课下巩固精练卷(69) 离心率的范围问题（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

课下巩固精练卷(六十九)　离心率的取值范围 1．已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝，则椭圆离心率的取值范围为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.由题意，设椭圆上顶点为B，若椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝，则只需∠F1BF2≥即可． 当∠F1BF2＝时，△F1BF2为正三角形，此时a＝2c，故当∠F1BF2≥时，a≤2c，即≤. 又0<e<1，故离心率e∈. 2．(2024·内蒙古呼伦贝尔二模)椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若E上恰有4个不同的点P，使得△PF1F2为直角三角形，则E的离心率的取值范围为(　　 ) A．(，1) B．(0，) C．(，1) D. (0，) 解析：选D. 设E的上顶点为A，如图所示， 因为E上恰有4个不同的点P，使得△PF1F2为直角三角形， 所以∠F1AF2<90°，则<1，所以c2<a2－c2，即<， 故E的离心率的取值范围为(0，). 3．已知F1，F2分别为椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：x＝，且PQ⊥l，垂足为Q点．若四边形QPF1F2为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　 ) A．(，1) B．(-1，1 ) C．(0，-1) D．(0，) 解析：选B.设P(x0，y0)，则Q， ∵四边形QPF1F2为平行四边形， ∴|PQ|＝|F1F2|，∴－x0＝2c， 即x0＝－2c＝∈(－a，a)， ∴－1<<1， ∴－1<2－e2－2e<1，解得－1<e<1. 4．已知圆C1：x2＋y2＝b2(b>0)与双曲线C2：(a>0，b>0)，若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P所作的圆C1的两条切线(切点为A，B)满足∠APB＝，则双曲线C2的离心率的最小值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C. 如图所示，△POA≌△POB，|OB|＝|OA|＝b，∠APB＝，∴∠OPB＝， 又OB⊥BP，∴|OP|＝2b， 又|OP|≥a，故2b≥a， 即4(c2－a2)≥a2，即4c2≥5a2，∴e≥. 5．已知过点P(1，2)可作双曲线C：(a>0，b>0)的两条切线，若两个切点分别在双曲线C的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为(　　 ) A．(，＋∞) B．(1，) C．(1，) D．(，＋∞) 解析：选B.要满足题意，点P(1，2)必须在渐近线y＝x与y轴围成的区域内，且不能在渐近线及y轴上．所以必须满足<2， 所以e＝＝＝<， 又e>1，所以1<e<. 6．双曲线(a>2，b>0)的焦距为2c(c>0)，已知点A(a，0)，B(0，b)，点(2，0)到直线AB的距离为d1，点(－2，0)到直线AB的距离为d2，且d1＋d2≥c，则双曲线离心率的取值范围为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.依题意得直线AB：＋＝1， 即bx＋ay－ab＝0，又a>2， 所以d1＝＝， d2＝＝， 所以d1＋d2＝＋＝≥c， 所以5·a≥2c2，即25(c2－a2)·a2≥4c4， 即4e4－25e2＋25≤0，解得≤e2≤5， 又e>1，所以e∈. 7．已知双曲线E：(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线PF1与y轴交于Q点．若AQ∥PF2，则双曲线E的离心率的取值范围为(　　 ) A．(，＋∞) B．[＋1，＋∞) C．(＋1，＋∞) D．(，＋1] 解析：选C. 如图所示，根据题意可得F1(－c，0)，F2(c，0)，A(a，0)， 设P(x1，y1)，则直线PF1的方程为y＝(x＋c)， 所以直线PF1与y轴的交点Q， 由AQ∥PF2可得kAQ＝kPF2，即， 整理得(a＋c)x1＝c2－ac，即x1＝， 又因为P为双曲线右支上一点，所以x1≥a， 当x1＝a时，AQ，PF2共线，与题意不符，即x1>a， 可得x1＝>a， 整理得c2－a2－2ac>0，即e2－2e－1>0， 解得e>＋1或e<1－(舍去)， 即双曲线E的离心率的取值范围为(＋1，＋∞). 8.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，其内切圆与AC边相切于点D，且AD＝1.延长BA至点E，使得BC＝BE，连接CE.设以C，E两点为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e1，以C，E两点为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2，则e1e2的取值范围是(　　 ) A． B． C．[1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：选D. 如图，设内切圆与边BC，BE分别相切于点F，G， 由切线长定理和△BCE的对称性，可设CF＝CD＝EG＝x， 由AD＝1，可得AC＝x＋1，AE＝EG－AG＝x－1. 在△ACE中，由余弦定理得CE2＝(x＋1)2＋(x－1)2－2(x＋1)(x－1)cos 60°＝x2＋3. 于是根据椭圆和双曲线的定义，e1e2＝. 接下来确定x的取值范围． 设BF＝BG＝y， 在△ABC中，AC＝x＋1，AB＝y＋1，BC＝x＋y， 于是由余弦定理得(x＋y)2＝(x＋1)2＋(y＋1)2－2(x＋1)(y＋1)cos 120°， 整理得xy－3(x＋y)－3＝0，于是y＝>0，故x>3， 又因为x＋在(3，＋∞)内单调递增，可知x＋>3＋＝4， 可得e1e2＝>1，所以e1e2的取值范围是(1，＋∞). 9．(多选)已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，且PF1·PF2＝2c2，下列说法正确的是(　　 ) A．|OP|＝c B．离心率范围为 C．当点P为短轴端点时，△PF1F2为等腰直角三角形 D．若＝c2，则tan ∠F1PF2＝ 解析：选ABD.∵·＝＝－，∴·＝|PO|2－c2，又·＝2c2，∴2c2＝|PO|2－c2，∴|OP|＝c，故A正确； ∵|OP|＝c，b≤|OP|≤a，∴b≤c≤a，即a2－c2≤3c2≤a2，∴≤e≤，故B正确； 当点P为短轴端点时，∵|OP|＝c，|F1F2|＝2c， ∴△PF1F2为等边三角形，故C错误； 若＝c2，又＝2S△POF2＝|OP|·|OF2|sin ∠POF2，∴＝|OP|·|OF2|sin ∠POF2＝c·c sin ∠POF2＝c2， ∴sin ∠POF2＝， 不妨设∠POF2为锐角，则∠POF1为钝角， ∴cos ∠POF2＝，∴|PF2|2＝|OP|2＋|OF2|2－2|OP|·|OF2|cos ∠POF2＝2c2， ∴|PF2|＝c，同理可得|PF1|＝c， ∴cos ∠F1PF2＝，∴tan ∠F1PF2＝，故D正确． 10．(多选)(2024·山西吕梁三模)已知椭圆(a1>b1>0)的离心率为e1，双曲线(a2>0，b2>0)的离心率为e2，两曲线有公共焦点F1，F2，P是椭圆与双曲线的一个公共点，∠F1PF2＝60°，以下结论正确的是(　　 ) A． B． C． D．若e2∈，则e1∈ 解析：选BCD.根据题意，设F1(－c，0)，F2(c，0)， 对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点， 可得所以， 即，所以A错误； 对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义， 可得 所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2， 又由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 可得4c2＝， 所以，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以C正确； 对于D中，因为e2∈[]，所以，由可得，所以e1∈，所以D正确． 11．(多选)已知O为坐标原点，双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点为F，l是C的一条渐近线，以F为圆心，a为半径的圆与l交于A，B两点，则(　　 ) A．过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点 B．双曲线C的离心率的最大值是 C．若，则双曲线C的离心率的取值范围是 D．若，则双曲线C的离心率为 解析：选ACD. 对于A，因为双曲线C的渐近线l与圆F交于A，B两点，所以过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点(如图)，故选项A正确； 对于B，过点F作FD⊥l，垂足为D，易知|FD|＝b，因为圆F与直线l相交，所以b<a，又c2＝a2＋b2，所以c2<2a2，即e2<2，又e>1，所以双曲线C的离心率的取值范围是(1，)，故选项B错误； 对于C，若，则， 故，故， 所以， 即，即，得， 所以e∈，故选项C正确； 对于D，因为，所以A为线段OB的中点，设|AD|＝m，则|OA|＝2m，|OD|＝3m， 在Rt△AFD和Rt△OFD中，由勾股定理得消去m2得c2＝9a2－8b2， 即17a2＝9c2，所以e＝，故选项D正确． 12．已知双曲线E：(a>0，b>0)的右顶点为A，点B(3a，0).若在双曲线E的渐近线上存在点P，使得＝0，则双曲线E的离心率的取值范围是________． 解析：由题意得双曲线E：(a>0，b>0)的右顶点为A(a，0)，渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，＝0，即PA⊥PB， ∴点P为以AB为直径的圆与双曲线渐近线的交点，圆心为AB中点(2a，0)，半径为r＝a， 依题意，渐近线与该圆有公共点， 故≤a，即3b2≤a2， 即3(c2－a2)≤a2，即3c2≤4a2，∴1<e≤. 答案： 13．(2024·四川宜宾模拟)已知F1，F2为双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，点Q的坐标为(0，b).若|PF2|－|PQ|有最大值，则双曲线C的离心率的取值范围是__________． 解析： 由双曲线的定义，P为双曲线右支上任意一点，可得|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝|PF1|－2a， 则|PF2|－|PQ|＝|PF1|－|PQ|－2a≤|F1Q|－2a， 当三点P，Q，F1共线时，取得最大值， 由点P为双曲线右支上任意一点，可得直线QF1的斜率小于渐近线bx－ay＝0的斜率， 即，所以e＝>，即双曲线的离心率的取值范围为(，＋∞). 答案：(，＋∞) 14．(2024·重庆三模)已知椭圆(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，若椭圆上存在不在x轴上的两点A，B满足＋＝，且sin ∠F1AB＝2sin ∠F2AB，则椭圆离心率e的取值范围为_____________________． 解析： 由＋＝＝2知，O为AB中点，四边形AF1BF2为平行四边形， 由∠F2AB＝∠F1BA与sin ∠F1AB＝2sin ∠F2AB可知， 在△ABF1中由正弦定理知，|BF1|＝2|AF1|， 在△AF1F2中，有|AF2|＝|BF1|＝2|AF1|， 又因为|AF1|＋|AF2|＝2a， 可得|AF1|＝a，|AF2|＝a，由|AF2|－|AF1|<|F1F2|，得e>， 故离心率的取值范围为. 答案： 15．已知椭圆C：(a>b>0)的上顶点为B，O为坐标原点，点P(a，b)，线段OP与椭圆C交于点M，点Q在线段OM上，且|OM|2＝|OP||OQ|，若直线BQ与圆x2＋y2＝a2－b2相交，则椭圆C的离心率的取值范围为________． 解析：设直线OP的方程为y＝x， 由解得 即点M， 设点Q(λa，λb)，其中λ∈， 由|OM|2＝， 解得λ＝，故Q， 则直线BQ的方程为bx＋ay－ab＝0， 由直线BQ与圆x2＋y2＝a2－b2相交， 得<， 故a4－b4－a2b2>0，即b4<a2(a2－b2)， 因为a2－b2＝c2， 所以(a2－c2)2<a2c2，即a2－c2<ac，即1－e2<e， 又因为0<e<1，所以<e<1. 答案： 16．(2024·四川南充三模)已知点F是双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若∠AEB<120°，则该双曲线离心率的取值范围为____________． 解析： 如图所示，根据双曲线的对称性得，在△EAB中∠EAB＝∠EBA， 又因为∠AEB<120°， 所以在Rt△AEF中，∠AEF<60°， 即tan ∠AEF＝<， 所以， 又因为AB为通径，即|AF|＝＝a＋c， 所以<(a＋c)，且c2＝a2＋b2， 所以c2－a2<(a2＋ac)， 即c2－ac－a2<0， 即e2－e－<0， 解得－1<e<＋1， 又因为双曲线离心率e>1， 所以该双曲线的离心率取值范围为：1<e<＋1. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $