专题11图形与坐标九类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题11 图形与坐标九类综合题型 典例详解 类型一、象限内点的特点 类型二、坐标轴上点的特点 类型三、象限角平分线上点的特点 类型四、平面直角坐标系上两点之间距离 类型五、平面直角坐标系内的对称 类型六、坐标与面积 类型七、坐标系内的平移 类型八、坐标系内的旋转 类型九、坐标与全等三角形综合 压轴专练 类型一、象限内点的特点 象限内坐标特点 所在象限 坐标特点 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 例1．（2025·四川广元·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，各象限内点的坐标的符号特征，根据平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，可得，解不等式组求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵平面直角坐标系中的点在第二象限， ∴， 解得：． 故选：A． 变式1-1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若点在第四象限，且到x轴和y轴距离相等，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平面直角坐标系中象限点的特点，点到坐标轴的距离，解一元一次不等式，掌握象限中点的符号，点到坐标轴的距离的计算方法是解题的关键．根据第四象限点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负）可得，．由点到坐标轴的距离相等（到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，且两者相等），列出方程，求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，． ∵点A到x轴和y轴的距离相等， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：1． 变式1-2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）平面直角坐标系中，点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征．熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键． 根据点在第一象限，可知横纵坐标均大于零；由点到两坐标轴的距离相等，可得横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，从而建立方程求解值，再代入求坐标． 【详解】∵点在第一象限， ∴且． ∵点到两坐标轴的距离相等， ． 由于点在第一象限，且， 故． 解方程：，得． 代入得横坐标，纵坐标 ∴点的坐标为． 故答案为． 类型二、坐标轴上点的特点 坐标轴上点的特点 坐标轴 坐标特点 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  例2．（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知点在y轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．根据y轴上的点横坐标为0可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：点在y轴上， ， 解得：， 故答案为：． 变式2-1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点，且轴，求点P的坐标． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)点P的坐标为 【分析】本题考查了点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． （1）根据点在轴上，纵坐标为得出，计算得出，即可得解； （2）根据轴得出，计算得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 变式2-2．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点P在x轴上时，求出点P的坐标； (2)当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标； (3)若点P到x轴和y轴距离相等，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查坐标平面内图形性质与点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）点P在x轴上时，点P的纵坐标为零，据此列方程即可求解； （2）直线平行于x轴，即P点纵坐标等于A点纵坐标，据此列方程求解即可； （3）点P到x轴，y轴距离相等，即P点纵坐标的绝对值等于横坐标的绝对值，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ， 此时， ∴点P的坐标为； （2）解：∵直线平行于x轴，且， ∴， 解得， 此时， ∴点P的坐标为； （3）解：点P到x轴，y轴距离相等， ∴， 或， 解得：或． 变式2-3．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知平面直角坐标系内有一点． (1)当点M在y轴上时，求m的值； (2)当点M到y轴的距离为3时，求点M的坐标． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】本题考查了点坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，点坐标的特征是解题关键． （1）根据x轴上的点的纵坐标为0可求出m的值，由此即可得； （2）根据“点M到y轴的距离为3”可得，求出m的值，由此即可得． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ， ； （2）∵点到y轴的距离为3， ， 或， 解：或， 或，   ∴点M的坐标为或． 类型三、象限角平分线上点的特点 坐标角平分线上点的特点 所在位置 坐标特点 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 例3．（24-25八年级下·吉林长春·月考）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在第四象限，则的取值范围是________； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据第四象限内，横坐标为正，纵坐标为负，建立不等式组解答即可； （2）点在第二、四象限的角平分线上，得解答即可． 本题考查了点与象限，第二、四象限的角平分线上的点的坐标互为相反数，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：点在第四象限， 解得． 故答案为：． （2）解：点在第二、四象限的角平分线上， 得， 解得． 故答案为：0． 变式3-1．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知点，解答以下问题： (1)若点在第二象限的角平分线上，求点的坐标． (2)已知直线轴，且点的坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据第二象限角平分线的性质，第二象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，据此列出关于的方程求解，进而得到点坐标． （2）依据平行于轴的直线上的点横坐标相等这一性质，列出关于的方程求解，从而确定点坐标 ． 本题主要考查了平面直角坐标系中象限角平分线的性质以及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，熟练掌握这些性质和特征是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在第二象限的角平分线上， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵轴，且点的坐标为 ∴ ∴． ∴ 变式3-2．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若点在第一、三象限的角平分线上，求a的值； （2）已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）P点坐标为或． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特殊位置特征（第一、三象限角平分线上点的坐标性质，点到两坐标轴距离相等的坐标性质），解题的关键是根据相应位置特征列出方程，求解未知量后得到答案． （1）利用第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等的性质，令，解方程求； （2）根据点到两坐标轴距离相等即横、纵坐标绝对值相等，分“横纵坐标相等”和“横纵坐标互为相反数”两种情况列方程，求解后代入点坐标公式，得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在第一、三象限的角平分线上，第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等， ∴． 移项得，即， 解得 （2）解：∵点到两坐标轴的距离相等，点到两坐标轴距离为横、纵坐标的绝对值， ∴，分两种情况： ①当时，移项得，即，解得． 此时，，点坐标为． ②当时，去括号得，移项得，即，解得． 此时，，点坐标为． ∴点的坐标为或． 类型四、平面直角坐标系上两点之间距离 坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 例4．（24-25七年级下·山西朔州·期中）【问题情境】 数学课上，老师让同学们探究平面直角坐标系中不重合的两点和点，当横坐标相同或纵坐标相同时，判断直线与轴之间的位置关系及求和两点之间的距离，并把和两点之间的距离记为． 【探究结论】 ①若，则轴，且； ②若，则轴，且． 【结论应用】 (1)已知点和点，则线段的长度为__________； (2)已知点，当轴，时，求点的坐标； (3)已知点，点，轴，求点的坐标． 【答案】(1)8 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的位置关系，两点间的距离公式等知识，解题的关键是： （1）根据A、B横坐标相同，则求解即可； （2）根据轴，则C、D纵坐标相同，等于C、D横坐标差的绝对值求解即可； （3）根据轴，则M、N的横坐标相等求解即可． 【详解】（1）解：∵点和点， ∴线段的长度为， 故答案为：8 （2）解：∵点，轴， ∴D在纵坐标为， 又， ∴D的横坐标为或， ∴D的坐标为或； （3）解：∵点，点，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 变式4-1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段．的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过作x轴的垂线，垂足为B，线段长度可表示，作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长交 于点E，则线段的长度可以表示，，中，，据勾股定理可得： (1)【解决问题】 ①则线段长度是______； ②如果点， 点 ，线段长度是______． (2)【知识迁移】 ①点，在x轴上找一点P，使得的值最大，请直接写出这个最大值是______； ②点 ，在x轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是______． (3)【拓展延伸】 ①代数式 的最小值是______； ②代数式 的最大值是______． 【答案】(1)； (2)​​​​​​​； (3)； 【分析】本题考查坐标与轴对称，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）直接利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）①连接并延长，交轴与点，此时最大为的长，利用两点间的距离公式进行求解即可；②作关于轴的对称点，连接，得到的最小值即为的长，进行求解即可； （3）利用数形结合结合的思想，将代数式的最值转换为坐标系中两点间的距离，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； 故答案为：； ②点， 点 ， ∴； 故答案为：； （2）①如图所示，连接并延长，交轴与点， ∴最大为的长， ∵， ∴的最大值； ②作关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时的值最小，为：的长， ∵， ∴， ∴的最小值为：； （3）①， 可转化为：已知点，在轴上找一点，使的值最小， 由（2）②可知，作点关于轴的对称点，的最小值即为的长， ， ∴代数式 的最小值是； ②， 参考（2）①中的图形，点，点， ∴代数式的最大值为：． 变式4-2．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要求或的长度，显然是转化为求或的斜边长．下面以求为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：，，所以，，所以由勾股定理可得，． 解决以下问题： (1)在图1中： ， ，所以 ； (2)在图2中，设，，试用，，，表示， ， ，所以 ； 由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式．请用此公式解决问题： (3)若在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值； (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为 ．（直接写出答案） 【答案】(1)4；3；5 (2)；； (3) (4) 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，勾股定理，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． （1）利用图形与勾股定理求解即可； （2）直接利用两点之间距离公式直接求出即可； （3）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而利用两点之间距离公式求出的最小值； （4）根据原式表示的几何意义是点到和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而利用两点之间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 所以， 故答案为：4；3；5． （2）解：设，， 则，， ∴ 故答案为：；；． （3）解：如图，作点B关于x的对称点，连接交x轴于P， ∴， ∴ 根据两点间的距离最短得，此时最小，最小值等于， ∵，点B与点关于x的对称， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． （4）解：∵表示点到和的距离之和． 由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小． ∵以和为端点的线段长， ∴的最小值为． 类型五、平面直角坐标系内的对称 例5．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）已知点，，试根据下列条件求出，的值． (1)，两点关于轴对称； (2)，两点关于轴对称； (3)轴． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． （1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数据此求解即可； （2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数据此求解即可； （3）轴，即两点的纵坐标相等且横坐标不相等，据此求解． 【详解】（1）解：∵，两点关于轴对称， ∴，； （2）解：∵，两点关于轴对称， ∴，； （3）解：∵轴， ∴，． 变式5-1．（22-23八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)请在坐标系中画出关于轴对称的图形． (2)请在坐标系中画出关于直线对称的图形． (3)若点是内一点，则点关于直线对称的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，在平面直角坐标系中找到一个点关于特定直线的对称点，数形结合是解答本题的关键． （1）先确定出点，，关于轴的对称点，然后连线即可得出； （2）先确定出点，，关于直线的对称点，然后连线即可得出； （3）根据轴对称的性质，可得点与点的对称点纵坐标相同，再由轴对称的性质可得点的对称点横坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：点关于直线对称点的纵坐标为，横坐标为， ∴点关于直线对称的坐标是． 故答案为：． 变式5-2．（22-23八年级上·四川广安·月考）已知点，； (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，代数式求值． （1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点A、B关于x轴对称， ∴， 解得， ∴，； （2）解：∵点A、B关于y轴对称， ∴， 解得， ∴． 类型六、坐标与面积 例6．（25-26八年级上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． (2)点到轴的距离为 ；点的坐标为 ． (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 【答案】(1)图见解析 (2)； (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，平面直角坐标系点的特征，梯形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图象作答即可； （3）根据梯形面积公式运算即可． 【详解】（1）解：由题意作图可得： （2）解：由图可得：到轴的距离为，点的坐标为， 故答案为：；； （3）解：根据题意连接可得： ∴． 变式6-1．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以x轴为对称轴，画出的轴对称图形，并写出的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)作图见详解，点的坐标为 (2)3 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴的轴对称变换及在平面直角坐标系中求四边形面积． （1）利用轴对称的性质在平面直角坐标系图中作出关于x轴的轴对称图形即可，再根据图形得出点的坐标； （2）根据题意先连接，，将四边形分成和，分别求其面积再相加即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求： 由图可知，此时点的坐标为． （2）解：如图，连接，， ∴四边形由和组成， ∴， 即， ∴四边形的面积为3． 变式6-2．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)请在下图中画出与关于y轴对称的； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据关于y轴对称的特征作出点、、，再顺次连接即可得解； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）设，用含x的式子表示的面积，再分两种情况解方程即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图所示： 的面积为； （3）存在，理由如下 设点P的坐标为， 由（1）得，， 则以为底边时，高为到轴的距离，即2， ， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 所以点P的坐标为或． 变式6-3．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在直角坐标系中，，，． (1)在平面直角坐标系中描点，画出；并作出关于轴对称的图形； (2)求的面积； (3)设点在轴上，且与的面积相等，直接写出点的坐标． 【答案】(1)图形见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换，平面直角坐标系中点的坐标的特征，三角形的面积等知识，注意点的位置有两个是解题的关键． （1）根据点的坐标找到位置即可；根据轴对称的性质，画出； （2）用矩形面积减去三个三角形面积即可； （3）根据的面积，求出的长即可解决问题． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；即为所求． （2）； （3）当点在轴上时，的面积， 即， 解得：． 点的坐标为或． 类型七、坐标系内的平移 坐标系内点的平移变化 具体变换过程 变换后的坐标 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 例7．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为3和1． (1)分别求的值． (2)设的立方根为，在同一个平面直角坐标系中还有一点，点，请指出点是怎样由点平移得到的？ 【答案】(1), (2)点Q是由点P先向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度得到的 【分析】（1）根据题意，列出关于m，n的方程求解即可； （2）先求出t，再求出Q点坐标与P点坐标，再确定平移关系即可． 【详解】（1）解：∵点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为3和1， ∴，， 解得：，； （2）∵，， ∴， ∵设的立方根为， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∵，，， ∴， ∴点Q是由点P向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度得到的． 【点睛】本题考查了已知点所在的象限求参数，求点到坐标轴的距离，坐标系中的平移，求一个数的立方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 变式7-1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点N的坐标为，且轴，求点M的坐标； (2)若点M到x轴、y轴的距离相等，求m的值． 【答案】(1)点M的坐标为 (2)或 【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，理解点的横、纵坐标的意义是解题的关键． （1）根据轴，得到，求出的值，进而算出，即可求得点M的坐标； （2）根据点M到x轴、y轴的距离相等，得到，进而求解，即可解题． 【详解】（1）解：因为点，点N，且轴， 所以， 解得， 所以， 所以点M的坐标为． （2）解：因为点M到x轴、y轴的距离相等， 所以， 所以或， 所以或． 变式7-2．（21-22七年级上·江苏徐州·阶段练习）在边长为的小正方形组成的网格中，把一个点先沿水平方向平移格（当为正数时，表示向右平移；当为负数时，表示向左平移），再沿竖直方向平移格（当为正数时，表示向上平移；当为负数时，表示向下平移），得到一个新的点，我们把这个过程记为． 例如，从到记为：；从到记为：． 回答下列问题： (1)如图，若点的运动路线为：，请计算点运动过的总路程． (2)若点运动的路线依次为：，，，．请你依次在图上标出点、、、的位置． (3)在图中，若点经过得到点，点再经过后得到，则与满足的数量关系是 ；与满足的数量关系是 ． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，． 【分析】本题主要考查了有理数的加法、平面直角坐标系中点的平移，左右平移：正数向右平移，负数向左平移；上下平移：正数向上平移，负数向下平移． 按照先左右后上下的顺序列出算式，再计算即可； 根据平移的方向和距离画出图形即可； 根据、水平相距的单位，可得、的关系；根据、竖直相距的单位，可得、的关系． 【详解】（1）解：从到记为：， 从到记为：, 从到记为：， 点运动路线为时， 运动的总路程为； （2）解：如下图所示， （3）解：由可知点在点的右方距离点 个单位长度， ， 由可知点和点在同一个水平方向上， ， 故答案为：，． 类型八、坐标系内的旋转 坐标系内点的旋转变化 具体变换过程 变换后的坐标 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 例8．（22-23八年级下·福建三明·期中）如图，方格纸中每个小正方形边长都是1个单位长度．的三个顶点，，． (1)将以点为旋转中心顺时针旋转，得到，请画出并写出点的坐标； (2)平移，使点的对应点坐标为，请画出平移后对应的，并写出点的坐标； (3)若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心点的坐标为______． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3) 【分析】 （1）利用旋转的性质得到点和点关于轴对称； （2）根据点的平移得到平移到的坐标特点； （3）根据旋转的性质即可得到了旋转中心的点的坐标． 【详解】（1） 解：如图，即为所求， ∵将以点为旋转中心顺时针旋转180°，得到， ∴点与点关于轴对称， ∵， ∴； （2） 解：∵，平移，使点的对应点坐标为 ∴的平移是横坐标不变，纵坐标减个单位长度， ∵， ∴， （3） 解：连接， ∵以点为旋转中心顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴由图可知的中点为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了旋转性质，平移的性质，平面直角坐标系内点的坐标特征，掌握旋转的性质及平移的性质是解题的关键． 变式8-1．（2024·湖南长沙·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．    (1)画出关于x轴对称的； (2)连接，将线段绕点M顺时针旋转，得到，求线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图轴对称变换、旋转变换、扇形面积公式，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质、扇形面积公式是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （1）利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）如图，即为所求．    （2）由勾股定理得，， 线段在旋转过程中扫过的面积为． 变式8-2．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，的顶点坐标分别是、、． (1)如果将沿轴翻折得到，写出的顶点坐标； (2)如果将绕点按逆时针方向旋转得到，写出点、的坐标． 【答案】(1)作图见解析，，，； (2)作图见解析，， 【分析】此题考查了轴对称的性质和旋转的旋转．解题的关键是注意关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变；即点关于y轴的对称点的坐标是；抓住旋转的三要素：旋转中心C，旋转方向逆时针，旋转角度，通过画图得、的坐标． （1）将沿轴翻折得到，根据关于x轴对称的点的坐标变化特点求解即可求得答案． （2）根据网格结构找出点、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点、的坐标即可． 【详解】（1）如图所示， ，，； （2）如图所示， ，． 类型九、坐标与全等三角形综合 例9．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，且，满足． (1)直接写出的面积为___________； (2)如图1，若点为线段上一点，连接，作，且，连接．求的度数； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，点，分别为，的中点，连接，，请探究线段与之间的关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)，；证明见解析 【分析】（1）根据非负数的性质可得，最后根据三角形的面积公式即可得出答案； （2）如图1，过点作轴于，利用证明，得，，再证明和是等腰直角三角形，即可得出答案； （3）如图2，连接，，延长交于，连接，设与交于点，利用证明，利用证明，最后得是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）， ，， ， 点，点， ， 的面积． （2）解：如图1，过点作轴于， ， ， ， ， ， ，， （）， ，， ， ， ， 即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ． （3）解：，，证明如下： 如图2，连接，，延长交于，连接，设与交于点， ，是的中点， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知：， ， ， ， 是的中点， ， ， （）． ，， ，， ， ，， ， ， （）， ，， ， 是等腰直角三角形， ∵， ∴，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，直角三角形的性质，非负数的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题关键． 变式9-1．（25-26八年级上·天津·期中）等腰，点、分别在轴、轴的正半轴上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求点的坐标； (3)如图3，点，两点均在轴上，且．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的长度不会发生改变，的长度始终是9 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算 （1）根据同角的余角相等得出结论即可； （2）先过点B作轴于D，再判定，求得，，进而得出，即可得到B点的坐标； （3）先过N作，交y轴于H，再证明，得出，，然后根据点，，求得，最后判定，得出，即可求得 (定值)． 【详解】（1）解：如图， ，， ， ； （2）解：如图，过点B作轴于D，则， 在和中， ， ， ，， ， 又∵点B在第三象限， ； （3）解：的长度不会发生改变． 理由：如图，过N作，交y轴于H，则 ， ∵等腰、等腰， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∵点，， ∴，即， ， ， , ， ∴在和中， ， ， ， 又， （定值）， 即的长度始终是9． 变式9-2．（25-26八年级上·天津南开·阶段练习）如图1，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． (1)如图1，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)不发生改变，等于4 【分析】此题考查了图形与坐标、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识． （1）求出，，则．证明；则，的坐标为，则，得到，即可得到答案； （2）过分别作于点，作于点．证明，则．根据角平分线的判定得到平分，即可得到； （3）连接．证明，则，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 则． ∵，则，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； ∴， ∵的坐标为， ∴， ∴， ∴的坐标为； （2）过分别作于点，作于点． ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴平分， ∴， （3）的值不发生改变，等于4． 理由如下：如图：连接． ∵，，为的中点， ∴，，， ∴，， ∴． ∵即， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式9-3．（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知，，a，b满足 (1)求A，B 两点的坐标； (2)如图1，点D在x轴的正半轴上，点C 在第一象限，连接交于点E，满足 ，求点A到的距离； (3)如图2，是第一象限一动点，连接，以为斜边向左作等腰直角 在点 P 运动的过程中，求的最小值． 【答案】(1)， (2)点A到的距离为12 (3)的最小值为 【分析】（1）根据非负性的性质求解即可； （2）过点 A 作 于点 H，证，得出，即可求解． （3）过点 P 作于点 H，连接，过点 Q 作交 于点M，证，得，连接，再证，得 ，得出点 Q 在 的垂直平分线上，即可求出的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点 A 作 于点 H， 则， ∴， ∴． ∴点A 到 的距离为12； （3）解：过点 P 作于点 H，连接，过点 Q 作交 于点M， 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点 Q 在 的垂直平分线上， ∴的最小值． 【点睛】该题考查了坐标与图形综合，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，非负数的性质，垂直平分线的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线． 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，利用点关于坐标轴对称的坐标变化规律：关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变，关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于y轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为3， ∴， ∵关于x轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）若点在第四象限内，则m的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，根据点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，列出不等式组即可解决问题． 【详解】∵点在第四象限内， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（20-21九年级·湖南株洲·自主招生）在平面直角坐标系中，有一只电子青蛙在点处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点；第二次，它从点先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点；第三次，它从点先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点；第四次，它从点先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点；…依此规律进行，点的坐标为 ；若点的坐标为，则 ． 【答案】 4025 【分析】本题考查了点的坐标的规律探索，掌握点的坐标的规律探索的方法是解题的关键．根据点的坐标的规律探索方法，分别求出点，，，，，的坐标，即可按此规律求得第一空答案；然后总结点的规律，，即可求得答案． 【详解】解：青蛙在点处， ，，，，，， ， ，， 令，则，， 即． 故答案为：；4025． 4．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为，顶点依次用、、、表示，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，根据坐标点的变化找到变化规律是解答本题的关键．根据正方形的性质，依次表示前面12个点的坐标，归纳可得坐标变化规律，即可获得答案． 【详解】解：根据题意并观察图形，可知， ， ， ……， ∴（n为正整数，）， ∵， ∴顶点的坐标为． 故答案为：． 5．（24-25九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型点的坐标解，观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，个数一个循环，进而可得经过第20215次运动后，动点的坐标． 熟练推算出规律是解题的关键． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， 按这样的运动规律， 发现每个点的横坐标与次数相等， 纵坐标是1，0，2，0，四个数一个循环， 所以， 所以经过第2025次运动后， 动点的坐标是． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为4，6，8，…，顶点依次为，…表示，则顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律探究，观察图象可知每四个点一圈进行循环，每一圈第一个点在第三象限，根据点的脚标和坐标寻找规律即可解出． 【详解】解：观察可知：每四个点一圈进行循环，每一圈第一个点在第三象限， ∵， ∴与在同一象限，即都在第三象限， 根据图中规律可得：……， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，…．按照此规律，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律探究，观察可知，，，，……，；，，，……，，进行求解即可． 【详解】解：∵，，，……，； ，，，……， ∴是奇数，，的纵坐标为， ∴， ∴，即 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点A在y轴上，则点A的坐标为 ． (2)若点，且轴，则点A的坐标为 ． (3)若点A到x轴的距离为2，求a的值； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，平行于坐标轴的点的坐标特点．熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键． （1）根据y轴上点的其横坐标为0进行解答，即可得出答案； （2）由平行于y轴的点的横坐标相同，可得，即，求得a的值，再将a的值代入求得纵坐标即可解答； （3）根据点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，到y轴的距离为其横坐标的绝对值，即可解答. 【详解】（1）解：∵点A在y轴上， ∴，即， ∴， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：∵点B的坐标为，且轴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． （3）∵点A到x轴的距离为2， ∴， 解得：或 9．（22-23九年级下·四川成都·自主招生）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)画出四边形关于y轴对称的四边形，并写出点的坐标是_____； (2)画出四边形绕点O顺时针方向旋转后得到的四边形，并求出点C旋转到点经过的路径的长度． 【答案】(1)作图见解析，； (2)． 【分析】本题考查了坐标系中的轴对称，旋转问题，要运用形数结合的方法，画图，确定点的坐标． (1)对四边形关于y轴轴对称，对称前后对应点的坐标特点是：横坐标互为相反数，纵坐标相等； (2)对四边形绕点O顺时针方向旋转，可以充分运用坐标轴的垂直关系，寻找各点的对应点，确定其坐标；求路径实质上就是求弧长了． 【详解】（1）四边形如图所示： 的坐标是， 故答案为：； （2）四边形如图所示， 点C旋转到点经过的路径的长度 10．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点在小正方形的顶点处，点的坐标分别为． (1)请在网格中建立符合题意的平面直角坐标系，点的坐标为___________； (2)平移点得到点，若点与点关于轴对称，直接写出一种平移方式； (3)在（2）的条件下，为直线上的点，则点到轴的距离为___________． 【答案】(1)建立平面直角坐标系见解析， (2)将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了点的坐标，点的平移，点关于坐标轴对称，点到坐标轴的距离；掌握点的平移规律，点关于坐标轴对称规律及点到坐标轴的距离求法是解题的关键． （1）根据的坐标分别为确定平面直角坐标系，写出的坐标，即可求解； （2）根据点与点关于轴对称得，由点的平移规律写出平移方式，即可求解； （3）由直线轴得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系如下： ， 故答案为：； （2）解：点与点关于轴对称， ， 将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到；（答案不唯一） （3）解：由（2）得直线轴， ，为直线上的点， ， 点到轴的距离为， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·湖北孝感·月考）如图，在平面直角坐标系中，定点，动点在轴正半轴上，，． (1)如图1，当时，_____，_____，点的坐标为_____； (2)如图2，轴于点且，连接交轴于一点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度：若变化，请说明理由； (3)如图3，在延长线上，过作轴于．求证：． 【答案】(1) (2)不变， (3)见详解 【分析】（1）根据非负数的性质求出，可得，过点作轴于，证明，得到，则，从而得到点的坐标； （2）过作轴，垂足为，同（1）可得，则，然后求出，证明， 可得，然后可得答案； （3）延长交的延长线于，过点作于，交于，证明，可得，求出，再证明，可得，然后根据线段和差，等量代换得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， 如图1，过点C作 轴于H， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：的长度不变，理由如下： 过作轴，垂足为， 同（1）可得， ， 轴， ， ， 又， ， ， ． （3）证明：如图，延长交的延长线于，过点作于，交于． ， ， 又 ∵， ， ， ∵， ， ∴是等腰直角三角形， ， 又 ∵， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 图形与坐标九类综合题型 典例详解 类型一、象限内点的特点 类型二、坐标轴上点的特点 类型三、象限角平分线上点的特点 类型四、平面直角坐标系上两点之间距离 类型五、平面直角坐标系内的对称 类型六、坐标与面积 类型七、坐标系内的平移 类型八、坐标系内的旋转 类型九、坐标与全等三角形综合 压轴专练 类型一、象限内点的特点 象限内坐标特点 所在象限 坐标特点 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 例1．（2025·四川广元·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若点在第四象限，且到x轴和y轴距离相等，则 ． 变式1-2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）平面直角坐标系中，点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 ． 类型二、坐标轴上点的特点 坐标轴上点的特点 坐标轴 坐标特点 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  例2．（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知点在y轴上，则 ． 变式2-1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点，且轴，求点P的坐标． 变式2-2．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点P在x轴上时，求出点P的坐标； (2)当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标； (3)若点P到x轴和y轴距离相等，求m的值． 变式2-3．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知平面直角坐标系内有一点． (1)当点M在y轴上时，求m的值； (2)当点M到y轴的距离为3时，求点M的坐标． 类型三、象限角平分线上点的特点 坐标角平分线上点的特点 所在位置 坐标特点 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 例3．（24-25八年级下·吉林长春·月考）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在第四象限，则的取值范围是________； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求的值． 变式3-1．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知点，解答以下问题： (1)若点在第二象限的角平分线上，求点的坐标． (2)已知直线轴，且点的坐标为，求点的坐标． 变式3-2．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若点在第一、三象限的角平分线上，求a的值； （2）已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 类型四、平面直角坐标系上两点之间距离 坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 例4．（24-25七年级下·山西朔州·期中）【问题情境】 数学课上，老师让同学们探究平面直角坐标系中不重合的两点和点，当横坐标相同或纵坐标相同时，判断直线与轴之间的位置关系及求和两点之间的距离，并把和两点之间的距离记为． 【探究结论】 ①若，则轴，且； ②若，则轴，且． 【结论应用】 (1)已知点和点，则线段的长度为__________； (2)已知点，当轴，时，求点的坐标； (3)已知点，点，轴，求点的坐标． 变式4-1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段．的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过作x轴的垂线，垂足为B，线段长度可表示，作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长交 于点E，则线段的长度可以表示，，中，，据勾股定理可得： (1)【解决问题】 ①则线段长度是______； ②如果点， 点 ，线段长度是______． (2)【知识迁移】 ①点，在x轴上找一点P，使得的值最大，请直接写出这个最大值是______； ②点 ，在x轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是______． (3)【拓展延伸】 ①代数式 的最小值是______； ②代数式 的最大值是______． 变式4-2．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要求或的长度，显然是转化为求或的斜边长．下面以求为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：，，所以，，所以由勾股定理可得，． 解决以下问题： (1)在图1中： ， ，所以 ； (2)在图2中，设，，试用，，，表示， ， ，所以 ； 由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式．请用此公式解决问题： (3)若在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值； (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为 ．（直接写出答案） 类型五、平面直角坐标系内的对称 例5．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）已知点，，试根据下列条件求出，的值． (1)，两点关于轴对称； (2)，两点关于轴对称； (3)轴． 变式5-1．（22-23八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)请在坐标系中画出关于轴对称的图形． (2)请在坐标系中画出关于直线对称的图形． (3)若点是内一点，则点关于直线对称的坐标是 ． 变式5-2．（22-23八年级上·四川广安·月考）已知点，； (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 类型六、坐标与面积 例6．（25-26八年级上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． (2)点到轴的距离为 ；点的坐标为 ． (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 变式6-1．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以x轴为对称轴，画出的轴对称图形，并写出的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 变式6-2．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)请在下图中画出与关于y轴对称的； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 变式6-3．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在直角坐标系中，，，． (1)在平面直角坐标系中描点，画出；并作出关于轴对称的图形； (2)求的面积； (3)设点在轴上，且与的面积相等，直接写出点的坐标． 类型七、坐标系内的平移 坐标系内点的平移变化 具体变换过程 变换后的坐标 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 例7．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为3和1． (1)分别求的值． (2)设的立方根为，在同一个平面直角坐标系中还有一点，点，请指出点是怎样由点平移得到的？ 变式7-1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点N的坐标为，且轴，求点M的坐标； (2)若点M到x轴、y轴的距离相等，求m的值． 变式7-2．（21-22七年级上·江苏徐州·阶段练习）在边长为的小正方形组成的网格中，把一个点先沿水平方向平移格（当为正数时，表示向右平移；当为负数时，表示向左平移），再沿竖直方向平移格（当为正数时，表示向上平移；当为负数时，表示向下平移），得到一个新的点，我们把这个过程记为． 例如，从到记为：；从到记为：． 回答下列问题： (1)如图，若点的运动路线为：，请计算点运动过的总路程． (2)若点运动的路线依次为：，，，．请你依次在图上标出点、、、的位置． (3)在图中，若点经过得到点，点再经过后得到，则与满足的数量关系是 ；与满足的数量关系是 ． 类型八、坐标系内的旋转 坐标系内点的旋转变化 具体变换过程 变换后的坐标 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 例8．（22-23八年级下·福建三明·期中）如图，方格纸中每个小正方形边长都是1个单位长度．的三个顶点，，． (1)将以点为旋转中心顺时针旋转，得到，请画出并写出点的坐标； (2)平移，使点的对应点坐标为，请画出平移后对应的，并写出点的坐标； (3)若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心点的坐标为______． 变式8-1．（2024·湖南长沙·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．    (1)画出关于x轴对称的； (2)连接，将线段绕点M顺时针旋转，得到，求线段在旋转过程中扫过的面积． 变式8-2．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，的顶点坐标分别是、、． (1)如果将沿轴翻折得到，写出的顶点坐标； (2)如果将绕点按逆时针方向旋转得到，写出点、的坐标． 类型九、坐标与全等三角形综合 例9．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，且，满足． (1)直接写出的面积为___________； (2)如图1，若点为线段上一点，连接，作，且，连接．求的度数； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，点，分别为，的中点，连接，，请探究线段与之间的关系，并证明你的结论． 变式9-1．（25-26八年级上·天津·期中）等腰，点、分别在轴、轴的正半轴上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求点的坐标； (3)如图3，点，两点均在轴上，且．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 变式9-2．（25-26八年级上·天津南开·阶段练习）如图1，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． (1)如图1，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 变式9-3．（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知，，a，b满足 (1)求A，B 两点的坐标； (2)如图1，点D在x轴的正半轴上，点C 在第一象限，连接交于点E，满足 ，求点A到的距离； (3)如图2，是第一象限一动点，连接，以为斜边向左作等腰直角 在点 P 运动的过程中，求的最小值． 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）若点在第四象限内，则m的取值范围为 ． 3．（20-21九年级·湖南株洲·自主招生）在平面直角坐标系中，有一只电子青蛙在点处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点；第二次，它从点先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点；第三次，它从点先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点；第四次，它从点先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点；…依此规律进行，点的坐标为 ；若点的坐标为，则 ． 4．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为，顶点依次用、、、表示，则顶点的坐标为 ． 5．（24-25九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是 ． 6．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为4，6，8，…，顶点依次为，…表示，则顶点的坐标是 ． 7．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，…．按照此规律，点的坐标为 ． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点A在y轴上，则点A的坐标为 ． (2)若点，且轴，则点A的坐标为 ． (3)若点A到x轴的距离为2，求a的值； 9．（22-23九年级下·四川成都·自主招生）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)画出四边形关于y轴对称的四边形，并写出点的坐标是_____； (2)画出四边形绕点O顺时针方向旋转后得到的四边形，并求出点C旋转到点经过的路径的长度． 10．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点在小正方形的顶点处，点的坐标分别为． (1)请在网格中建立符合题意的平面直角坐标系，点的坐标为___________； (2)平移点得到点，若点与点关于轴对称，直接写出一种平移方式； (3)在（2）的条件下，为直线上的点，则点到轴的距离为___________． 11．（25-26八年级上·湖北孝感·月考）如图，在平面直角坐标系中，定点，动点在轴正半轴上，，． (1)如图1，当时，_____，_____，点的坐标为_____； (2)如图2，轴于点且，连接交轴于一点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度：若变化，请说明理由； (3)如图3，在延长线上，过作轴于．求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $