课下巩固精练卷(33) 三角函数的图象与性质（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

课下巩固精练卷(三十三)　三角函数的图象与性质 【基础巩固题】 1．(2025·八省联考)函数f(x)=cos的最小正周期是(　　) A． B． C．π D．2π 解析：选D.最小正周期T==2π． 2．已知函数f(x)＝cos ，则f(x)在[－2，0]上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 解析：选D.∵x∈[－2，0]， ∴， ∵， ∴函数f(x)＝cos 在[－2，0]上先减后增． 3．(2024·济南调研)已知函数f(x)＝2sin (ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的图象关于(　　) A．直线x＝对称 B．直线x＝对称 C．点对称 D．点对称 解析：选B.因为函数f(x)的最小正周期为π， 由π＝得ω＝1，所以f(x)＝2sin . f＝1，故直线x＝不是f(x)图象的对称轴，点也不是f(x)图象的对称中心； f＝2，故直线x＝是f(x)图象的对称轴，点不是f(x)图象的对称中心． 4．(2024·山东济宁三模)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f(x)在区间[－，m]上的值域为，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.依题意，函数f(x)＝sin x cos x＋cos2x－＝sin2x＋cos 2x＝sin ， 当x∈时，，显然，sin ＝1， 且正弦函数y＝sin x在上单调递减，由f(x)在区间上的值域为[－，1]， 得，解得， 所以实数m的取值范围是. 5．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f等于(　　) A． B． C． D． 解析：选D.因为直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴， 所以，不妨取ω>0，则T＝π，ω＝＝2， 由题意知，当x＝时，f(x)取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z， 不妨取k＝0，则f(x)＝sin ， 则f. 6．(2024·安康模拟)记函数f(x)＝sin (ωx＋)＋b(ω∈N*)的最小正周期为T，若<T<π，且y＝f(x)的最小值为1.则y＝f(x)图象的一个对称中心为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由函数的最小正周期T满足<T<π， 得，解得2<ω<4， 又因为ω∈N*，所以ω＝3， 所以f(x)＝sin ＋b， 又函数y＝f(x)的最小值为1，所以b＝2， 所以f(x)＝sin ＋2， 令3x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z， 所以对称中心为(k∈Z)，只有C符合题意(k＝2). 7．(多选)(2024·辽宁鞍山模拟)已知函数f(x)＝sin x·cos x，则(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)的最小正周期为2π C．f(x)的最小值为－ D．f(x)在上单调递增 解析：选AC.f(x)＝sin x·cos x＝sin 2x，函数的定义域为R， 对A，f(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故A正确； 对B，函数f(x)的最小正周期为＝π，故B错误； 对C，函数f(x)的最小值为－，故C正确； 对D，x∈，2x∈[0，π]，函数f(x)不单调，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故D错误． 8．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析：选BC.A选项，令f(x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)＝sin ＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误； B选项，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B选项正确； C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的周期均为＝π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质，知f(x)的对称轴满足2x＝kπ＋⇔x＝，k∈Z，g(x)的对称轴满足2x－＝kπ＋⇔x＝，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误． 9．(2024·全国甲卷)函数f(x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是______． 解析：f(x)＝sin x－cos x＝2sin ，当x∈[0，π]时，x－∈，当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2. 答案：2 10．函数y＝的定义域为__________． 解析：方法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一直角坐标系中画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的图象，如图所示． 在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为(k∈Z). 方法二　要使函数y＝有意义，即使sin x－cos x≥0，即sin (x－)≥0，即2kπ≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，即原函数的定义域为 (k∈Z). 答案：(k∈Z) 【综合应用题】 11．(2024·抚顺模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的周期是 B．f(x)的值域是{y|y≠0，y∈R} C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z 解析：选D.函数f(x)的周期是2π，故A错误； f(x)的值域是[0，＋∞)，故B错误； 当x＝时，，k∈Z，∴直线x＝不是函数f(x)图象的一条对称轴，故C错误； 令，k∈Z，可得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间是，k∈Z，故D正确． 12．(多选)(2024·安徽三模)已知函数f(x)＝|sin x|－cos x，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)的最小正周期是π C．f(x)的值域为[－，2] D．f(x)在上单调递增 解析：选AC.对于A，由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝|sin (－x)|－cos (－x)＝|－sin x|－cos x＝|sin x|－cos x＝f(x)，故f(x)是偶函数，A正确； 对于B，由于f(0)＝|sin 0|－cos 0＝－，f(π)＝|sin π|－cos π＝，故f(0)≠f(π)，这说明π不是f(x)的周期，B错误； 对于C，由于f(x)＝|sin x|－cos x≤|sin x|＋|cos x|＝≤＝＝＝＝2， 且f(x)＝|sinx|－cos x≥－cos x≥－， 故－≤f(x)≤2. 而对－≤u≤2，有f(0)＝－≤u，f＝2≥u，故由零点存在定理知一定存在x∈使得f(x)＝u. 所以f(x)的值域为[－，2]，C正确； 对于D，由于，f，故f(x)在上并不是单调递增的，D错误． 13．若函数f(x)＝7sin 在区间上单调，则实数a的最大值为______. 解析：因为x∈， 所以x＋∈， 又在y＝sin x的单调递减区间内， 所以a＋，解得a≤， 所以a的最大值为. 答案： 14．已知sin x＋cos y＝，则sin x－sin2y的最大值为__________． 解析：∵sinx＋cos y＝，sin x∈[－1，1]， ∴sin x＝－cos y∈[－1，1]， ∴cos y∈，即cos y∈， ∵sin x－sin2y＝－cosy－(1－cos2y)＝cos2y－cosy－＝－1， 又cos y∈， 利用二次函数的性质知，当cos y＝－时，sin x－sin2y取最大值，(sinx－sin2y)max＝. 答案： 【创新拓展题】 15．(2024·无锡模拟)设函数f(x)＝sin在上的值域为[M，N]，则N－M的取值范围是__________． 解析：函数f(x)＝sin 的周期T＝π， 而， 当函数f(x)在上单调时， N－M＝＝|cos 2α|≤， 当函数f(x)在上不单调时，由正弦函数的图象性质知，当f(x)在上的图象关于直线x＝α＋对称时，N－M最小， 此时2－＝kπ＋，k∈Z， 即α＝，k∈Z， 因此(N－M)min＝＝|sin (kπ＋)－sin (kπ＋)|＝|cos kπ－cos kπ|＝， 所以N－M的取值范围是. 答案： 16．(2024·新乡模拟)已知函数f(x)＝a sin (2x－)－2cos2(a>0)，且满足__________． 从①f(x)的最大值为1；②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π；③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答． (1)求函数f(x)的解析式及最小正周期； (2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围． (注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．) 解：(1)函数f(x)＝a sin－2cos2 ＝a sin－cos －1 ＝a sin －cos －1 ＝a sin ＋sin －1 ＝(a＋1)sin －1， 若选择条件①f(x)的最大值为1，则a＋1＝2，解得a＝1， 所以f(x)＝2sin －1， 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 若选择条件②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π，且f(x)的最小正周期T＝＝π， 所以－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1， 所以f(x)＝2sin －1. 若选择条件③f(x)的图象过点， 则f＝(a＋1)sin －1＝0，解得a＝1. 所以f(x)＝2sin －1， 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)令f(x)＝1，得sin ＝1， 解得2x－＝＋2kπ，k∈Z， 即x＝＋kπ，k∈Z. 若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x＝或x＝， 所以实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $