2.7 二次函数与幂函数（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义围绕二次函数与幂函数高考核心考点，依据课标要求系统梳理幂函数定义、图象、性质及二次函数解析式、图象、性质，按“定义-图象-性质-应用”逻辑构建知识体系。通过基点诊断、题型分类讲解、方法指导和真题训练环节，帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 讲义特色在于题型分层设计与核心素养融合，如二次函数单调性问题中引导学生通过分类讨论对称轴与区间关系，培养数学思维与逻辑推理能力。设置基础诊断、典例精讲、变式提升三级练习，配合即时方法总结，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供实用指导。

2．7　二次函数与幂函数 [课标要求]　1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝ ，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．掌握二次函数的图象和性质，能利用二次函数方程、不等式之间的关系解决简单问题． 【必备知识】 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． [提醒]　幂函数的特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递减；在x∈上单调递增 在x∈上单调递增；在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝是幂函数．(　　 ) (2)当α＜0时，幂函数y＝xα在定义域内单调递减．(　　 ) (3)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　　 ) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(　　 ) (5)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　 ) A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，－3) D．(－∞，－3] 解析：选D.函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3. 3．已知幂函数y＝xα的图象过点，则该函数的解析式为____________． 解析：由已知＝2α，得α＝，即y＝. 答案：y＝ 4．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则y的最小值是________． 解析：因为函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为直线x＝>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减，所以ymin＝2－6＋3＝－1. 答案：－1 5．已知α∈若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝________． 解析：由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3，又y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，∴α＜0，∴α＝－1. 答案：－1 题型一　幂函数的图象和性质 【例1】　(1)若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　 ) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m< C．－1<m<0<n< D．－1<n<0<m<1 解析：选D.对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且 0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2-1<2n，∴－1<n<0，综上，－1<n<0<m<1. (2)如图所示是函数y＝(m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则(　　 ) A．m，n是奇数，且<1 B．m是偶数，n是奇数，且<1 C．m是偶数，n是奇数，且>1 D．m，n是奇数，且>1 解析：选B.由幂函数性质可知，y＝与y＝x的图象恒过定点(1，1)，即在第一象限内的交点坐标为(1，1)， 当0<x<1时>x，则<1； 又y＝的图象关于y轴对称， ∴y＝为偶函数， ∴， 又m，n互质，∴m为偶数，n为奇数． 【对点练习】　1.(1)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n-3在(0，＋∞)上单调递减”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n-3是幂函数， 所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0， 解得n＝1或n＝2， 当n＝1时，f(x)＝x-1＝在(0，＋∞)上单调递减；当n＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增． 所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n-3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件． (2)已知幂函数f(x)的图象过点(－8，－2)，且f(a＋1)≤－f(a－3)，则实数a的取值范围是___________． 解析：设f(x)＝xα，则(－8)α＝－2，解得α＝，所以f(x)＝，则f(x)在R上单调递增，且为奇函数，所以f(a＋1)≤－f(a－3)等价于f(a＋1)≤f(3－a)，则a＋1≤3－a，解得a≤1. 答案：(－∞，1] 题型二　二次函数的解析式 【例2】　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________． 解析：法一(利用“一般式”)　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 ∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用“顶点式”)　设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴函数图象的对称轴为直线x＝，∴m＝.又函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝a＋8.∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用“两根式”)　由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8，解得a＝－4，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 答案：－4x2＋4x＋7 [变式]　将本例中条件变为“二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，且∀x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)”，试确定f(x)的解析式． 解：因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立， 所以f(x)的对称轴为直线x＝2， 又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2， 所以f(x)＝0的两根为1和3， 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，所以a＝1， 所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 方法指导　求二次函数解析式的选取方法 (1)已知三点坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最值，宜选用顶点式． (3)已知与x轴两交点坐标，宜选用零点式． 题型三　二次函数的图象和性质 角度1　二次函数的图象 【例3】　(多选)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　 ) A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0 C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0 解析：选ACD.由二次函数的图象开口向下知a<0，对称轴为x＝－＝1，即2a＋b＝0，故b>0. 又因为f(0)＝c>0，所以abc<0. f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0. 思维升华　分析二次函数图象问题的要点 一是看二次项系数的符号； 二是看图象的对称轴和顶点； 三是看函数图象上的一些特殊点． 从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息． 角度2　二次函数的单调性和最值 【例4】　(2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围； (2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． 解：(1)由题意知a≠0. 当a>0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足≥2， 又a>0，所以0<a≤； 当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝<0， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减恒成立． 综上，a的取值范围是(－∞，0). (2)①当0<≤1，即a≥时， f(x)在区间[1，2]上单调递增， 此时g(a)＝f(1)＝3a－2. ②当1<<2，即<a<时， f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时g(a)＝f－1. ③当≥2，即0<a≤时， f(x)在区间[1，2]上单调递减， 此时g(a)＝f(2)＝6a－3. 综上所述，g(a)＝ 思维升华　二次函数最值问题求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． 【对点练习】　2.(1)(2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 025(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是(　　 ) A．α<m<n<β B．m<α<n<β C．m<α<β<n D．α<m<β<n 解析：选C. y＝(x－m)(x－n)＋2 025(m<n)为二次函数，图象开口向上， 因为α，β(α<β)是方程y＝0的两根， 故α，β(α<β)为二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，其中f(m)＝f(n)＝2 025， 画出大致图象如图所示， 显然m<α<β<n. (2)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是________． 解析：解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4， 解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，得x＝2， 由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2，2]. 若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，此时b－a取得最小值2； 若函数f(x)在区间[a，b]上不单调， 且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]， 所以b－a的最大值为4， 所以b－a的取值范围是[2，4]. 答案：[2，4] (3)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立．当x＝0时，－3＜0，符合题意，a∈R；当x≠0时，a＜，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值，所以a＜.综上，实数a的取值范围是. 答案： 二次函数定(动)轴动(定)区间问题 在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论： (1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”． (2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”． 【典例】　1.已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b等于(　　 ) A．－4 B． C．2 D． 解析：选A.因为f(x)＝－(x—1)2＋的图象的对称轴为x＝1，开口向下，函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减， 依题意3b≤，所以b≤， 所以f(x)在区间[a，b]上单调递增， 所以即 所以a，b为方程x2＋2x＝0的两根， 所以a＋b＝－＝－4. 2．(多选)已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，M，N分别是函数在区间[－1，1]上的最大值和最小值，则M－N的可能取值是(　　 ) A．2 B．1 C．4 D． 解析：选ABC.当－≤－1，即b≥2时，M－N＝f(1)－f(－1)＝2b≥4； 当－≥1，即b≤－2时，M－N＝f(－1)－f(1)＝－2b≥4； 当－1<－≤0，即0≤b<2时，M－N＝f(1)－≥1； 当0<－<1，即－2<b<0时，M－N＝f(－1)－>1， 综上所述，M－N≥1. 思维升华　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $