专题12一次函数的定义七类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题12 一次函数的定义七类综合题型 典例详解 类型一、函数的三种表达方式 类型二、求自变量的取值范围 类型三、求函数的函数值 类型四、正比例函数的定义 类型五、根据一次函数的定义求参数 类型六、待定系数法求一次函数表达式 类型七、根据图像面积求函数解析式 压轴专练 类型一、函数的三种表达方式 函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 例1．（24-25七年级下·山东青岛·期末）五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（   ） A．自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米 C．摩天轮转一周需要9分钟 D．当时，小明处于上升状态 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确认识图象，理解自变量和应变量是解题的关键． 根据函数图象，结合题意，逐一判断各选项，可得到结果． 【详解】解： A．根据图形，可得到自变量为小明坐上摩天轮后的旋转时间，因变量是小明离地面的高度，故原说法错误，此选项不符合题意； B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面45米，故原说法错误，此选项不符合题意； C．摩天轮转一周需要6分钟，故原说法错误，此选项不符合题意； D．当时，小明离地面的高度越来越大，所以处于上升状态，故说法正确，此选项符合题意； 故选：D． 变式1-1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）变量x，y的一些对应值如表： 0 1 2 3 0 1 8 27 根据表格中的数据规律，当时，y的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格中两个变量对应值的变化规律得出答案，发现表格中两个变量对应值的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知：， ∴当时，， 故答案为：． 变式1-2．（24-25七年级下·山东济南·期末）张师傅非常喜欢自驾游，为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 120 240 360 480 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 张师傅将油箱加满后驾驶该轿车从地前往地，到达地时油箱中的剩余油量为，那么、两地之间的距离是 ． 【答案】660 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，有理数混合运算的应用，得出变量之间的关系是解题关键．由表格可知，初始油量为，每行驶耗油，据此列式计算即可． 【详解】解：由表格可知，初始油量为，每行驶耗油， 则、两地之间的距离是， 故答案为：660． 变式1-3．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 【详解】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点． 类型二、求自变量的取值范围 例2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数中自变量的取值范围，分式有意义的条件． 直接根据分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件可得：， ∴ 即自变量的取值范围是， 故选：C． 变式2-1．（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件，即分母不等于0是解题的关键． 根据分母不为0建立不等式，求解即可． 【详解】由题意，得， 解得， 故选：A． 变式2-2．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件和求函数自变量的范围，明确分式的分母不为0是解题的关键．根据分式的分母不能为零，得，可得答案． 【详解】解：当时，有意义， ， 解得． 自变量x的取值范围是． 类型三、求函数的函数值 例3．（2022九年级上·浙江台州·竞赛）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键． 先根据题意求出a、b值，再代值求解函数值即可． 【详解】解：∵当时，， ∴，整理，得； ∵当时，． ∴，整理，得； 得，解得， 将代入①中，得， ∴， ∴当时， ∴ ． 故选：C． 变式3-1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数值，根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系为，将代入求值即可，解题的关键是正确列出函数关系式． 【详解】解：由题意，得， 当时，， 故答案为：． 变式3-2．（25-26七年级上·四川雅安·期中）定义，即当时，；当时，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数性质和（其中）的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用函数性质和（其中），将原式中的负自变量转换为正自变量，并配对求和，然后即可求解； 【详解】解：由，可得，且当时，， 原式， 利用，得：原式， 分组求和：原式， 由，对 到，有，共对： ∴ ， ∵， ∴原式； 故答案为：； 变式3-3．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，根据程序计算函数值． (1)当输入的x的值是时，输出的结果y是多少？ (2)当输入的x的值是多少时，输出的结果y是？ 【答案】(1) (2)6或 【分析】本题考查了分段函数． （1）由将代入计算即可； （2）根据平方的非负性可知输入的x的取值范围不可能为，将代入其他两段函数计算即可． 【详解】（1）把代入，得； （2）∵输出值为， ∴输入的x的取值范围不可能为， ∴对于，当时，； 对于，当时，． ∴输入的x的值是6或． 类型四、正比例函数的定义 例4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，其中与成正比例，与成正比例，当时，，当时，，则与之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 根据正比例函数的定义得到，，则，然后利用待定系数法求与的函数关系式． 【详解】解：设，，则， 根据题意得， 解得， 所以与的函数关系式为， 故答案为：． 变式4-1．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）若函数是关于的正比例函数，求的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数．根据正比例函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的正比例函数， ∴，， ∴． 变式4-2．（20-21八年级下·四川德阳·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求当时的函数值； (3)如果y的取值范围是，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，解一元一次不等式组等，根据与成正比例设解析式是解题的关键； （1）设函数的解析式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求把代入解析式求解即可； （3）根据y的取值范围得到关于x的不等式组，据此求解即可． 【详解】（1）由题可设，， 又当时，， ， 解得， ， 整理得，． y与x之间的函数关系式为． （2）当时，． （3）， ，即， 解不等式组得． x的取值范围是． 类型五、根据一次函数的定义求参数 1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数. 3. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x出现在分母，根号内，则需考虑以下情况： 1）整个分母不能等于0； 2）根号里的整个式子要大于或等于0. 4. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. 例5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：C． 变式5-1．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知是关于的一次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是根据一次函数的定义列出关于的方程和不等式． 根据一次函数（、为常数，）的定义，可得且，解方程组和不等式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的一次函数， 的指数 ，且系数 ． 解方程 得 ， ． 又 ，即 ， ． 故答案为： 变式5-2．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）已知函数是一次函数，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的概念，掌握形如的函数叫一次函数是解题的关键． 根据的函数叫一次函数，得，再计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 类型六、待定系数法求一次函数表达式 用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 例6．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若点也在该函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象性质． （1）利用待定系数法，将已知点坐标代入函数式得到方程组，解出系数即可得到函数表达式； （2）对于点在该函数图像上，将其坐标代入表达式解方程即可求出参数值． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得： 解得： 所以一次函数的表达式为 （2）解：将点代入， 得： 解得： 变式6-1．（25-26八年级上·吉林·期中）已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的关系式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上并说明理由． 【答案】(1) (2) 点在一次函数的图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法，将点，代入一次函数，解方程组求和即可； （2）将点的横坐标代入函数解析式，计算值，与点的纵坐标比较即可判断． 【详解】（1）解：设一次函数关系式为， 把，代入得： ，解得， 这个一次函数的关系式为； （2）解：点在一次函数的图象上，理由如下： 当时，， 点在一次函数的图象上． 变式6-2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____． (2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或或． 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，全等三角形的性质． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况讨论，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 把，代入，得：， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 当时，且点在点的上方，如图： ∴，，即轴， ∴，即， ∴； 当时，且点在点的上方，如图：作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 当时， ∴； 当时，且点在点的下方，如图： 同理，； 综上，点C的坐标为或或． 类型七、根据图像面积求函数解析式 例7．（18-19八年级下·广东广州·期末）若直线的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】求出直线与x轴和y轴的交点，从而可表示出直线与坐标轴围成的直角三角形的面积，根据该面积为2即可求出b的值．本题考查了一次函数图象的性质，求出直线与坐标轴的交点是解题的关键． 【详解】解：对于， 令，则， 令，则， ∴直线的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为， 解得， 故答案为：． 变式7-1．（25-26八年级上·辽宁·期中）已知直线与两条坐标轴围成的三角形面积为12，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点与相关三角形的面积问题．求出直线与坐标轴的交点坐标或坐标表达式，根据三角形的面积公式建立关系式，即可求出k的值． 【详解】解：当时，，当时，， 直线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， 则与坐标轴围成的三角形的面积为， 解得， 故答案为：． 变式7-2．（21-22八年级上·江西九江·期中）已知直线经过点，且它与坐标轴围成的三角形面积为．若函数满足随的增大而减小，求的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．根据题意得出直线与轴的交点为，进而根据三角形的面积公式，得出的值，即可求解． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴直线与轴的交点为， ∵直线与坐标轴围成的三角形面积为， ∴， 解得：， ∵函数满足随的增大而减小， ∴， ∴， ∴直线解析式为：． 1．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知一次函数的图象经过点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数图象及性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的图象经过点和，可知得，由，可得，将点代入函数表达式得，由且，可得且，即可得解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， 将点代入函数表达式得，变形得， ∵且， ∴， 综上，且， 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）点在直线上，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，代数式求值． 直接把点代入函数，得到，再代入代数式即可得出结论． 【详解】解：点在直线上， ， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．下表是小亮测得的一些数据：    购物车数量/辆 1 2 3     4 5 车身总长 1.0 1.2 1.4    1.6 1.8 根据上表回答下列问题： (1)随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加 ． (2)若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列出函数关系式，正确分析表格数据是解题的关键． （1）直接观察表格，即可求解； （2）根据（1）中的结论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加． 故答案为：； （2）解：∵随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加，1辆车身长为， ∴车身总长与购物车辆数的表达式为． 4．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知关于x的一次函数（a为常数，且a≠0）． (1)当自变量1对应的函数值为5时，求a的值； (2)对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，请求点Q的坐标． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查代入求值和整式中某项系数为0的条件等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据题意把自变量和函数值代入解析式，即可解决问题； （2）对于任意非零实数对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，其实就是保证右边的整式中不包含a，把所有含a的项合并在一起，令其系数为0即可； 【详解】（1）解：把代入（a为常数，且）得，， 解得； （2）解：∵， ∴当时，可有 ， ∴对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点， ∴． 5．（25-26八年级上·安徽宣城·月考）已知一次函数经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个一次函数的图象上？说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为； (2)点在这个一次函数的图象上，理由见解析． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． （）利用待定系数法求解即可； （）求出当时的值，比较即可得解． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为，由一次函数过，两点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：点在这个一次函数的图象上，理由， 由（）得一次函数的表达式为， 当时，， ∴点在这个一次函数的图象上． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知直线与直线平行，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为18，求直线的表达式． 【答案】或 【分析】此题考查一次函数平行的关系，直线与坐标轴围成的三角形面积问题，先根据直线平行得到，再根据面积求出b的值即可 【详解】解：因为直线与直线平行，所以， 所以． 令，则；令，则，解得， 所以图像与坐标轴所围成的三角形的面积，解得， 所以直线的表达式为或． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时的函数值； (3)设点在这个函数图象上，求的值； (4)若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，当时，，求出的值即可； （）把代入即可求解； （）将代入即可求解； （）因为，，所以随的增大而增大，然后由即可求解． 【详解】（1）解：设， 当时，， 所以， 解得， 所以， 即； （2）解：当时，； （3）解：将代入， 得，解得； （4）解：因为，， 所以随的增大而增大， 当时，；当时，； 又因为， 所以． 8．（21-22八年级上·浙江宁波·期中）已知 是关于 的一次函数， 当 时， 时， ， (1)求 关于 的函数解析式； (2)当 时， 求 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，正确进行计算是本题解题关键． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）将代入得到不等式，从而求得的范围． 【详解】（1）解：设与的函数解析式是， 根据题意得：， 解得：， 函数解析式是：； （2）解：函数解析式是：， 当时，， ， 的范围是：． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)试判断点是否在直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在直线上，理由见解析 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特点、一次函数的图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）令点的纵坐标为即可解题； （2）将点的坐标代入解析式验证即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，且点在轴上， ， 解得：， ； （2）解：点在直线上，理由如下： 当时，， ∴点在直线上． 10．（19-20八年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键． （1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值； （2）将代入一次函数中，即可求出x的值． 【详解】（1）解：由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数； （2）解：由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 一次函数的定义七类综合题型 典例详解 类型一、函数的三种表达方式 类型二、求自变量的取值范围 类型三、求函数的函数值 类型四、正比例函数的定义 类型五、根据一次函数的定义求参数 类型六、待定系数法求一次函数表达式 类型七、根据图像面积求函数解析式 压轴专练 类型一、函数的三种表达方式 函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 例1．（24-25七年级下·山东青岛·期末）五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（   ） A．自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米 C．摩天轮转一周需要9分钟 D．当时，小明处于上升状态 变式1-1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）变量x，y的一些对应值如表： 0 1 2 3 0 1 8 27 根据表格中的数据规律，当时，y的值是 ． 变式1-2．（24-25七年级下·山东济南·期末）张师傅非常喜欢自驾游，为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 120 240 360 480 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 张师傅将油箱加满后驾驶该轿车从地前往地，到达地时油箱中的剩余油量为，那么、两地之间的距离是 ． 变式1-3．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是 ． 类型二、求自变量的取值范围 例2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 变式2-2．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是 ． 类型三、求函数的函数值 例3．（2022九年级上·浙江台州·竞赛）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 变式3-1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为 ． 变式3-2．（25-26七年级上·四川雅安·期中）定义，即当时，；当时，，则 ． 变式3-3．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，根据程序计算函数值． (1)当输入的x的值是时，输出的结果y是多少？ (2)当输入的x的值是多少时，输出的结果y是？ 类型四、正比例函数的定义 例4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，其中与成正比例，与成正比例，当时，，当时，，则与之间的函数表达式为 ． 变式4-1．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）若函数是关于的正比例函数，求的值． 变式4-2．（20-21八年级下·四川德阳·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求当时的函数值； (3)如果y的取值范围是，求x的取值范围． 类型五、根据一次函数的定义求参数 1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数. 3. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x出现在分母，根号内，则需考虑以下情况： 1）整个分母不能等于0； 2）根号里的整个式子要大于或等于0. 4. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. 例5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 变式5-1．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知是关于的一次函数，则的值是 ． 变式5-2．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）已知函数是一次函数，求m的值． 类型六、待定系数法求一次函数表达式 用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 例6．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若点也在该函数图象上，求的值． 变式6-1．（25-26八年级上·吉林·期中）已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的关系式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上并说明理由． 变式6-2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____． (2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 类型七、根据图像面积求函数解析式 例7．（18-19八年级下·广东广州·期末）若直线的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则的值为 ． 变式7-1．（25-26八年级上·辽宁·期中）已知直线与两条坐标轴围成的三角形面积为12，则k的值为 ． 变式7-2．（21-22八年级上·江西九江·期中）已知直线经过点，且它与坐标轴围成的三角形面积为．若函数满足随的增大而减小，求的函数关系式． 1．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知一次函数的图象经过点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）点在直线上，则代数式的值是 ． 3．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．下表是小亮测得的一些数据：    购物车数量/辆 1 2 3     4 5 车身总长 1.0 1.2 1.4    1.6 1.8 根据上表回答下列问题： (1)随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加 ． (2)若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式． 4．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知关于x的一次函数（a为常数，且a≠0）． (1)当自变量1对应的函数值为5时，求a的值； (2)对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，请求点Q的坐标． 5．（25-26八年级上·安徽宣城·月考）已知一次函数经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个一次函数的图象上？说明理由． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知直线与直线平行，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为18，求直线的表达式． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时的函数值； (3)设点在这个函数图象上，求的值； (4)若的取值范围是，求的取值范围． 8．（21-22八年级上·浙江宁波·期中）已知 是关于 的一次函数， 当 时， 时， ， (1)求 关于 的函数解析式； (2)当 时， 求 的取值范围． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)试判断点是否在直线上，并说明理由． 10．（19-20八年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $