倍，得出，然后求出的值即可； （）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，，， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线得，当时，， ∴， ∴， 联立，解得， ∴， ∴， 设， ∵的面积是面积的倍， ∴， 解得：或， ∴或； （3）解：由上可得，， ∴的解集为， 故答案为：． 类型三、路程与时间的函数图像问题 例3．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 【答案】C 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息和一次函数的应用，由图象得乙车比甲车晚出发，故可判断A；由图象得全程，乙车行完全程用3小时，得速度为，可判断B；分别求出甲乙两车行驶路程函数解析式，求其交点坐标即可判断C；求出甲车行驶速度，根据图象得乙车比甲车早到1小时，求出甲、乙两车相距可判断D． 【详解】解：由图象知，乙车比甲车晚出发2小时，故选项A错误； 由图象得全程，乙车行完全程用，平均速度为，故选项B错误； 设甲车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 设乙车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 联立， 解得， ∴乙车出发时，追上了甲车，故选项C正确； 由图象得A，B两地的距离为 甲车速度为， 所以，当乙车到达B城时，甲、乙两车相距，故选项D错误； 故选：C． 变式3-1．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂函数图象，熟练掌握待定系数法是解题关键．先分别求出线段所在直线的函数解析式、线段所在直线的函数解析式，再联立，求出它们的交点，则可得乙追上甲的时间点，然后减去乙出发的时间即可得． 【详解】解：设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 联立，解得， 即乙在2点半的时候追上甲， 由函数图象可知，乙是在2点出发， 则乙从出发到追上甲所用时间为， 故答案为：． 变式3-2．（25-26八年级上·四川成都·期中）成都2025年世界运动会期间，为展现智能科技与体育赛事的融合，组委会开展人形机器人模拟赛事项目竞速测试．两款人形机器人“蜀韵”和“锦风”参与测试，已知“蜀韵”和“锦风”同时从起点出发前往模拟赛事终点，与分别表示“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)分别求出“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)当时，求“蜀韵”和“锦风”相距时的时间． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式以及根据函数关系式列方程求解是解题的关键． （1）对于“蜀韵”，其函数图象是过原点的直线，故设为正比例函数，代入已知点坐标求解；对于“锦风”，其函数图象是一次函数，设为，代入已知点坐标求解． （2）根据（1）中求出的两个函数关系式，分“锦风”在“蜀韵”前面和后面两种情况，列绝对值方程求解． 【详解】（1）解：设， ∵ 过点， ∴ ， 解得 ， ∴， 设， ∵ 过点， ∴ 解得，， ∴； （2）解：当时，分两种情况： 情况一： 即， 解得， 情况二：即， 解得， 答：“蜀韵”和“锦风”相距时的时间为或． 变式3-3．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）在一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地，两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)甲车的行驶速度是 千米/时，B、C两地之间的距离为 千米； (2)求点M、N的坐标； (3)求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）． 【答案】(1)60；360 (2) (3) 【分析】（1）由图象知，根据点F的坐标可求出甲车速度，根据点M的纵坐标可得B、C两地之间距离； （2）根据甲车比乙车晚1.5小时到达C地可得点E的坐标，因为乙车匀速行驶且按照原路原速返回，所以乙车从C地到B地和从B地到C地的时间相同，可求出乙车从C地到B地的时间，从而可求出点N坐标； （3）利用待定系数法求解即可． 本题考查了一次函数的实际应用行程问题，结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义是解题关键． 【详解】（1）解：由图象得，甲车的行驶速度是（千米/时），B、C两地之间的距离为360千米； 故答案为：60；360； （2）∵甲车比乙车晚1.5小时到达C地， ∴点， 乙车从C地到B地的时间为（小时）， ∴； （3）设直线NE的解析式为y=kx+b， 将和分别代入得， 解得， ∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为． 变式3-4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知，两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从，两地相向而行．如图，直线，分别表示甲、乙两人离地的距离与时间之间的函数关系图象，根据图象提供的信息，解答下列问题． (1)分别求出甲、乙两人离地的距离（千米）与（时）之间的函数关系式； (2)经过多长时间，两人相距40千米？ 【答案】(1)：，： (2)4小时或小时 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式以及根据实际情况分情况讨论列方程是解题的关键． （1）根据一次函数的表达式形式，结合图象上的点坐标，利用待定系数法分别求出甲、乙对应的函数关系式． （2）分相遇前和相遇后两种情况，根据两人离A地的距离关系列出方程求解． 【详解】（1）解：设的函数关系式为：， 因为过点，即， 解得， 故， 设的函数关系式为：， 因为过点，即， 所以， 又因为过点，即， 解得， 所以的函数关系式为：； （2）解：两人相距40千米分两种情况： ①当相遇后相距40千米时，即， 解得， ②当相遇前相距40千米时，即， 解得， 所以经过4小时或小时时，两人相距40千米． 变式3-5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两辆汽车同时从相距360千米的，两地沿同一条公路相向而行（甲由到，乙由到），（千米）表示汽车与地的距离，（分）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车的与的关系． (1)求，分别表示的两辆汽车的与的关系式； (2)2小时后，两车相距多少千米？ (3)行驶多长时间的，甲、乙两车相遇？ 【答案】(1)的解析式为，的解析式为 (2)千米 (3)分钟 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求代入分别求出直线，的函数值即可得到答案； （3）两者相遇时，距离A地距离相同，即两直线函数值相同，则联立两直线解析式求出交点坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：设的解析式为， 把点，代入得， 解得， ∴的解析式为； 设的解析式为， 把点代入得 解得， ∴的解析式为； （2）当时， 乙车：， 甲车：， （千米）， ∴2小时后，两车相距千米； （3）联立， 解得， ∴行驶分钟后，甲、乙两车相遇． 类型四、距离与时间的函数图像问题 例4．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中折线表示甲、乙两车的距离（单位：）与行驶时间x（单位：h）的函数关系图象，下列说法：①乙先出发的时间为；②甲的速度是；③甲出发后两车相遇；④乙到A地比甲到B地早．其中正确的说法是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 观察图象即可判断①；②根据速度路程时间求出乙的速度，根据时间路程速度求出乙到达地所用时间从而判断甲到达地的时间，从而根据速度路程时间求出甲的速度即可判断②；设甲出发 后两车相遇，列关于的一元一次方程并求解即可判断③；判断甲、乙哪个先到达目的地并计算时间之差即可判断④． 【详解】解：乙先出发的时间为， ①正确，符合题意； 乙的速度为，则乙到达地所用时间为， ， 当时，甲到达地， 则甲的速度为， ②正确，符合题意； 设甲出发后两车相遇，则， 解得， 甲出发后两车相遇， ③正确，符合题意； ， 乙到地比甲到地早， ④正确，符合题意． 综上，①②③④正确． 故选：D． 变式4-1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）甲车从A地匀速驶往相距的B地，当甲车行驶小时经过途中的C地时，乙车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当乙车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地（甲车到达B地，乙车到达A地后分别停止运动）．行驶过程中两车的距离y（）与甲车从出发所用的时间x（）之间的函数关系如图所示，则甲车到达B地时，乙车距A地 ． 【答案】180 【分析】根据函数图象中的数据，可以先计算出甲车的速度，然后再根据图象可知，4.5小时两车相遇，则可以计算出乙车的速度，再计算出甲车从A地到B地用的时间，然后即可计算出甲车到达B地时，乙车距A地的路程． 本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】解：由图象可得， 甲车的速度为：（）， 乙车的速度为：（）， 甲车从A地到B地用的时间为：（小时）， 则甲车到达B地时，乙车距A地的路程是：（）， 故答案为：180． 变式4-2．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示． (1)两地相距______，快车返回时速度为______； (2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地； (3)慢车出发多长时间后，两车相距． 【答案】(1)330；100 (2)2.8 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式、一元一次方程的应用，读懂函数图象获取必要的信息是解题的关键． （1）根据图象求出快车和慢车的速度差，结合慢车的速度为，求出快车的速度，再利用公式：路程速度时间，求出两地的距离；设快车返回时速度为，根据图象的信息列出方程，求出的值即可解答； （2）计算出两车相遇时慢车行驶的距离，再用此时的距离除以快车返回的速度即可求解； （3）根据图象可知两车有2次相距的情况，故分2种情况并利用一次函数的知识求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，快车和慢车的速度差为， ∵慢车的速度为， ∴快车的速度为， ∴两地相距； ， 设快车返回时速度为， 则， 解得， ∴快车返回时速度为； 故答案为：330；100； （2）解：两车相遇时，慢车行驶的距离为， ∴快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需时间为， 故答案为：2.8； （3）解：两车第一次相距时，慢车出发时间为； 快车到达乙地卸装货物结束时，和慢车的距离为， ∴点的坐标为， 设线段的解析式为， 代入和，得， 解得， ∴线段的解析式为， 令，则， 解得， ∴当慢车出发后，两车第二次相距； 答：慢车出发或后，两车相距． 变式4-3．（2022·河南洛阳·一模）已知一列慢车与一列快车相继从泰州开往上海，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系． (1)请解释图中点的实际意义； (2)分别求慢车和快车的速度、泰州与上海的距离； (3)如果两车都配有对讲机，并且二车相距不超过时，能相互通话，求两车均在行驶过程中能通话的时间． 【答案】(1)图中点的实际意义是：当慢车行驶时，快车追上慢车 (2)慢车每小时行驶，快车每小时行驶，泰州与上海的距离为 (3)两车均在行驶过程中能通话的时间为小时 【分析】本题考查了一次函数图象的应用，追及问题的运用，不等式组的解法，根据图象信息，运用函数图象解决实际问题，看懂图象是关键． （1）根据点得出两车距离为可知，两车相遇； （2）由图象可以知道慢车行驶小时时，快车到达终点，与慢车相距，就可以根据题意列出方程组从而可以求出慢车快车的速度及全程． （3）当慢车在前时和快车在前时求出通话时间范围就可以求出通话时间． 【详解】（1）解：图中点的实际意义是：当慢车行驶时，快车追上慢车； （2）解：设慢车每小时行驶，快车每小时行驶，由题意和图意得 ， 解得：， 则全程为：． 答：慢车每小时行驶，快车每小时行驶，泰州与上海的距离为． （3）解：设快车行驶小时后，两车之间的距离不超过，由题意得， ， 解得：． 小时． 答：两车均在行驶过程中能通话的时间为小时． 类型五、销售最值问题 例5．（25-26八年级上·安徽六安·期中）综合与实践：设计最大利润的采购方案． 某超市欲购进一批饮料，已知购进2箱可乐和3箱雪碧需要270元，购进3箱可乐和1箱雪碧需要195元．现要求： ①购进可乐和雪碧共300箱； ②可乐的购进数量最少为150箱； ③可乐的购进数量不超过雪碧的2倍． 已知可乐售价为65元/箱，雪碧售价为70元/箱．设可乐购进了箱，全部售出后的利润为元． (1)求每箱可乐和雪碧的进价各是多少元； (2)求和之间的函数关系式；（写出自变量的取值范围） (3)受市场影响，超市实际采购时，每箱可乐进货单价上调了元，每箱雪碧进货单价下调了元，其他条件不变．如何分配可乐和雪碧的购进数量，能使利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)每箱可乐的进价为45元，每箱雪碧的进价为60元 (2)（） (3)当时，购进可乐200箱、雪碧100箱，最大利润为元；当时，购进可乐150箱、雪碧150箱，最大利润为元；当时，购进可乐在150箱至200箱之间任意数量，利润均为4000元． 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的应用，根据题意正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数是关键． （1）设每箱可乐和雪碧的进价分别是，元，根据题意列出方程组解方程组即可； （2）依据题意，设可乐购进了箱，则雪碧购进了箱，根据题意得到，根据可乐的购进数量最少为150箱，可乐的购进数量不超过雪碧的2倍，求出； （3）结合（2）所求解析式，从而分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：设每箱可乐和雪碧的进价分别是，元， 解得 答：每箱可乐和雪碧的进价分别是45元，60元． （2）设可乐购进了箱，则雪碧购进了箱， 根据题意得：， 可乐的购进数量不超过雪碧的2倍， ，解得． 又可乐的购进数量最少为150箱， ． （）． （3）根据题意得：， 当，即时，随的增大而增大， ， 当时，最大，此时． 当，即时，随的增大而减小， ， 当时，最大，此时． 当，即时，，保持不变． 综上所述，当时，购进可乐200箱、雪碧100箱，最大利润为元；当时，购进可乐150箱、雪碧150箱，最大利润为元；当时，购进可乐在150箱至200箱之间任意数量，利润均为4000元． 变式5-1．（25-26八年级上·重庆·期中）随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人，已知2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米． (1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题） (2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示． (3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为万元一台，型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少；请说明理由． 【答案】(1)A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米 (2) (3)购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，为万元 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，一次函数基本性质，列代数式，解决最值问题，解题的关键是理解题意，列出等量关系． （1）设A型机器人每小时清洁平方米，B型机器人每小时清洁平方米，根据清洁方式列出二元一次方程组求解即可； （2）设型机器人有台，型机器人有台，根据工作效率列出方程，然后用含的代数式表示即可； （3）根据题意列出一次函数，利用一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型机器人每小时清洁平方米，B型机器人每小时清洁平方米，根据题意得， 解得 ∴A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米； （2）解：设型机器人有台，型机器人有台，根据题意得， 整理得； （3）解：由（2）得，设型机器人有台，型机器人有台，根据题意得， ， ∴当取最小值时，的值最小， 又∵取正整数， ∴当时，，的值最小为（万元）， ∴购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，为万元． 变式5-2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）班主任老师为了奖励期中考试成绩优异的同学，计划购买笔记本和钢笔作为奖品．已知买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔各多少元？ (2)若班主任老师需购买笔记本和钢笔共30件，其中笔记本数量不超过16个，求总费用（元）与笔记本的数量（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？ 【答案】(1)每本笔记本30元，每支钢笔40元 (2)总费用w与笔记本的数量a之间的函数关系式为（，且为整数），总费用至少要1040元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质的应用，根据题意找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设每本笔记本m元，每支钢笔n元，根据每笔花费为等量关系列二元一方程组进行求解； （2）先列出函数关系式，再根据一次函数的性质回答即可． 【详解】（1）解：设每本笔记本m元，每支钢笔n元， 买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元； ， 解得， 每本笔记本30元，每支钢笔40元； （2）根据题意得：， ， 随a的增大而减小， 而， 当时，w取最小值，最小值为， 总费用w与笔记本的数量a之间的函数关系式为（，且为整数），总费用至少要1040元． 变式5-3．（25-26八年级上·四川·期中）中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台成本（万元） 型号 4 12 型号 5 16 (1)若公司有技术人员60人全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，问和服务器的安装数量各是多少台？ (2)由于公司规模扩大，技术人员增至65人，全部参与维护且每人负责一种服务器，要求型号超过4台．问和服务器的安装数量各是多少台时，安装总成本最少？ 【答案】(1)服务器的安装数量是5台，服务器的安装数量是8台； (2)服务器的安装数量是10台，服务器的安装数量是5台时，安装总成本最少 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用． （1）设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台，根据公司共有技术人员60人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设安排服务器的技术人员人，则安排服务器的技术人员人，安装总成本为万元，根据要求型号超过4台，求得，再根据题意列得，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台． 根据题意可列：， 解得：， 答：服务器的安装数量是5台，服务器的安装数量是8台； （2）解：设安排服务器的技术人员人，则安排服务器的技术人员人，安装总成本为万元， ∴服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台， ∵要求型号超过4台， ∴，解得， 由题意得， ∵， ∴的值随的增大而减少， ∵，且和都是整数， ∴当时，有最小值为200万元， 此时，， ∴当服务器的安装数量是10台，服务器的安装数量是5台时，安装总成本最少． 类型六、方案选择问题 例6．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某体育用品店准备购进篮球和足球进行销售，这两种球的进价和售价如下表： 种类 进价（元/个） 售价（元/个） 篮球 80 110 足球 60 100 (1)现计划购进篮球和足球共100个，且篮球的数量不少于足球数量的一半．该体育用品店怎样进货才能使两种球全部售出后获利最大？最大利润是多少？ (2)某学校需要购买一批该体育用品店的篮球和足球作为体育器材，其中篮球m个，足球24个．体育用品店给出以下两种优惠方案： 方案一：所有球均按售价的八折出售； 方案二：篮球按售价的七折出售，足球按售价的九折出售． 学校采购员应选择哪种方案花费最少？请说明理由． 【答案】(1)该体育用品店进篮球34个，足球66个获利最大，最大利润是3660元 (2)当（m为整数）时，应选择方案一花费最少，当（m为整数）时，应选择方案二花费最少，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设购买篮球x个，全部售出后的利润为y元，则购买足球个，分别求出足球和篮球的利润，进而可得到y关于x的函数关系式，再求出x的取值范围即可得到答案； （2）分别表示出两种方案的费用，再令方案一的费用小于方案二的费用，方案一的费用等于方案二的费用，方案一的费用大于方案二的费用，据此分别建立不等式和方程求解即可． 【详解】（1）解：设购买篮球x个，全部售出后的利润为y元，则购买足球个， 由题意得， ， ∵篮球的数量不少于足球数量的一半， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵x为整数， ∴当时，y有最大值，最大值为， 此时， 答：该体育用品店进篮球34个，足球66个获利最大，最大利润是3660元； （2）解：当（m为整数）时，应选择方案一花费最少，当（m为整数）时，应选择方案二花费最少．，理由如下： 方案一的费用为元， 方案二的费用为 元， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∵m为非负整数， ∴不成立， ∴当（m为整数）时，应选择方案一花费最少，当（m为整数）时，应选择方案二花费最少． 变式6-1．（25-26八年级上·重庆·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)选方案二更优惠，理由见解析． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式： （1）根据两种优惠方案，列出关系式即可； （2）求出时的值，比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；； （2）选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠． 变式6-2．（25-26七年级上·重庆·期中）某游乐园票价为每人120元，为了吸引客源，该游乐园在“双11”期间推出了针对团体的优惠活动，具体内容如下： ①若团体人数不足10人，则不享受优惠； ②若团体人数在10人及以上，则有两种优惠方案可供选择； 方案一：每人都享受七五折优惠； 方案二：其中10人享受八五折优惠，其余人享受六折优惠． 期中练习后，为了让孩子们放松一下，三个家庭准备到该游乐园游玩，已知A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人． (1)若这三个家庭直接去游乐园，则购买门票共需花费多少元？ (2)为了享受优惠，他们准备再邀请一些人组成团体一起去该游乐园，假设他们共邀请了x个人，请解决下列问题： ①若他们选择方案一，设购买门票共需花费y元．试用含x的代数式表示y； 若他们选择方案二，设购买门票共需花费w元，试用含x的代数式表示w． ②当时，选择哪种方案更合算？请通过计算说明． 【答案】(1)购买门票共需花费元 (2)①方案一：；方案二：；②选择方案二更划算 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确表示出不同的表达式是解题的关键． （1）依据题意可得不享受优惠，计算即可； （2）①依据题意，分别根据购票方案一，方案二，表示出购买门票的费用； ②依据题意，将代入各个表达式对比即可． 【详解】（1）解： A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人， 则共有（人）， 购买门票共需花费（元）， 答：购买门票共需花费元； （2）解：①方案一:； 方案二： ②当时，（元）； （元）， ， 故选择方案二更划算． 变式6-3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式； (2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择方案二更优惠，见解析 【分析】本题考查了函数的表达式，函数值的计算与比较，熟练掌握函数的表达式，求函数值是解题的关键 （1）方案一每人打九折，直接计算总费用；方案二前10人原价，超过部分打八折，分段计算后合并． （2）代入计算两种方案的总费用，比较大小后得出结论． 【详解】（1）解：票价为150元/张，方案一：每人票价打九折，此时单价为元， 故； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，此时费用为元，超过10人的部分的费用为， 总费用为：． （2）解：当时，， ． ， 选择方案二更优惠． 变式6-4．（20-21八年级下·广西南宁·期末）拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，某中学组织八年级全体学生前往某研学基地开展研学活动，在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 (1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ (2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为______． (3)最省钱的租车方式的费用是多少？ 【答案】(1)参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人 (2)8 (3)最少租车费用是2720元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组和不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数，是解题的关键： （1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，根据题意列出方程组即可求解； （2）利用租车总辆数总人数，再结合每辆车上至少要有2名老师，即可求解； （3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆，根据题意列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有人，学生有人， 依题意，得：， 解得：． 答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人． （2）（辆）（人），（辆）， 租车总辆数为8辆． 故答案为8． （3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆， 依题意，得：， 解得：． 为正整数， ， 共有4种租车方案． 设租车总费用为元，则， ， 的值随值的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为2720． 最少租车费用是2720元． 类型七、分段计费问题 例7．（25-26八年级上·山西运城·期中）某市为了鼓励市民节约用电，采用分档计费的方式计算电费．下表是家庭人口不超过4人时户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 收费/[元/（）] 第一档      第二档      第三档      (1)当时，写出每月应交电费（单位：元）与户月用电量（单位：）之间的关系式． (2)若某户一个月的用电量为，则该户这个月应交电费多少元？ (3)若某户上个月交电费180元，求该户上个月的用电量． 【答案】(1) (2)327元 (3) 【分析】该题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是列出函数关系式． （1）根据题意可得当时，户月用电量属于第三档，根据表格数据即可解答． （2）当时，代入（1）中解析式求解即可． （3）先判断出该户上个月用电量属于第二档，这根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，户月用电量属于第三档． 于是， 即． （2）解：当时，（元）． 答：该户这个月应交电费327元． （3）解：因为（元），（元）， ， 所以该户上个月用电量属于第二档． 根据题意，得． 解得：． 答：该户上个月的用电量为． 变式7-1．（25-26八年级上·辽宁·期中）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格/（元/千瓦时） 不超过200千瓦时的部分 0.55 超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分 0.6 超过400千瓦时的部分 0.8 (1)设我市一户居民某月用电量x千瓦时，当月的电费y元，直接写出y与x的关系式； (2)某户居民七月份用电量为260千瓦时，求该户这个月的电费； (3)某户居民八月份交电费170元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时? 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)146元 (3)300千瓦时 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值和求函数值，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据所给的收费方案列式求解即可； （2）把代入中，求出y的值即可得到答案； （3）可证明该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时，则把代入中，求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，当时，； 当时，； 当时，； （2）解：在中， 当时，， 答：该户这个月的电费为146元； （3）解：∵，， 且， ∴该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时， 在中，当时，， 答：该户居民八月份用电量为300千瓦时． 变式7-2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）为鼓励居民合理用电，广东某市电力公司对居民用户采取分月用电量分档收费办法（按夏季和非夏季区分），下表1是某户居民某月电费发票的部分信息： 表1                                                      表2 ××居民电费专用发票 （非夏季标准：1~4月、11~12月） x 0 y 0 m 计费期限：一个月    用电量x（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实付金额：（元） （大写）壹佰叁拾叁元零角 根据以上提供的信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x（度）来表示，实付金额用y（元）来表示，则当时，y与x之间的函数关系式为 ． (2)根据（1）中函数关系式，列出y与x的几组对应值（如表2），其中 ，并在平面直角坐标系中，根据表2中的数值描点，在图3中画出该函数的图象． (3)当时，y与x之间的函数关系式为 ；根据表中该用户的本月实付金额，计算该用户本月的实际用电量为 度． 【答案】(1) (2)，图象见解析 (3)， 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系． （1）当时，根据表中数据，可得到y与x的函数关系式； （2）根据解析式求出m的值，再根据表2中的数值描点，连线画出函数图象；； （3）当时，成一次函数关系，实付金额等于度内的用电付出金额与超出度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式；先计算出元的用电量超出度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：依题意得，当时， y与x之间的函数关系式为． 故答案为：． （2）解：由（1）知，当时，． 故答案为∶； 描点，连线画出函数图象∶ （3）解：当时，； 当时，， 解得． 该用户本月的实际用电量为度． 故答案为∶；． 变式7-3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量； (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ 【答案】(1) (2)小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． (3)元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、有理数混合运算的应用等知识点，根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系是解题的关键． （1）当时成一次函数关系，实付金额等于200度内的用电付出金额与超出200度的用电付出金额的和，据此列出y与x的函数关系式即可； （2）先计算出用电量200度和400度支付金额，即可确定用电量处于那一档；然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可解答． （3）根据题意列式，然后运用有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：当时，则， 答：当时，y与x之间的函数关系式为． （2）解：∵200度电费为：，400度电费为：， ， ∴小强家该月的用电量处于第二档， 令，则，解得：． 答：小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． （3）解：∵， ∴小强家本月用电量属于第三档， ∴ 元． 答：小强家这一个月实付金额元． 类型八、含参数的一次函数问题 例8．（2025·浙江湖州·二模）某景区的同一线路上依次有，，三个景点（如图）．小兴从景点出发，步行米去景点，共用时分钟；同时，桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点，休息分钟后，桐桐改成骑电动车去景点，结果桐桐比小兴早分钟到达景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图所示． (1)求的值，并说出的实际意义； (2)求桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数解析式（不必写出的取值范围）； (3)请求出两人在途中相遇时的时间（分）的值． 【答案】(1)，表示桐桐从地步行到地所用的时间 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）利用路程除以时间求出的值，根据点的位置，确定m的实际意义即可； （2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分桐桐往景点走，以及骑车往景点两部分，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 由题意和图象可知：m表示桐桐从B地步行到A地所用的时间； （2）设， 由题意，图象经过点，即， 则：，解得：， ∴； （3）由图象可知：小兴的步行速度为：，由（2）可知：桐桐骑车速度为：， 当时，； 当时，，解得：； 综上：或． 变式8-1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）为进一步推动绿色生态文明建设，走可持续发展之路，某工厂在生产过程中同步进行污水处理，有两种处理方案： 方案1：污水纳入污水处理厂统一处理，每生产1件产品需付7元的排污费； 方案2：积极响应“无废城市”号召，使用专业设备，通过有效方法，对污水进行循环利用．每生产1件产品需付1元的设备原料费，并且设备损耗费为每月b元． 若工厂每月生产x件产品，产品的成本价为25元/件，出厂价为50元/件，方案1、方案2的月利润y（元）与x（件）之间的函数关系如图所示．结合图象回答问题： (1)填空：a＝ ，b＝ ； (2)当工厂每月生产300件产品时，两种方案的月利润相差多少元？ (3)当两种方案的月利润相差1500元时，求x的值． 【答案】(1)500，3000 (2)两种方案的月利润相差1200元 (3)x的值为250或750 【分析】本题主要考查一次函数的应用、列函数关系式、求函数值等知识点，掌握二元一次方程组和绝对值方程的解法是解题的关键． （1）分别写出方案1、方案2的月利润y（元）与x（件）之间的函数关系式，将坐标分别代入这两个函数，建立关于a和b的二元一次方程组求解即可； （2）将分别代入方案1、方案2的函数关系式，求出和的值并求差即可． （3）将方案1、方案2的函数关系式分别代入，得到关于x的绝对值方程并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方案1的月利润（元）与x（件）之间的函数关系为， 方案1的月利润（元）与x（件）之间的函数关系为， 将坐标分别代入和， 得，解得：， ∴． 故答案为：500，3000． （2）解：当时，， （元）． 答：两种方案的月利润相差1200元． （3）解：根据题意得，即， 解得或750． 答：x的值为250或750． 变式8-2．（24-25七年级下·四川成都·期末）在学校开展的综合与实践活动中，小红发现绿道旁的护栏长度问题可以与学习内容《变量之间的关系》产生联系．该护栏平面示意图如图所示，已知每根立柱宽为米，立柱间距为米． 小红通过测量，将测量结果制成如下表格： 立柱根数 护栏总长度（米） (1)表中的值为_______，的值为_______； (2)设有根立柱，护栏总长度为米，请写出与之间的关系式； (3)若护栏总长度为米，请求出立柱共有多少根？ 【答案】(1)，； (2)； (3)立柱共有根． 【分析】本题考查一次函数的应用，找到变量的变化规律并写出函数关系式是解题的关键． （）根据表格和图计算即可； （）根据变量的变化规律计算即可； （）当y＝101时，求出对应x的值即可． 【详解】（1）解：（米）， ∴， 当有根立柱时，（米）， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵增加个立柱，护栏总长度增加（米）， 则， ∴与之间的关系式为； （3）解：当时，得， 解得， 答：立柱共有根． 类型九、一次函数的其他应用问题 例9．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）现有甲、乙两种恒温电热水壶在同时加热相同质量水的时候，壶中水的温度与时间（秒）之间的函数关系图象如图所示． (1)分别求出甲、乙两种电热水壶在水温达到恒定温度（）之前，关于的函数表达式； (2)当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为多少？ 【答案】(1)甲电热水壶关于的函数表达式为，乙电热水壶关于的函数表达式为 (2)乙壶中的水温为 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的实际应用； （1）结合图象信息，利用待定系数法求解； （2）先求解当甲壶中水温刚好达到时，x的值，再代入乙的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲电热水壶关于的函数表达式为， 将和代入，得：， 解得， 甲电热水壶关于的函数表达式为； 同理，设乙电热水壶关于的函数表达式为， 将和代入，得：， 解得， 乙电热水壶关于的函数表达式为； （2）解：当甲壶中水温刚好达到时，， 解得， 将代入，得：， 即乙壶中的水温为． 变式9-1．（2025八年级上·全国·专题练习）项目式学习 项目主题：深圳地铁票价探究 素材 深圳地铁实行里程分段计价票制．普通车厢起步价：首公里人民币元；公里至公里部分，每人民币元可乘坐公里；公里至公里部分，每人民币元可乘坐公里；超过公里，每人民币元可乘坐公里． 备注：两个地铁站之间里程为两站之间沿地铁的最短线路长度．例如，若某两站之间有两种乘坐线路，长度分别为公里和公里，则此两站之间的里程为公里，票价为元． 素材 深圳地铁的部分线路图如下（经过变形处理，并省略部分站点），标注了部分站点之间的地铁线路及里程．    素材 深圳市深圳通有限公司与手机公司合作推出深圳通互联互通卡业务，该卡是通过芯片绑定在手机上的一张虚拟公交卡．手机用户支付元不可退服务费用后办理此卡，可在乘坐地铁普通车厢使用此卡刷卡出闸时享受票价折优惠． 问题解决 任务 小达乘坐地铁从站到站，票价为元，则两站之间的最长里程为______． 任务 小达从布心站出发，乘坐号线前往临海站并出站游玩，游玩后再从临海站出发，依次乘坐号线、号线、号线、号线和号线回到布心站，求全程的地铁票价． 任务 小达以任务的方式在布心站和临海站之间往返，设其往返的来回数为，办理深圳通互联互通卡出行相比不办理节省的费用为，请求出与的关系式，并计算至少往返几个来回时，办理深圳通互联互通卡出行比不办理更划算？ 【答案】任务：；任务：元；任务：，至少往返个来回时，办理深圳通互联互通卡更划算 【详解】任务：根据题意求解即可； 任务：先计算去和回来的路程，再根据题意求解即可； 任务：先求得与的关系式为，再利用一次函数的性质求解即可； 本题考查了一次函数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【解答】解：任务：由题意得，两站之间的最长里程为， 故答案为：； 任务：去程的路线长度为，返程的路线长度为， ∴布心站到临海站的票价为（元）， 同理，临海站到布心站的票价为（元）， ∴全程的地铁票价为（元）， 答：全程的地铁票价为元； 任务：由任务和素材可知，办理深圳通互联互通卡往返一次相比不办理节省的费用为（元）， ∴与的关系式为， 令，则， 解得， ∴至少往返个来回时，办理深圳通互联互通卡更划算． 变式9-2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）科学证明，健康饮水的适宜温度是，这个温度区间与人体体温相近，对胃肠道的刺激较小．小明买了一个保温壶，并对这个保温壶进行了保温测试，他向保温壶中倒入热水，经过一段时间的测试发现：保温壶内的水温与测试时间之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． (1)热水刚倒入保温壶时的温度是___________； (2)求y与x之间的关系式； (3)小明在9小时后饮用该保温壶里的水，此时保温壶中的水温是否在健康饮水的适宜温度范围内？ 【答案】(1)90 (2) (3)保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由图象直接得出结论； （2）先由函数图象得在上，则把分别代入，解方程组即可； （3）先整理得分钟，再把代入，得，结合健康饮水的适宜温度是，且，即可作答． 【详解】（1）由图象可知，热水刚倒入保温壶时的温度是， 故答案为：90； （2）保温壶内的水温与测试时间之间满足一次函数关系， 设一次函数关系为，把分别代入得： ， 解得， 与x之间的函数关系式为； （3）保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内；理由如下： 依题意得：分钟， 把代入得： ， 健康饮水的适宜温度是，且 保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内． 变式9-2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）综合与实践： 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2拟订设计方案 如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 【答案】任务1：甲部门每天能生产120个，乙部门每天能生产60个；任务2：甲部门工作9天，乙部门工作18天时，总费用最小，最小为97200元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙部门每天能生成个壮锦手提包，依题意，列式得，注意经检验是方程的解，即可作答． （2）设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）．再依题意，得出，解出，根据题意得出，运用一次函数的性质，进行分析作答即可． 【详解】解：任务1：设乙部门每天能生成个壮锦手提包， 则甲部门每天能生成个壮锦手提包． 由题意得， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解，且符合题意． 甲部门每天生成数量：（个）． 答：甲部门每天能生成120个，乙部门每天能生成60个． 任务2：设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）． 根据题意， 解得， 则总支出费用． ， 随的增大而减小． 当时，取最小值， 最小值为（元）， 乙部门工作天数：（天）， 答：甲部门工作9天，乙部门工作18天时，总费用最小，最小为97200元． 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用6分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键，根据图象信息，结合速度、时间和路程的关系对各项逐一分析即可． 【详解】解：由图知，(分)， 乙用6分钟追上甲， 正确，不符合题意； 甲的速度为(米/分)， 乙追上甲时，二人离终点的距离为(米)， 乙追上甲后，再走米才到达， 正确，不符合题意； 乙的速度为(米/分)， 乙到达终点所用的时间为（分）， 当乙到达终点时甲走的路程为(米)， 当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为(米)， 正确，不符合题意； 当乙到达终点时甲走的路程为2040米， 甲还需要(分)到达终点， 甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟， 错误，符合题意 故选：． 2．（24-25七年级下·陕西铜川·月考）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，在y轴上有一点，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，t的值为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定定理是关键．由直线的函数解析式，令求点坐标，求点坐标；根据题意可知，，则，所以，则时间内移动了，可算出值． 【详解】解：对于直线， 当时，；当时，， ，， ， ∵当运动到与全等时 ∴，分为两种情况： ①当在上时，， ， 动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； ②当在的延长线上时，， 则，此时所需要的时间（秒）， 故选：D． 3．（25-26八年级上·山西运城·期中）某市为鼓励居民节约用电，计划采用分段计费的方法收取电费．月用电量不超过时，按元计费；月用电量超过时，其中的仍按元计费，超过的部分按元计费．若某户家庭月用电量为，则应交电费（单位：元）与月用电量之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意是解决本题的关键． 由于月用电量，电费计算分为两部分：前按元计费，超过部分按元计费即可． 【详解】解：根据题意可得，前的电费为元； 超过部分的电费为元， ∴总电费 ， 故答案为：． 4．（2020·陕西·一模）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．该公司准备投入资金y万元，购买A，B两种机器人共8台，其中购进A型机器人x台．下表是某科技公司提供给快递公司有关两种型号的机器人分拣速度和单价的信息． 型号 分拣速度 单价 A 1200件/小时 6万元/台 B 1000件/小时 4万元/台 (1)求y关于x的函数关系式； (2)若要使这8台机器人每小时分拣快递的总件数不少于8300件，该公司至少需要投入资金多少万元？ 【答案】(1) (2)该公司至少需要投入资金36万元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）根据题意和表格中的数据可以写出y关于x的函数关系式； （2）根据题意可以得到相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，进而求得该公司至少需要投入资金多少万元． 【详解】（1）解：由题意得，， 即y关于x的函数关系式为； （2）解：∵要使这8台机器人每小时分拣快递的总件数不少于8300件， ， 解得，， ∵x为整数， ∴x的最小值为2， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，取得最小值，此时， 答：该公司至少需要投入资金36万元． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元． (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ (2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？ 【答案】(1)每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元 (2)当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，列出方程组、不等式是解题的关键． （1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，再根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型放大镜a个，再根据题意列出不等式求得a的最小值，然后再根据题意列出购买费用w与a的函数关系，最后根据一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元， 可得，解得：， 答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元． （2）解：设购买A型放大镜a个，则购买B型放大镜个， 根据题意可得：，解得：（a为整数），即a的最小值为， 所以购买费用为：， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，最少费用2712元． ∴当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元． 6．（2025·山东烟台·一模）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 36600 第二周 12 15 45000 (1)求a，b的值； (2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 【答案】(1) (2)A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元 (3)该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）根据第一周和第二周的销售额建立方程组求解即可； （2）设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元，根据用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等建立方程求解即可； （3）设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，分别求出售出A型车和B型车的销售额，二者求和可得w关于x的函数关系式，再列不等式求出m的取值范围，进而根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元， 根据题意得， 解得： 经检验是原分式方程的解． （元） 答：A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元． （3）解：设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元， 由题意得：， 由，解得， 取整数，，10，11，12， ∵随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时（元）． 答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元． 7．（25-26八年级上·广西梧州·期中）如图，已知直线和分别记为，它们相交于点． (1)根据图上所给条件，求出的解析式； (2)求出交点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)交点的坐标为． 【分析】此题考查求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标： （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）联立两个方程求方程组的解即可 【详解】（1）解：由图象得，直线经过点， 得, 解得 ∴直线的解析式为； （2）解方程组，得， ∴交点的坐标为． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先把代入，求出，再将点坐标代入求得即可； （2）根据，也就是，结合图象可得结论； （3）根据图象，可以得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得， 解得：， 把代入， 得， 解得：， ∴直线：， 当时，则 ， 解出， ∴； （2）∵直线：，， ∴当时，x的取值范围是； （3）， 即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 9．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）为了表彰在学年智慧阅读活动表现优异的同学，学校决定购买A，B两种奖品共42件，已知A，B两种奖品的单价分别是50元/件和40元/件，且购买的A种奖品的数量少于B种奖品数量的，但又不少于10件．设购买A种奖品x件，购买这两种奖品共花费y元． (1)求计划购买这两种奖品所需的费用y（元）关于x（件）的函数解析式． (2)共有多少种不同的购买方案？购买这些奖品最少需要多少元？ (3)采购人员在采购奖品时，恰逢商场正在促销：A种奖品每件降价a元，B种奖品每件降价b元．采购人员通过计算发现，购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关，请求出的值． 【答案】(1) (2)共有8种不同的购买方案，购买这些奖品最少需要1780元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用、求不等式组的解集，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列出关于的函数解析式，再结合题意列出关于的不等式组，求出的取值范围，即可解答； （2）结合的取值范围以及是整数，得出不同的购买方案的种数，再利用一次函数的性质求出的最小值，即可解答； （3）根据题意得，再结合 “购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关”，得出，即可求解． 【详解】（1）解：设购买A种奖品x件，则购买B种奖品件， 由题意得，， ∵购买的A种奖品的数量少于B种奖品数量的，但又不少于10件， ∴， 解得， ∴函数解析式为； （2）解：∵，且是整数， ∴可以取10，11，12，13，14，15，16，17， ∴共有8种不同的购买方案， ∵， ∴中随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴购买这些奖品最少需要1780元； （3）解：由题意得，， ∵购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关， ∴， 整理得：． 10．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图：直线：和直线与轴分别相交于、两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)12 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式、一次函数与二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用一次函数的性质求出点的坐标，进而得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）联立两直线的表达式，求出交点的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将代入，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 将和代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：联立， 解得， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴． 11．（25-26七年级上·山东济南·期中）甲、乙两人开车同时分别从相距30km的、两地出发，相向而行．图中分别表示甲、乙两人距地的距离、与行驶时间之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1)分别求出、与之间的函数关系式； (2)求出乙行驶多长时间与甲相遇； (3)当为何值时，甲、乙相距8km？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答 （1）根据函数图象中点代入对应直线得解析式，利用待定系数法即可求解； （2）联立两个函数解析式，求出交点坐标即可得出相遇时间； （3）甲、乙相距8km，即或，由此列方程即可求解． 【详解】（1）解：设   将代入， 得：，解得： ∴ 设，将、代入 得：， 解得：    ∴ （2）由题意得：， 解得：， ∴乙行驶后与甲相遇； （3）相遇前：，解得： 相遇后：，解得 答：当或甲、乙相距8km 12．（25-26九年级上·浙江台州·期中）在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感． 【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线经过点和，右侧边界线的函数表达式为，和相交于点，即点为灭点． （1）求左侧边界线的函数表达式； （2）求灭点的坐标； 【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持的位置不变，将向上平移个单位长度，使得灭点的纵坐标不小于6，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；迁移应用： 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，涉及求出一次函数解析式，两直线的交点，一次函数的平移等知识． （1）利用待定系数法求的解析式即可． （2）联立两直线，求出点P的坐标即可． 迁移应用：由题意知平移后的函数表达式为，再联立两直线，求出点P的坐标，根据点P的纵坐标大于6列出关于C的一元一次不等式求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设左侧边界线的函数表达式为， 把和代入得：， 解得， 左侧边界线的函数表达式为； （2）解：联立，解得， 灭点的坐标为； 迁移应用：解：将向上平移个单位长度后得直线， 联立， 解得， 灭点的纵坐标不小于6， ， 解得， 的取值范围是． 13．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）为增强学生环保意识，争做绿色文明的推动者和传播者，某校发起了以“种下一棵者，为未来留下一份幸福”为主题的植树活动．现需要采购一批树苗，有两家苗圃基地，具体收费标准如下： 甲苗圃基地：树苗单价为元/株，免费配送； 乙苗圃基地：树苗单价为元/株，另加元配送费． (1)设采购株树苗，去甲苗圃基地采购树苗的费用为元，去乙苗圃基地采购树苗的费用为元，请分别写出，与之间的关系式； (2)购买多少株树苗时两家苗圃基地的收费是一样的？ (3)若学校用于采购树苗的费用为元，选择哪个苗圃基地能多买一些？ 【答案】(1)与之间的关系式为；与之间的关系式为； (2)购买株树苗时两家苗圃基地的收费是一样的； (3)选择乙苗圃基地能多买一些． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解决本题的关键是列出函数关系式． 根据两个基地的收费标准，列出函数关系式； 根据两家苗圃基地的收费是一样的列方程求解； 分别计算出当费用为元时，甲、乙两个苗圃购买树苗的数量，通过比较可知乙苗圃购买的数量多． 【详解】（1）解：与之间的关系式为， 与之间的关系式为； （2）解：根据题意可得：， 解得：， 答：购买株树苗时两家苗圃基地的收费是一样的． （3）解：当时， 即， 解得：， 当时， 即， 解得：， ， 选择乙苗圃基地能多买一些． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $