2.6 函数性质的综合应用（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数性质综合应用高考热点，涵盖奇偶性与单调性、周期性、对称性等核心考点，按性质组合逻辑分层构建知识体系，通过题型解读梳理考情，例题精讲提炼方法，思维升华总结规律，对点练习强化应用，形成系统复习链条。 资料创新采用“性质辨析-逻辑推理-迁移应用”教学策略，如例1结合定义域求法、奇偶性判断及单调性分析解抽象不等式，培养数学思维与抽象能力，设置真题变式练习，精准对接高考要求，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2．6　函数性质的综合应用 [题型解读]　函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查． 题型一　函数的奇偶性与单调性 【例1】　已知函数f(x)＝lg (|x|－1)＋2x＋2－x，则不等式f(x＋1)<f(2x)的解集为(　　 ) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－2，－1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．∪(1，＋∞) 解析：选C.对于函数f(x)＝lg (|x|－1)＋2x＋2－x， 令|x|－1>0，解得x>1或x<－1， 所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 又f(－x)＝lg (|－x|－1)＋2－x＋2x＝lg (|x|－1)＋2x＋2－x＝f(x)， 所以f(x)为偶函数， 当x>1时，f(x)＝lg (x－1)＋2x＋2－x， 则y＝lg (x－1)在(1，＋∞)上单调递增， 令g(x)＝2x＋2－x，x∈(1，＋∞)， 所以g′(x)＝2x ln 2－2－xln 2＝(2x－2－x)ln 2>0， 所以g(x)＝2x＋2－x在(1，＋∞)上单调递增， 则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，从而得到f(x)在(－∞，－1)上单调递减， 则不等式f(x＋1)<f(2x)等价于解得x>1或x<－2， 所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 思维升华　(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)． (2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小． 【对点练习】　1.(2024·湖北咸宁质检)若定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x) 同时满足：①f(x)为奇函数；②对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有<0，则称函数f(x)具有性质P，已知函数f(x)具有性质P，则不等式f(x－2)<的解集为(　　 ) A．(－∞，－1) B．(－3，2) C．(－∞，－3)∪(－1，2) D．(－∞，－3)∪(2，＋∞) 解析：选C.因为对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有<0，即对任意两个不相等的正实数x1，x2，不妨设0<x1<x2，都有<0，所以有>， 所以函数g(x)＝是(0，＋∞)上的减函数， 又因为f(x)为奇函数，即有∀x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f(－x)＝－f(x)， 所以有g(－x)＝＝g(x)，所以g(x)为偶函数， 所以g(x)在(－∞，0)上单调递增． 当x－2>0，即x>2时，有x2－4>0，由f(x－2)<，得<， 所以x－2>x2－4，解得x<－2，此时无解； 当x－2<0，即x<2时，由f(x－2)<，得>， 所以|x－2|<|x2－4|，解得x<－3或－1<x<2. 综上所述，不等式f(x－2)<的解集为(－∞，－3)∪(－1，2)． 题型二　函数的奇偶性与周期性 【例2】　已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1)＝2，f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2 024)＋f(2 025)＝(　　 ) A．4 B．2 C．－2 D．－4 解析：选B.因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(2＋x)＝f(1－(1＋x))＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 024)＋f(2 025)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2. 思维升华　周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解． 【对点练习】　2.(2024·重庆模拟)已知f(x)是定义在R上的函数，若函数f(x＋1)为偶函数，函数f(x＋2) 为奇函数，则＝(　　 ) A．0 B．1 C．2 D．－1 解析：选A.因为函数f(x＋1)为偶函数，所以f(1－x)＝f(1＋x)，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 又函数f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＋f(x＋2)＝0，所以函数f(x)的图象关于(2，0)对称， 所以f(－x＋3)＋f(x＋1)＝0，所以f(－x＋3)＝－f(－x＋1)，即f(x)＝－f(x＋2)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)的一个周期为4， 令x＝0，则f(2)＋f(2)＝0，所以f(2)＝0， 令x＝1，f(3)＋f(1)＝0，又f(0)＝f(2)＝0， 所以f(4)＝0，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， 所以＝505[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝505×0＋0＋0＋0＝0. 题型三　函数的奇偶性与对称性 【例3】　(多选)函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，f(4)＝－1，则下列结论正确的有(　　 ) A．f(0)＝0 B．f(2)＝0 C．f(x)为偶函数 D．f(x)的图象关于(1，0)对称 解析：选BC.由题可知f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，令x＝4，y＝0，则f(4＋0)＋f(4－0)＝2f(4)f(0)，即f(4)＋f(4)＝2f(4)f(0)，可得f(0)＝1，故A错误； 令x＝y＝2，则f(2＋2)＋f(2－2)＝2f(2)f(2)，即f(4)＋f(0)＝2[f(2)]2，又因为f(4)＝－1，f(0)＝1，可得f(2)＝0，故B正确； 令x＝0，可得f(y)＝f(－y)，故C正确； 若f(x)的图象关于(1，0)对称，则函数f(x)满足f(0)＋f(2)＝0，而f(2)＝0，f(0)＝1，显然f(0)＋f(2)＝1≠0，故D错误． 【对点练习】　3.(2024·陕西商洛模拟)已知y＝f(x＋1)－2为奇函数，则f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝(　　 ) A．－14 B．14 C．－18 D．18 解析：选D.因为y＝f(x＋1)－2为奇函数， 所以f(－x＋1)－2＝－f(x＋1)＋2， 即f(－x＋1)＋f(x＋1)＝4，故f(x)的对称中心为，即(1，2)， 所以f(－3)＋f(5)＝f(－2)＋f(4)＝f(－1)＋f(3)＝f(0)＋f(2)＝4， 又f(1)＋f(1)＝4，即f(1)＝2， 所以f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝4×4＋2＝18. 题型四　函数的周期性与对称性 【例4】　已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且函数y＝f(2x－1)为奇函数，则下列说法正确的是(　　 ) A．f(x)的一个周期是2 B．f(x)是奇函数 C．f(x)不一定是偶函数 D．f(x)的图象关于点(2 025，0)中心对称 解析：选D.对于A，因为定义在R上的函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋2)，即f(x＋2)＝－f(x＋4)，故f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的一个周期是4，所以A错误； 对于BC，因为f(x－2)＝－f(x)，所以f(－x－2)＝－f(－x)， 因为函数y＝f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，故f(x)的图象关于点(－1，0)对称，所以f(－x－2)＝－f(x)， 所以f(－x)＝f(x)，故f(x)是偶函数，不是奇函数，所以BC错误； 对于D，因为f(x)为偶函数，f(x)的图象关于点(－1，0)对称，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称， 因为f(x)的一个周期是4，所以f(x)的图象关于点(1＋4×506，0)对称，即f(x)的图象关于点(2 025，0)中心对称，所以D正确． 思维升华　区分函数的周期性与对称性的关系式 函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，二者不要混淆． 【对点练习】　4.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)－f(2－x)＝0，f(x＋2)－2为奇函数，则f(2 024)＝(　　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选D.因为f(x)－f(2－x)＝0，即f(x)＝f(2－x)，所以函数f(x)关于x＝1对称， 因为f(x＋2)－2为奇函数，所以f(－x＋2)－2＝－[f(x＋2)－2]＝－f(x＋2)＋2， 令x＝0，则f(2)－2＝－f(2)＋2，所以f(2)＝2，所以f(0)＝f(2)＝2， 所以f(x)＝－f(x＋2)＋4，即f(x＋2)＝－f(x)＋4，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＋4＝f(x)， 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数， 故f(2 024)＝f(0)＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $