2.12 函数的零点与方程的解（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

2．12　函数的零点与方程的解 [课标要求]　1.理解函数的零点与方程的解的关系．　2.了解函数零点存在定理，并能简单应用．　3.了解用二分法求方程的近似解． 【必备知识】 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点的等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【必记结论】 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点． 2．若f(x)＝g(x)－h(x)，则函数f(x)零点的个数就是函数g(x)，h(x)图象交点的个数． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　 ) (2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)＜0.(　　 ) (3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　　 ) (4)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点．(　　 ) (5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．(多选)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 函数y＝f(x)的零点所在区间有(　　 ) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 解析：选BCD.由对应值表可得：f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0, 由零点存在定理可知：f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点 3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　 ) A．2 B．－2，0 C． D．0 解析：选D.当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝.综上，函数的零点为0. 4．函数f(x)＝ln x＋x－，则函数f(x)的零点所在区间是(　　 ) A． B． C． D．(1，2) 解析：选C.易知函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f＝ln ＝ln ，又＝81e<44＝256，∴f＝<0，∵f(1)＝ln 1＋1－>0，∴函数f(x)的零点所在的区间为. 5．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是_____．(填写上所有符合条件的图号) 解析：用二分法只能求“变号零点”，①③中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求． 答案：①③ 题型一　函数零点所在区间的判定 【例1】　(1)方程＋1＝0的根所在的区间是(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　 ) A．(1，2) B．(2，e) C．(e，3) D．(3，4) 解析：选B.对于方程＋1＝0，有x>0，可得x＋ln x－e＝0， 令f(x)＝x＋ln x－e，其中x>0， 因为函数y＝x－e，y＝ln x均在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为f(1)＝1－e<0，f(2)＝2＋ln 2－e<0，f(e)＝1>0，所以f(2)f(e)<0， 由函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点在区间(2，e)内，则方程＋1＝0的根所在的区间是(2，e)． (2)用二分法求方程＋1＝0在区间(2，3)内的根的近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C.∵开区间(2，3)的长度等于1， 每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 故有<0.1，解得n≥4， ∴至少经过4次二分后精确度达到0.1. 思维升华　确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 【对点练习】　1.(1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　 ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：选A.函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点． (2)已知2＜a＜3＜b＜4，函数y＝logax与y＝－x＋b的交点为(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________． 解析：依题意，x0为方程logax＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝logax＋x－b的零点，∵2＜a＜3＜b＜4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝loga2＋2－b＜0，f(3)＝loga3＋3－b＞0，∴x0∈(2，3)，即n＝2. 答案：2 题型二　确定函数零点的个数 【例2】　(1) 函数f(x)＝的零点个数为(　　 ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选B.法一(方程法)　由f(x)＝0， 得或解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点． 法二(图形法)　函数f(x)的图象如图所示， 由图象知函数f(x)共有2个零点． (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为(　　 ) A．6 B．8 C．12 D．14 解析：选C.依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)， 所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)， 即函数f(x)是以2为周期的偶函数， 令g(x)＝f(x)－log7|x|＝0，即f(x)＝log7|x|， 在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝log7|x|的图象，如图所示． 由图象可知，两函数图象共有12个交点， 即函数g(x)共有12个零点． 思维升华　求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数性质等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，根据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 【对点练习】　2.(1)(2024·浙江温州三模)已知函数f(x)＝则关于x方程f(x)＝ax＋2的根不可能是(　　 ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：选C.作出函数y＝f(x)的图象，如图所示， 将原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f(x)的图象交点的个数， 由图可知，当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f(x)的图象只有一个交点； 当a<0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象没有交点； 当a>0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象有三个交点； 所以直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象不可能有两个交点． (2)函数f(x)＝·cos x的零点个数为________. 解析：令36－x2≥0，解得－6≤x≤6， ∴f(x)的定义域为[－6，6]. 令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0， 由36－x2＝0得x＝±6， 由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z，又x∈[－6，6]，∴x的取值为－. 故f(x)共有6个零点． 答案：6 题型三　函数零点的应用 角度1　根据零点个数求参数范围 【例3】　(1)(2024·湖北武汉模拟)已知函数f(x)＝若曲线y＝f(x)与直线y＝ax恰有2个公共点，则a的取值范围是(　　 ) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，2) D．[0，＋∞) 解析：选C.当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，其在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增， 且f′(x)＝2x＋2，则f′(0)＝2； 当0<x<1时，f(x)＝ln (1－x)，f′(x)＝－<0，其在(0，1)上单调递减，且f′(0)＝－1. 作出f(x)的图象，如图， 易知a的取值范围是[－1，2)． (2)(人教A版必修一P160)已知函数f(x)＝求使方程f(x)＝k(k<0)的实数解个数分别为1，2，3时k的相应取值范围． 解：作出f(x)的图象如图， 方程f(x)＝k(k<0)的实数解的个数等于直线y＝k与y＝f(x)图象的交点个数． ∵f(x)＝ 当x≤0时，f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，函数在(－∞，－1)上单调递减，[－1，0]上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝－4，f(0)＝－3, 当x>0时，f(x)＝－2＋ln x，函数在(0，＋∞)上单调递增． ∴当实数解的个数为1时，k<－4； 当实数解的个数为2时，－3<k<0或k＝－4； 当实数解的个数为3时，－4<k≤－3. 角度2　根据零点的范围求参数范围 【例4】　(2024·北京模拟)已知函数f(x)＝.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　 ) A． B． C．(－∞，0) D． 解析：选B.由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)， 由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0， 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域． 由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增， 所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增． 当x∈(－∞，－1)时， g(x)＝3x－<g(－1)＝3-1＋1＝， 又g(x)＝3x－>0， 所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为. 因此实数a的取值范围是. 思维升华　根据函数零点的情况求参数的三种方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解． 【对点练习】　3.(1)(2024·邵阳模拟)已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围为(　　 ) A．(0，4) B．(0，3) C．(0，2) D．(0，1) 解析：选A.作出y＝f(x)的图象(实线)，如图所示， g(x)＝f(x)－a有4个零点，即y＝f(x)与y＝a的图象有4个交点，所以实数a的取值范围为(0，4)． (2)(2024·重庆诊断)已知函数f(x)＝且a∈N*.记g(x)＝f(x)＋t.若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，则正整数a的最大值为________． 解析：当x>a时，f(x)＝2x－3单调递增， 当－1<x≤a时，f(x)＝log2(x＋1)单调递增． 由题意，若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，即存在实数t使得方程f(x)＝－t有两个不相等的根， 即函数f(x)的图象与直线y＝－t有两个交点， 所以当点P(a，log2(a＋1))在点Q(a，2a－3)上方， 即log2(a＋1)>2a－3时，符合题意． 因为log2(2＋1)>22－3＝1，log2(3＋1)<23－3＝5，结合y＝2x－3与y＝log2(x＋1)的图象可得正整数a的最大值为2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $