专题13一次函数的图像与性质十类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题13 一次函数的图像与性质十类综合题型 典例详解 类型一、一次函数的性质 类型二、一次函数的图像与性质的关系 类型三、两条直线的位置与系数的关系 类型四、一次函数图像的平移 类型五、一次函数图像的对称 类型六、一次函数图像的旋转 类型七、定点动直线问题 类型八、动点定直线问题 类型九、两直线平行问题 类型十、两直线垂直问题 压轴专练 类型一、一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 例1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．函数的图象与轴的交点坐标是 B．函数的图象经过第二、三、四象限 C．函数的图象向上平移3个单位长度得的图像 D．点、在函数图像上，若，则 变式1-1．（25-26八年级上·全国·期中）若，直线不经过第四象限，则直线一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式1-2．（25-26八年级上·山东济南·期中）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴交点坐标为 B．若为图象上两点，当时， C．与一次函数的图象平行 D．不会同时经过第一象限和第二象限 变式1-3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式1-4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求的值； (2)若随着的增大而减小，求的取值范围； (3)若，当时，求的最大值． 类型二、一次函数的图像与性质的关系 一次函数图像的性质 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 例2．（20-21八年级上·山东枣庄·期末）已知： 一次函数的图像经过点和点 且， 则它的图像大致是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）一次函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（25-26八年级上·广东深圳·月考）已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 类型三、两条直线的位置与系数的关系 两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 例3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（   ） A． B． C． D． 变式3-1．（24-25八年级下·广东中山·期中）已知直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 变式3-2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 类型四、一次函数图像的平移 例4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知将直线向下平移3个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（   ） A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点均在一次函数的图象上，则 变式4-1．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位，使其与函数的交点位于第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式4-2．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与正比例函数的图象重合，则的值为 ． 变式4-3．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过点． (1)求的值； (2)若一条直线与函数的图象平行，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数关系式． 变式4-4．（19-20八年级下·广东广州·期末）已知正比例函数的图象过点，一次函数的图象是由正比例函数的图象向下平移得到的，且过点，求这个一次函数的解析式． 类型五、一次函数图像的对称 例5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．（24-25八年级下·北京·期中）对于函数的图象我们可以这么理解：如果点在的图象上，那么点一定也在的图象上．我们发现：点和点是关于y轴对称的．若在函数上，存在两个点，给出下面四个结论： ①若，当时，x有唯一的对应值5； ②当点A在点B上方时，则无论a为何值，都有； ③若，，则无论a为何值，都有；   ④若对于，，都有，则a满足条件的最大整数值为． 上述结论中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式5-2．（23-24八年级下·四川成都·自主招生）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“型函数”．例如：图就是一次函数关于直线的“型函数”图象．若函数关于直线的“型函数”图象与轴只有一个交点，则 ．如图，点，以为斜边在轴上方作等腰，当函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，则的取值范围为 ． 变式5-3．（24-25八年级下·广西南宁·期末）学习一次函数后，小宁知道：若已知直线上两个点的坐标，就能用待定系数法求出该直线的解析式．例如：已知直线的解析式为，分别与轴，轴交于点，点．求直线关于轴的对称直线的解析式．解题思路为： 第一步：求出，两点的坐标； 第二步：求出点关于轴的对称点的坐标； 第三步：由，两点的坐标，用待定系数法，即可求出直线的解析式． 阅读以上材料，完成下列任务． (1)直接写出点的坐标； (2)若直线与直线关于轴对称； ①求出直线的解析式； ②在①的条件下，若点为直线上的一个动点，当点的横、纵坐标之和为3时，求点的坐标； ③在②的条件下，将直线向下平移个单位长度后得到直线，若直线与轴的交点为，且满足时，求的值． 类型六、一次函数图像的旋转 例6．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（   ） A．22 B．20 C．18 D．16 变式6-1．（20-21八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交，轴于点，，将直线绕点按顺时针方向旋转45°，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 变式6-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 类型七、定点动直线问题 例7．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数， （1）此函数恒过定点 ； （2）当时，一次函数的值有正有负，则实数a的取值范围是 ． 变式7-1．（24-25八年级下·北京·期中）对于两个一次函数，我们称一次函数为这两个函数的复合函数．已知一次函数与的复合函数的图象经过第一、第三、第四象限，常数m满足的条件是 ；若，一次函数与的复合函数的图象必经过定点 ． 类型八、动点定直线问题 例8．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点在该直线上，点为线段的中点，为线段上一动点，则当的值最小时，点的坐标为 ． 变式8-1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线上一点，过点的直线轴，在上有一动点，连接、，的周长最小，则点坐标为 ． 变式8-2．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，直线与轴相交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数关系式： (2)点为轴上一个动点，过点作轴交直线于点，若线段，求的值． 类型九、两直线平行问题 两直线平行的判别方法 步骤 1：将两条直线的解析式化为 y = kx + b 的标准形式（若为特殊直线单独判断）； 步骤 2：对比两条直线的k值（斜率）： 若k1 ≠ k2：两条直线相交（不平行）； 若k1 = k2：继续对比b值（截距）； 步骤 3：判断b值：若b1 ≠b2：两条直线平行；若b1 =b2：两条直线重合（不是平行）。 例9．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）已知一次函数，请解答下列问题： (1)k为何值时，该函数的图象与直线平行？ (2)k为何值时，随增大而增大？ 变式9-1．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知函数，（为常数）． (1)若该函数的图象与直线平行，求的值； (2)若这个函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限，求的取值范围． 变式9-2．（24-25八年级上·全国·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与轴交于点 (1)求该一次函数的函数表达式； (2)根据（1）的结果，对于，请说明随的变化情况； (3)若一次函数图象上有两点、，，求的值； 类型十、两直线垂直问题 一般情况下，两条一次函数的图像垂直的必要条件是斜率乘积为-1 例10．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数表达式． 变式10-1．（20-21八年级下·广西南宁·期末）阅读理解：已知直线的解析式为（为常数），直线的解析式为（为常数），若，则有． (1)已知直线与直线垂直，求的值； (2)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数解析式； (3)已知直线与轴、轴分别相交于点，求线段的垂直平分线所对应的函数解析式． 变式10-2（2025八年级下·全国·专题练习）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点、，直线经过点B，并且与直线垂直，点P在直线l上，且是等腰直角三角形． (1)求直线的解析式； (2)求点P的坐标． 1．（25-26八年级上·安徽池州·期中）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西运城·期中）一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知过点的直线不经过第四象限．设，则（   ） A．有最大值，最大值为6 B．有最小值，最小值为6 C．有最大值，最大值为 D．有最小值，最小值为 5．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）若点的坐标可表示为，如果是任意实数，那么点一定不在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（20-21九年级下·湖南株洲·自主招生）函数的最大值与最小值的和是（    ） A．8 B．10 C． D．12 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）已知某一次函数的图像与直线平行，且过点，那么该一次函数的表达式是 ． 9．（25-26八年级上·江西九江·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)写出y与x之间的函数关系式． (2)当时，求y的最大值． 10．（25-26七年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中直线的图象是由的图象平移得到的，且经过点． (1)求的表达式； (2)若点为直线上一点，求的值． 11．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 12．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）探究函数的图象与性质．请将探究过程补充完整： (1)第一步：确定自变量的取值范围．函数的自变量x的取值范围是 ； (2)第二步：列表．下表是x与y的几组对应值 x … 0 1 … y … m 0 n … 表中m＝ ，n＝ ； (3)第三步：在如图的网格中，建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)第四步：根据函数图象得出关于函数的以下结论：①函数有最大值为0；②当时，y随x的增大而减小；③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称．其中正确的是 ．（只填序号） (5)函数的图象可以看作是由函数的图象向 （填“左”或“右”平移 个单位长度，再向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度得到的． 13．（21-22八年级上·陕西宝鸡·期中）（1）阅读理解：我们知道：平面内两条直线的位置关系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情况．在坐标平面内有两条直线：；，有下列结论：当时，直线直线；当时，直线直线． （2）实践应用： ①直线与直线垂直，则 ． ②直线m与直线平行，且经过点，则直线m的解析式为 ． ③直线向右平移 个单位，其图像经过点． （3）深入探索：如图，直线与x轴交于点B，且经过点A，已知A的横坐标为2，点P是x轴上的一动点，当为直角三角形时，求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 一次函数的图像与性质十类综合题型 典例详解 类型一、一次函数的性质 类型二、一次函数的图像与性质的关系 类型三、两条直线的位置与系数的关系 类型四、一次函数图像的平移 类型五、一次函数图像的对称 类型六、一次函数图像的旋转 类型七、定点动直线问题 类型八、动点定直线问题 类型九、两直线平行问题 类型十、两直线垂直问题 压轴专练 类型一、一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 例1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．函数的图象与轴的交点坐标是 B．函数的图象经过第二、三、四象限 C．函数的图象向上平移3个单位长度得的图像 D．点、在函数图像上，若，则 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质． 根据一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：选项A：当时，，∴图像与轴交于点，A正确； 选项B：∵，，∴图像经过第二、三、四象限，B正确； 选项C：图像向上平移3个单位，解析式变为，∴C正确； 选项D：∵ ，∴随的增大而减小，若 ，则 ，∴D错误； 故选：D． 变式1-1．（25-26八年级上·全国·期中）若，直线不经过第四象限，则直线一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由条件和直线不经过第四象限，推导出a、b、c的符号关系，判断所经象限即可． 【详解】解：∵直线不经过第四象限，， ∴且， ∴由得a与b同号； 由得，即c与a异号， 若，则，，此时，与矛盾； 故，，， ∴直线中，，， ∴直线一定不经过第二象限； 故选B． 变式1-2．（25-26八年级上·山东济南·期中）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴交点坐标为 B．若为图象上两点，当时， C．与一次函数的图象平行 D．不会同时经过第一象限和第二象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象性质，包括与坐标轴交点、增减性、平行条件及象限分布．需逐一分析各选项即得． 【详解】A、∵令，得， ∵， ∴，交点为， 故A错误． B、∵ 函数的斜率是k， 当时y随x增大而增大， 当时y随x增大而减小， 选项B中仅当时成立， 但不恒成立， 故B错误． C、∵ 函数与的斜率均为k， ∴ 两直线平行， 故C正确． D、∵ 当时，函数经过第一、二、三象限； 当时，经过第二、三、四象限， 故可能同时经过第二象限（时）， 故D错误． 故选：C． 变式1-3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】此题考查一次函数的图象与性质，由于直线 的斜率为负，函数递减，且 ，因此 ，直线与 轴交于点 ，当 时 ，当 时 ；选项C中， ， 且 ，结合 ，得 ，因此 且 ，故 恒成立，其他选项均无法确定符号的正负． 【详解】∵ 为减函数，且 ， ∴ ， 对于选项A，若 ， ∵ ，∴ 且 或且， ∴或，但不能确定的正负，故选项A不符合题意； 对于选项B，若，则异号，但不能确定的正负，故选项B不符合题意； 对于选项C：若 ， ∵ ，∴ 且 ， 又 ∵ ，∴ ， ∴ ，， ∴ 恒成立； 对于选项D，若，则同号，但不能确定的正负，故选项D不符合题意； 故选C． 变式1-4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求的值； (2)若随着的增大而减小，求的取值范围； (3)若，当时，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)14 【分析】本题考查了图象过原点，不等式的解法，一次函数的性质． （1）把原点坐标代入解析式解答即可． （2）根据y随着x的增大而减小，可得，进一步解答即可． （3）当时，确定，判定y随x的增大而增大，结合，当时，y取得最大值，结合解析式解答即可． 【详解】（1）解：把原点坐标代入解析式， 得， 解得． （2）解：y随着x的增大而减小， ， 解得． （3）解：当时，函数的解析式为， ， y随x的增大而增大， 当时，时，y取得最大值， 故y的最大值为． 类型二、一次函数的图像与性质的关系 一次函数图像的性质 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 例2．（20-21八年级上·山东枣庄·期末）已知： 一次函数的图像经过点和点 且， 则它的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，结合一次函数的性质即可得出与y轴交于负半轴，再根据，，可得，此题得解． 【详解】解：∵一次函数， 当时，， ∴与y轴交于负半轴， ∵，， ∴，过二四象限， 可知B正确， 故选：B． 变式2-1．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）一次函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：，⇔的图象在一、二、三象限；，⇔的图象经过一、三、四象限；，⇔的图象经过一、二、四象限；，⇔的图象经过二、三、四象限． 根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置． 【详解】解：一次函数的图象经过一、二、四象限， ，． ，． 函数的图象经过一、二、四象限． 故选：C． 变式2-2．（25-26八年级上·广东深圳·月考）已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出，，此题得解． 【详解】解：观察图形可知：一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，． 故选：B． 类型三、两条直线的位置与系数的关系 两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 例3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象性质，解题的关键是根据两个函数的系数关系（与的符号），判断图象特征是否一致（正比例函数过象限由符号决定，一次函数过象限由的增减性和的截距符号决定）． 先根据正比例函数的图象判断的符号（确定与异号或同号）；再根据该符号关系，判断一次函数的增减性（的符号）和轴截距（的符号），验证是否与选项中一次函数的图象特征一致；同时排除正比例函数不经过原点的选项． 【详解】解：∵ 是正比例函数，图象必过原点， ∴ 选项C中正比例函数不经过原点，此选项不符合题意； 剩余选项中，正比例函数均经过第二、四象限，故，即与异号（一正一负）． A、一次函数过第二、三、四象限，说明（函数递减）且（截距在轴负半轴），则与同号，与矛盾，此选项不符合题意； B、一次函数过第一、三、四象限，说明（函数递增）且（截距在轴负半轴），则与异号，与一致，此选项符合题意； D、一次函数过第一、二、三象限，说明（函数递增）且（截距在 轴正半轴），则与同号，与矛盾，此选项不符合题意； 故选：B． 变式3-1．（24-25八年级下·广东中山·期中）已知直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键． 根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决． 【详解】A、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意； B、直线中，，，中，，，、的取值一致，故本选项符合题意； C、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 变式3-2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与性质．根据题中选项的图，假定其中一条直线的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案． 【详解】解：A、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； B、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； C、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； D、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 故选：A． 类型四、一次函数图像的平移 例4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知将直线向下平移3个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（   ） A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点均在一次函数的图象上，则 【答案】C 【分析】根据上加下减原则，确定一次函数的表达式，再根据一次函数的性质判断解答即可． 本题考查了一次函数的平移，一次函数的性质，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得直线向下平移3个单位，所得一次函数的表达式为：， ∵直线向下平移3个单位长度得到一次函数的图象， 故， 故选项A正确； 当 时，， 故图象经过点 ， 故选项B正确； 当时，， ∵， 故随增大而增大， 故时，， 故选项C错误； 由点均在一次函数的图象上， 且即， ∵， 故随增大而增大， 故 故选项D正确． 故选：C． 变式4-1．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位，使其与函数的交点位于第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，将直线的图象向下平移m个单位可得，求出直线与直线的交点，再由此点在第四象限可得出m的取值范围． 【详解】解：将直线的图象向下平移m个单位可得， 联立两直线解析式得：， 解得：， 即交点坐标为， ∵交点在第四象限， ∴， 解得：． 故选：A． 变式4-2．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与正比例函数的图象重合，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数的平移规律．根据一次函数的平移规律求出m、n的值，即可求出的值． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度得： ， ∵平移后的函数图象与正比例函数的图象重合， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：1． 变式4-3．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过点． (1)求的值； (2)若一条直线与函数的图象平行，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”，平移后的k值不变，是解题的关键． （1）一次函数的图象向上平移k个单位后，解析式为，将点代入可求k的值； （2）依题意设所求直线解析式为，则图象与坐标轴两交点坐标为，由面积公式求b即可． 【详解】（1）解：根据平移规律可知，平移后解析式为， 将点代入， 得， 解得； （2）解：设所求直线解析式为， 则图象与坐标轴两交点坐标为． 由三角形面积公式得， 解得， ∴或（不合题意，舍去）， 故所求直线的函数关系式为． 变式4-4．（19-20八年级下·广东广州·期末）已知正比例函数的图象过点，一次函数的图象是由正比例函数的图象向下平移得到的，且过点，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【分析】题目主要考查确定正比例函数和一次函数的解析式，一次函数的平移，根据题意得出，确定，再由待定系数法即可求解． 【详解】解： 的图象过点 ， ，即 ， 的图象是由正比例函数 的图象向下平移得到的， ， 一次函数过点 ， ， 这个一次函数的解析式为 ． 类型五、一次函数图像的对称 例5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 首先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线 ∴当时，， ∴直线与y轴的交点为； ∴当时，， 解得 ∴直线与x轴的交点为 ∵一次函数的图象与直线关于轴对称， ∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为 设一次函数的解析式为 ∴ ∴ ∴此一次函数的解析式为． 故选：A． 变式5-1．（24-25八年级下·北京·期中）对于函数的图象我们可以这么理解：如果点在的图象上，那么点一定也在的图象上．我们发现：点和点是关于y轴对称的．若在函数上，存在两个点，给出下面四个结论： ①若，当时，x有唯一的对应值5； ②当点A在点B上方时，则无论a为何值，都有； ③若，，则无论a为何值，都有；   ④若对于，，都有，则a满足条件的最大整数值为． 上述结论中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】结论①：当时，方程的解为或，存在两个解，故①错误． 结论②：点A在点B上方仅表示，不保证，故②错误． 结论③：代入和求解即可判断③错误． 结论④：根据得到，则，然后得到，，代入求出，进而求解即可． 【详解】①当时， 当时，得 解得得或，结论错误； ②点A在点B上方仅说明，但无法确定与的大小关系，结论错误； ③将和代入， 得，， ∴，结论错误； ④若对于，，都有， 则， ， 整理得：， ，， ，， ， ，即， 满足条件的最大整数值为0．故④错误． 综上，正确结论的个数是0． 故选A． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，解不等式组等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 变式5-2．（23-24八年级下·四川成都·自主招生）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“型函数”．例如：图就是一次函数关于直线的“型函数”图象．若函数关于直线的“型函数”图象与轴只有一个交点，则 ．如图，点，以为斜边在轴上方作等腰，当函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】根据“型函数”的定义可知“型函数”图象与轴只有一个交点时，该交点即函数本身与轴的交点；先求出函数与轴的交点坐标，结合函数图象分析即可得解． 【详解】解：令，则， ， 函数关于直线的“型函数”图象与轴只有一个交点， ； 等腰中，点， ， 点， 直线的解析式为， 解方程， ， 函数与轴的交点为， 当时，函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点， 直线与的边已经有两个交点， 函数关于直线的“型函数”图象与的边不能再有交点，即在点的左侧， 与点关于对称， 时，函数关于直线的“型函数”图象经过点， 函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，的取值范围为或． 故答案为：①；②或． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质，解题关键是运用数形结合的思想解题． 变式5-3．（24-25八年级下·广西南宁·期末）学习一次函数后，小宁知道：若已知直线上两个点的坐标，就能用待定系数法求出该直线的解析式．例如：已知直线的解析式为，分别与轴，轴交于点，点．求直线关于轴的对称直线的解析式．解题思路为： 第一步：求出，两点的坐标； 第二步：求出点关于轴的对称点的坐标； 第三步：由，两点的坐标，用待定系数法，即可求出直线的解析式． 阅读以上材料，完成下列任务． (1)直接写出点的坐标； (2)若直线与直线关于轴对称； ①求出直线的解析式； ②在①的条件下，若点为直线上的一个动点，当点的横、纵坐标之和为3时，求点的坐标； ③在②的条件下，将直线向下平移个单位长度后得到直线，若直线与轴的交点为，且满足时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求解析式，一次函数的平移与轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）令，得出，即可求解； （2）①先求出与轴交点坐标为 ， ，则与轴对称的点坐标为，，然后利用待定系数法即可求解； ②设，根据点的横、纵坐标之和为3，求得，即可求解； ③设直线的解析式求得，进而根据，建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：直线的解析式为， 当时， ∴ （2）①解：由得，当时，当时，， ∴与轴交点坐标为，， ∴与轴对称的点坐标为，， 设直线关于轴对称的直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线关于轴对称的直线的解析式； ， ②设， ∵点的横、纵坐标之和为3 ∴ 解得： ∴ ③设直线的解析式 当时， ∴ ∵ ∴ 解得： 类型六、一次函数图像的旋转 例6．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（   ） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】B 【分析】根据已知条件得到，，过A作交于F，过F作轴于E，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，求得，求得直线的函数表达式，据此求解可得到结论． 【详解】解：∵一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令，得，令，则， ∴，， ∴， 过A作交于F，过F作轴于E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为：， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为：， ∴， ∴， ∴的面积是， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 变式6-1．（20-21八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交，轴于点，，将直线绕点按顺时针方向旋转45°，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 【答案】y=3x-2 【分析】根据已知条件得到A（-1，0），B（0，-2），求得OA=1，OB=2，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB=AF，根据全等三角形的性质得到AE=OB=2，EF=OA=1，求得F（1，1），设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，解方程组于是得到结论． 【详解】解：∵一次函数y=-2x-2的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令x=0，得y=-2，令y=0，则x=-1， ∴A（-1，0），B（0，-2）， ∴OA=1，OB=2， 过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E， ∵∠ABC=45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AB=AF， ∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°， ∴∠ABO=∠EAF， 在△ABO和△FAE中， ， ∴△ABO≌△FAE（AAS）， ∴AE=OB=2，EF=OA=1， ∴F（1，1）， 设直线BC的函数表达式为：y=kx+b， ∴，解得， ∴直线BC的函数表达式为：y=3x-2， 故答案为：y=3x-2． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 变式6-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 类型七、定点动直线问题 例7．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数， （1）此函数恒过定点 ； （2）当时，一次函数的值有正有负，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系． （1）函数解析式化成，当时，，据此可求得答案； （2）分和两种情况讨论，把和分别代入解析式，列出关于a的不等式组，据此求解即可． 【详解】解：（1）关于x的一次函数， 当时，即时，， ∴此函数恒过定点， 故答案为：； （2）∵一次函数的值有正有负， ∴， 当时，随的增大而增大， ∵当时，一次函数的值有正有负， ∴当时，， 解得， ∴当时，， 解得， ∴没有解集，不符合题意，舍去； 当时，随的增大而减少， ∵当时，一次函数的值有正有负， ∴当时，， 解得， ∴当时，， 解得， ∴， 综上，实数a的取值范围是． 故答案为：． 33．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）无论k取何值，关于x的一次函数的图象必经过定点 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 将一次函数解析式化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵无论k取何值，一次函数的图象必过定点， ∴， 解得， ∴无论k取何值，一次函数的图象必过定点． 故答案为：． 变式7-1．（24-25八年级下·北京·期中）对于两个一次函数，我们称一次函数为这两个函数的复合函数．已知一次函数与的复合函数的图象经过第一、第三、第四象限，常数m满足的条件是 ；若，一次函数与的复合函数的图象必经过定点 ． 【答案】 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特点，根据题意理解复合函数的表达式是解题的关键．先根据复合函数的定义得出一次函数与的复合函数，再由复合函数的图象经过第一、三、四象限得出关于的不等式，求出的取值范围即可；先求出一次函数与的复合函数，进而可得出结论． 【详解】解：一次函数与的复合函数为， 复合函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得， 依题意，一次函数与的复合函数为， ， ， ， ， 当时，函数值与无关， 解得，此时， 复合函数的图象经过定点． 故答案为：；． 类型八、动点定直线问题 例8．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点在该直线上，点为线段的中点，为线段上一动点，则当的值最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点C、的坐标求出直线的解析式，令即可求出x的值，从而得出点P的坐标． 【详解】解：作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时值最小，最小值为，如图．    ∵点在上， ∴ 解得： ∴， ∴点B的坐标为； 令中，则，解得：， ∴点A的坐标为． ∵点D为线段的中点， ∴点． ∵点和点D关于x轴对称， ∴点的坐标为． 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 令，则，解得：， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 变式8-1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线上一点，过点的直线轴，在上有一动点，连接、，的周长最小，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、轴对称-最短线路问题，熟练掌握以上知识点是关键． 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时的周长最小，先求出值，得到坐标，利用待定系数法求出直线解析式，由解析式得到点坐标即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时的周长最小， ∵点在一次函数的图象上， ， ∴， 在一次函数中，当时，当时， ∴，， 设直线解析式为，由条件可得： ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ， 故答案为：． 变式8-2．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，直线与轴相交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数关系式： (2)点为轴上一个动点，过点作轴交直线于点，若线段，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了函数图象中坐标的求法以及线段长度的表示法． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点或，再分别代入求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数关系式为：， 把，代入得：， 解得：， 直线的函数关系式为：； （2）解：点，，且， 点或， ①把点代入得：； ②把点代入得：． 的值为或． 类型九、两直线平行问题 两直线平行的判别方法 步骤 1：将两条直线的解析式化为 y = kx + b 的标准形式（若为特殊直线单独判断）； 步骤 2：对比两条直线的k值（斜率）： 若k1 ≠ k2：两条直线相交（不平行）； 若k1 = k2：继续对比b值（截距）； 步骤 3：判断b值：若b1 ≠b2：两条直线平行；若b1 =b2：两条直线重合（不是平行）。 例9．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）已知一次函数，请解答下列问题： (1)k为何值时，该函数的图象与直线平行？ (2)k为何值时，随增大而增大？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两直线平行，则一次项系数相等，常数项不等，列式求解即可； （2）根据y随x的增大而增大可知：，求解即可； 本题考查了两直线相交或平行的性质、一次函数图象与系数的关系，解题的关键是：①当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，②两直线平行时，一次项系数相等． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：由题意得， 解得：． 变式9-1．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知函数，（为常数）． (1)若该函数的图象与直线平行，求的值； (2)若这个函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两条直线的平行问题，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象与直平行得出，解方程求出的值，即可； （2）依据题意，由函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限得出，解不等式组，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵函数的图象与直平行， ∴， 解得：． （2）解：∵函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限， ∴ 解得：． 变式9-2．（24-25八年级上·全国·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与轴交于点 (1)求该一次函数的函数表达式； (2)根据（1）的结果，对于，请说明随的变化情况； (3)若一次函数图象上有两点、，，求的值； 【答案】(1)； (2)随的增大而增大； (3)． 【分析】此题考查两直线平行问题，关键是根据两直线平行的特点解答． （1）根据两直线平行，则函数解析式的一次项系数相同，即可确定k的值，把的坐标代入求得b，求出即可． （2）根据一次函数的性质解答即可； （3）联立方程组解答即可． 【详解】（1）因为一次函数的图象与直线平行， 所以； 又因为一次函数的图象与轴交于点； 所以有，即可得； 该一次函数的函数表达式为． （2）∵中,∴随的增大而增大； （3）因为点、在函数图象上， 所以有，   两式相减，得， 所以． 类型十、两直线垂直问题 一般情况下，两条一次函数的图像垂直的必要条件是斜率乘积为-1 例10．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数表达式． 【答案】直线解析式为． 【分析】此题考查了一次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，由得：，根据题意画出图象，当时，，当时，，得到，，再根据等腰直角三角形的性质与判定得出，求出，最后根据待定系数法求解析式即可，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】解：由得：， ∴图象如图， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为． 变式10-1．（20-21八年级下·广西南宁·期末）阅读理解：已知直线的解析式为（为常数），直线的解析式为（为常数），若，则有． (1)已知直线与直线垂直，求的值； (2)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数解析式； (3)已知直线与轴、轴分别相交于点，求线段的垂直平分线所对应的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由材料中，若，则有，结合直线与直线垂直，列式求解即可得到答案； （2）由材料中，若，则有，结合直线与直线垂直，设直线的表达式为，利用待定系数法求解即可得到答案； （3）由直线与轴、轴分别相交于点，求出、，进而得到的中点坐标为和，由材料中若，有，设线段的垂直平分线的表达式为，利用待定系数法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与直线垂直， ∴， 解得； （2）解：∵直线与直线垂直， ∴设直线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：直线与轴、轴分别相交于点， 当时，，即； 当时，，解得，即； 的中点为， 直线，即， 设线段的垂直平分线的表达式为， 将代入得，解得， ∴线段的垂直平分线的表达式为． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及直线垂直时的关系、待定系数法求直线表达式、一次函数图象与性质、中点坐标公式等知识，读懂题意，理解，有是解决问题的关键． 变式10-2（2025八年级下·全国·专题练习）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点、，直线经过点B，并且与直线垂直，点P在直线l上，且是等腰直角三角形． (1)求直线的解析式； (2)求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把点、代入，根据待定系数法即可求得； （2）作轴于C，证得，从而得出，，根据图象即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：把点、代入中得： ， 解得：， 则直线解析式为； （2）解：如图所示：作轴于C， ∵直线l经过点B，并且与直线垂直． ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点P的坐标， 由中点坐标公式可得 ． 综上：点P的坐标或； 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质等，作出合适的辅助线是解本题的关键． 1．（25-26八年级上·安徽池州·期中）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性和图象与坐标轴的交点特征是解题的关键．根据一次函数的增减性得到，再根据图象与轴的交点的位置得到，进而求出实数的取值范围． 【详解】随的增大而减小， ，即． 图象与轴的交点在轴下方， 当时，，即． 的取值范围是且，即． 故选：． 2．（25-26八年级上·山西运城·期中）一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据一次函数的性质和正比例函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合题意． 【详解】解：选项A中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项A不符合题意； 选项B中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项B不符合题意； 选项C中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项C符合题意； 选项D中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，一次函数的图象，一次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 先根据题意得出，进而可得出结论． 【详解】解：正比例函数经过第二、四象限， ， ，， 函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知过点的直线不经过第四象限．设，则（   ） A．有最大值，最大值为6 B．有最小值，最小值为6 C．有最大值，最大值为 D．有最小值，最小值为 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线过点且不经过第四象限，可得，且．将用m表示，根据m的取值范围确定S的最值． 【详解】∵ 直线过点， ∴，即． ∵ 直线不经过第四象限， ∴， ∴，解得， ∴． ． ∵， ∴ S随m增大而减小． ∴ 当时，S取最小值，； 当时，，但无法取到6，故S无最大值． ∴ S有最小值，最小值为． 故选：D． 5．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）若点的坐标可表示为，如果是任意实数，那么点一定不在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了各象限内坐标符号的特征，利用数形结合思想分析一次函数的图象是解题的关键． 通过设、，得到点的轨迹为直线，再分析该直线经过的象限即可求解正确答案． 【详解】解：令，则， ，则， ， ． 即点一定在直线上，由函数的图象可知该直线经过第二、三、四象限，故不可能在第一象限． 故选：A 6．（20-21九年级下·湖南株洲·自主招生）函数的最大值与最小值的和是（    ） A．8 B．10 C． D．12 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，一次函数，掌握这些知识点是解题的关键． 分类讨论：①当时，②当时，逐个求出y的值，继而确定y的最大值与最小值，即可解答． 【详解】解：①当时，； 由，得y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值为， 当时，， ∴当时，， ②当时，； 综上所述，当时，函数的最大值为5，最少值为3， ∴． 故选A． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握数形结合的思想以及举反例的方法是解题的关键． 先求出此直线交y轴于，交x轴于，画出图象，结合一次函数的增减性逐项判断即可解答， 【详解】解：当时，，则此直线交y轴于， 当时，，解得：，则此直线交x轴于， 当时，；当时，； 画出一次函数的图象如图所示： ， A．若且， ∴或， 当时，若，则，即，即A选项不符合题意； B．若且， ∴或或， 当时，若，则，即，即B选项不符合题意； C．若且， ∴， 当，则，即，即C选项不符合题意； D．若且， ∴， ∴，即，即D选项符合题意． 故选：D． 8．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）已知某一次函数的图像与直线平行，且过点，那么该一次函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】利用两直线平行则k相等设出解析式，再代入点即可． 【详解】解：设该一次函数的表达式为 因为函数的图像与直线平行 所以 把点代入 得：，解得：． 所以该一次函数的表达式为：． 【点睛】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同． 9．（25-26八年级上·江西九江·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)写出y与x之间的函数关系式． (2)当时，求y的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求函数的解析式等知识点，能求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）设（为常数，），把，代入求出即可； （2）根据一次函数的增减性，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴可设（为常数，）， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：，即． （2）解：∵y与x之间的函数关系式为， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，y取到最大值为：． 10．（25-26七年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中直线的图象是由的图象平移得到的，且经过点． (1)求的表达式； (2)若点为直线上一点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，平移的性质是解题的关键． （1）根据平移可得两个一次函数的相等，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）将点代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，一次函数：的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点， ∴经过点， ∴， 解得； ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵点在上， ∴， 解得． 11．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 【答案】(1)y轴，或； (2)①见解析；② (3)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 【分析】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数图象的平移规律进行解答即可． 【详解】（1）∵中，当时，，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或， ∴当，或时，； 故答案为：y轴，或； （2）①在中，令，则，令，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数即的图象 【点睛】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数的平移，是解决问题在关键． 12．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）探究函数的图象与性质．请将探究过程补充完整： (1)第一步：确定自变量的取值范围．函数的自变量x的取值范围是 ； (2)第二步：列表．下表是x与y的几组对应值 x … 0 1 … y … m 0 n … 表中m＝ ，n＝ ； (3)第三步：在如图的网格中，建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)第四步：根据函数图象得出关于函数的以下结论：①函数有最大值为0；②当时，y随x的增大而减小；③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称．其中正确的是 ．（只填序号） (5)函数的图象可以看作是由函数的图象向 （填“左”或“右”平移 个单位长度，再向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度得到的． 【答案】(1)全体实数 (2)； (3)见解析 (4)①②③ (5)右；5；上；1 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，熟练掌握相关知识点，能从图象获取函数的性质是解题的关键； （1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围； （2）根据函数解析式可以得到m，n的值； （3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象； （4）根据函数图象可以判断该函数的性质； （5）根据平移的性质解答即可． 【详解】（1）函数的自变量x的取值范围是全体实数． 故答案为：全体实数． （2）当时，； 当时，； 故答案为：；． （3）画出函数的图象如图： （4）由图知，函数有最大值为0；当时，y随x的增大而减小；图象关于过点且垂直于x轴的直线对称．故正确的是①②③； 故答案为：①②③． （5）函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的． 故答案为：右；5；上；1． 13．（21-22八年级上·陕西宝鸡·期中）（1）阅读理解：我们知道：平面内两条直线的位置关系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情况．在坐标平面内有两条直线：；，有下列结论：当时，直线直线；当时，直线直线． （2）实践应用： ①直线与直线垂直，则 ． ②直线m与直线平行，且经过点，则直线m的解析式为 ． ③直线向右平移 个单位，其图像经过点． （3）深入探索：如图，直线与x轴交于点B，且经过点A，已知A的横坐标为2，点P是x轴上的一动点，当为直角三角形时，求的面积． 【答案】（2）①；②；③；（3）9或 【分析】（2）①根据“当时，直线直线”列式即可求得m；②设直线m的函数解析式为，将代入求得b的值即可；③设直线平移后经过的函数解析式为，然后将代入可求得a的值，然后分别求出平移前后直线于x交点的横坐标，最后作差即可解答； （3）先确定的坐标，然后分当轴和两种情况分别求出P的坐标，进而求得的面积即可． 【详解】解：（2）①∵直线与直线垂直， ∴，解得：， 故答案为：； ②∵直线m与直线平行， ∴设直线m的函数解析式为，将代入得， ∴直线m的解析式为：， 故答案为：； ③设直线平移后经过的函数解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴与x轴交点为，与x轴交点为， ∴向右平移了个单位． 故答案为：． （3）由题意知：， 当为直角三角形时，存在两种情形， ①当轴时，， ∴ ②当时，设的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， ∴点， ∴， ∴． 综上：的面积为9或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质等知识点，读懂题意、运用材料结论解决问题是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $