2.1 函数的概念及其表示（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义围绕函数概念及其表示核心考点，依据课标要求整合定义域、对应关系、分段函数等要素，构建“必备知识-必记结论-题型突破”的逻辑体系，通过基点诊断夯实基础，题型精讲（函数概念、解析式、分段函数）提炼方法，对点练习强化应用，形成系统高效的复习路径。 资料突出方法指导与分层突破，如求函数解析式时详解换元法、配凑法等策略，结合真题案例培养数学思维，在分段函数求值问题中引导学生用数学语言规范表达。设置基础诊断、能力提升两级练习，配合即时反馈机制，助力学生短时间内掌握解题规律，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2．1　函数的概念及其表示 [课标要求]　1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．　2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数，理解函数图象的应用．　3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 【必备知识】 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【必记结论】 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f(x)＝是一个函数．(　　 ) (2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(　　 ) (3)y＝x0与y＝1是同一个函数．(　　 ) (4)函数f(x)＝的定义域为R.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　 ) A．y＝ B．u＝ C．y＝ D．m＝ 解析：选B.函数y＝与函数m＝和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数． 3．已知函数f(x)＝则函数等于(　　 ) A．3 B．－3 C． D．－ 解析：选C.由题意可知，＝ln ＝－ln 3，所以＝f(－ln 3)＝e－ln 3＝. 4．函数f(x)＝的定义域为________． 解析：由得－3≤x＜－2或－2＜x≤1. 答案：[－3，－2)∪(－2，1] 5．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R).若f(g(1))＝1，则a＝________． 解析：由已知条件可知f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，得a＝1. 答案：1 题型一　函数的概念 【例1】　(1)(多选)下列说法中正确的有(　　 ) A．f(x)＝与g(x)＝表示同一个函数 B．函数f(x)＝的定义域是[－1，0)∪(0，＋∞) C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数 D．若f(x)＝|x－1|－x，则＝0 解析：选BC.对于A，函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)＝的定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误；对于B，由题意，在f(x)＝中，解得x≥－1且x≠0，故B正确；对于C，函数f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确；对于D，由f(x)＝|x－1|－x，可得＝0，所以＝f(0)＝1，故D错误． (2)已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为(　　 ) A．(－1，0) B．(－2，0) C．(0，1) D．(－，0) 解析：选C.由题意，设t＝x＋1，∵x∈(－2，0)，∴t∈(－1，1)，∴f(x)的定义域为(－1，1)，对于f(2x－1)有2x－1∈(－1，1)，故其定义域为(0，1). 思维升华　求抽象函数的定义域的策略 策略一：若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； 策略二：若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 【对点练习】　1.(1)下列各组函数表示同一个函数的是(　　 ) A．f(x)＝，g(x)＝ B．f(x)＝，g(x)＝ C．f(x)＝g(t)＝|t| D．f(x)＝x＋1，g(x)＝ 解析：选C.对于A，f(x)＝的定义域为R，g(x)＝的定义域为[0，＋∞)，不是同一个函数；对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数；对于D，f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数． (2)(2024·江苏三校联考)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则y＝的定义域是(　　 ) A．[－2，5] B．(－2，3] C．[－1，3] D．(－2，5] 解析：选D.因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]， 则－2≤x≤3，所以－5≤2x－1≤5， 所以函数y＝f(x)的定义域为[－5，5]. 要使y＝有意义，则需要 解得－2<x≤5， 所以y＝的定义域是(－2，5]. 题型二　函数的解析式 【例2】　(1)已知f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________． 解析：法一(换元法)　令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R). 法二(配凑法)　因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R). 法三(待定系数法)　因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝ 4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c. 因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以解得所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R). 答案：x2－5x＋9(x∈R) (2)已知＝x2＋，求f(x)的解析式． 解：(配凑法)∵，x≠0，当x>0时，x＋≥2＝2， 当x<0时，x＋＝－≤－2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式． 解：(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17， 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． 解：(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x　①， ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x　②， 由①②解得f(x)＝3x. 方法指导　求函数解析式的常用方法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得到f(x)的表达式，注意自变量的取值范围． (2)换元法：对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，注意新元的取值范围． (3)待定系数法：先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过方程(组)求出相应的待定系数． (4)解方程组法：已知关于f(x)或f()或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【对点练习】　2.(1)若＝，则f(x)＝________． 解析：f(x)＝＝(x≠0且x≠1). 答案：(x≠0且x≠1) (2)(人教B版必修一P141)已知二次函数f(x)满足f(－2＋k)＝f(－2－k)(k∈R)，且该函数的图象与y轴交于点(0，1)，在x轴上截得的线段长为，则该二次函数的解析式为________． 解析：设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). ∵二次函数f(x)满足f(－2－k)＝f(－2＋k)(k∈R)， ∴该二次函数关于直线x＝－2对称，∴＝－2，即b＝4a. ∵该函数图象与y轴交于点(0，1)， ∴f(0)＝1，即c＝1. 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点(x1，0)，(x2，0). 令f(x)＝ax2＋bx＋c＝0， ∴由韦达定理得：x1＋x2＝，x1x2＝， ∵此二次函数的图象在x轴上截得的线段长为. ∴|x1－x2|＝，即＝. ∴，即b2－4ac＝8a2. 联立解得 ∴f(x)＝x2＋2x＋1. 答案：f(x)＝x2＋2x＋1 (3)已知f(x)满足f(x)－2＝2x，则f(x)＝________． 解析：∵f(x)－2＝2x　①， 以代替①中的x，得－2f(x)＝　②， ①＋②×2得－3f(x)＝2x＋， ∴f(x)＝(x≠0). 答案：(x≠0) 题型三　分段函数 【例3】　(1)(多选)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　 ) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4] C．若f(x)＝2，则x的值是 D．f(x)<1的解集为(－1，1) 解析：选BC.函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误； 当－2≤x<1时，f(x)＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确； 当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误． (2)(2024·唐山一模)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是______；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是______． 解析：若f(a)＝4， 则或 解得a＝－2或a＝5. 若f(a)≥2， 则或 解得－3≤a<－1或a≥4. 答案：－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞) 【对点练习】　3.(1)(2024·吉林模拟)已知f(x)＝若f(a)＝1，则实数a的值为(　　 ) A．1 B．4 C．1或4 D．2 解析：选B.当a<1时，f(a)＝2a－1＝1，则a－1＝0，解得a＝1(舍去)；当a≥1时，f(a)＝＝1，则＝2，解得a＝4. (2)(2024·北京东城二模)设函数f(x)＝则f＝________，不等式f(x)<f(2x)的解集是________． 解析：由题意可知：f＝f(1)＝1； 因为f(x)<f(2x)， 当|2x|<1，即－<x<时，则|x|<<1，可得1<1，不合题意； 当即x∈(－1，－]∪[，1)时，可得1<(2x)2，解得x>或x<－，所以x∈(－1，－)∪(，1)； 当|x|≥1，即x≥1或x≤－1时，则|2x|＝2|x|≥2>1，可得x2<(2x)2＝4x2，符合题意； 综上所述：不等式f(x)<f(2x)的解集是(－∞，－)∪(，＋∞). 答案：1　(－∞，－)∪(，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $