课下巩固精练卷(20) 函数模型的应用（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

课下巩固精练卷(二十)　函数模型的应用 【基础巩固题】 1．现有一组关于速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的实验数据如表： t 2.0 3.0 4.0 5.1 6.18 v 1.5 4.02 7.5 12 18.3 用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　 ) A．v＝log2t B．v＝ C．v＝ D．v＝2t－2 解析：选C.从表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快， A项，是对数函数模型，其递增速度越来越慢，不符合题意； B项，随着t的增大，速度变小，不符合题意， C项，是二次函数模型，对比数据，其最接近实验数据的变化趋势，符合题意； D项，是一次函数模型，增长速度不变，不符合题意． 2．(2024·重庆模拟)物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)＝，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的(　　 ) (参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) A．5.5倍 B．6倍 C．6.5倍 D．7倍 解析：选C.由题意，以n开头的数出现的概率为Pb(n)＝， 可得P10(1)＝lg 2，P10(9)＝lg ＝lg 10－lg 9＝1－2lg 3， 所以≈6.5. 3．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　 ) 解析：选C.在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且单调递增，故排除A，D；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，故排除B；能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是C. 4．(2024·宁夏银川一模)锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变化规律为Q＝ktp，其中Q(单位：mAh)为电池容量损失量，p是时间t的指数项，反映了时间趋势由反应级数决定，k是方程剩余项未知参数的组合，与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关．以某种品牌锂电池为研究对象，经实验采集数据进行拟合后获得p＝0.5，相关统计学参数R2>0.995，且预测值与实际值误差很小．在研究M对Q的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量随时间的变化规律为Q＝ktp＝e(A＋BM)tp，经实验采集数据进行拟合后获得A＝2.228，B＝1.3，相关统计学参数R2＝0.999，且预测值与实际值误差很小．若该品牌电池初始荷电状态为80%，存放16天后，电容量损失量约为(　　 ) (参考数据：e3.22≈25.08，e3.232≈25.33，e3.268≈26.26，e3.628≈37.64) A．100.32 B．101.32 C．105.04 D．150.56 解析：选C.根据题意，可得p＝0.5，A＝2.228，B＝1.3，代入Q＝ktp＝e(A＋BM)tp ，可得Q＝e(2.228＋1.3M)·t0.5， 因为该品牌电池初始荷电状态M＝80%＝0.8， 所以存放16天后，电容量损失量Q＝e(2.228＋1.3×0.8)·160.5＝4e3.268≈4×26.26＝105.04. 5．(2024·陕西渭南二模)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ℃，且y＝k·0.922 7x＋25(x≥0，k∈R).当茶水温度降至60 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(　　 ) (参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 7≈1.95，ln 0.922 7≈－0.08) A．6 min B．7 min C．8 min D．9 min 解析：选B.由题意可知，当x＝0时，y＝85，则85＝k＋25，解得k＝60，所以y＝60×0.922 7x＋25， 当y＝60时，60＝60×0.922 7x＋25，即0.922 7x＝，则x＝log0.922 7＝≈7， 所以茶水泡制时间大约为7 min. 6．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　 ) A．10.5万元 B．11万元 C．43万元 D．43.025万元 解析：选C.设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可获得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元． 7．某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成．该公司2020年总收入为200亿元，其中保险业务收入为150亿元，理财业务收入为50亿元．该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加20亿元．因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速．要求从2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍．若要使得该公司2025年的保险业务收入不高于当年总收入的60%，则t的值至少为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.由题意可知2025年的总收入为300亿元． 因为要求从2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍， 所以2025年通过理财业务的收入为50t5亿元， 所以300－50t5≤300×0.6，解得t≥，故t的值至少为. 8．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　 ) A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲从家到公园的时间是30 min C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 解析：选BD.在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误； 由题中图象知，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误； 当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，则y＝x，D正确． 9．(2024·广东梅州模拟)某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有2%的杂质，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，现要进行过滤．已知每过滤一次杂质含量减少，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为______．(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477 ) 解析：设至少需要过滤n次，可得0.02×≤0.001，即≤，两边取对数，可得n lg ≤lg ，所以n≥＝≈7.4， 又因为n∈N*，所以n≥8，所以使产品达到市场要求的过滤次数最少为8. 答案：8 10．为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为m，如图所示的散点图， 记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(m)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝t＋a；④y＝ ＋a中(其中a为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为______m. 解析：由散点图的走势，知模型①不合适． 曲线过点，则后三个模型的解析式分别为②y＝＋log2t；③y＝t＋；④y＝ ＋，当t＝1时，代入④中，得y＝，与图不符，易知拟合最好的是②. 将t＝8代入②式，得y＝＋log28＝(m). 答案：②　 【综合应用题】 11.(2024·北京丰台一模)按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为： ①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为1∶； ②将Ai(i＝0，1，…，9)纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为A(i＋1)规格纸张(如图). 某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张．共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张．为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为(　　 ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选C.依题意1张A0规格纸张可以裁剪出2张A1，或4张A2或16张A4， 设一张A0规格纸张的面积为x， 则一张A1规格纸张的面积为x， 一张A2规格纸张的面积为x， 一张A4规格纸张的面积为x， 依题意总共需要的纸张的面积为， 所以至少需要提供8张A0规格纸张， 其中将3张A0裁出5张A1和2张A2；将2张A0裁出8张A2；将剩下的3张A0裁出3×16＝48张A4， 即共可以裁出5张A1、10张A2、48张A4. 12．(2024·北京朝阳二模)假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力f满足公式f＝ρCSv2，其中ρ是空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数(其大小取决于多种其他因素)，反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P＝fv. 当ρ，S不变，v比原来提高10%时，下列说法正确的是(　　 ) A．若C不变，则P比原来提高不超过30% B．若C不变，则P比原来提高超过40% C．为使P不变，则C比原来降低不超过30% D．为使P不变，则C比原来降低超过40% 解析：选C.由题意，f＝ρCSv2，P＝fv，所以P＝ρCSv3，C＝. 当ρ，S，C不变，v比原来提高10%时，则P1＝ρCS(1＋10%)3v3＝ρCS·1.13v3＝1.331·ρCSv3，所以P比原来提高超过30%，不超过40%，故A，B错误； 当ρ，S，P不变，v比原来提高10%时，C1＝＝≈0.75·，所以C比原来降低不超过30%，故C正确，D错误． 13．(多选)(2024·湖南长沙模拟)氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年．样本中氚的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝，其中N0表示氚原有的质量，则(　　 ) (参考数据：lg 2≈0.301) A．t＝ B．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x>16 解析：选CD.由题意得N＝，故有＝,左右同时取对数得log2＝，故得t＝－12.43log2，故A错误； 当t＝24.86时，N＝＝2－2·N0＝N0，故B错误； 当t＝62.15时，N＝＝2－5·N0＝N0，即经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确； 由题意得0.4N0＝，化简得x＝－12.43log2＝－12.43log2＝－12.43(log22－log25)＝－12.43(1－log25)＝－12.43(1－)＝－12.43(1－)，将lg 2≈0.301代入其中，可得x≈－12.43(1－)≈16.44>16，故D正确． 14．(多选)(2024·辽宁大连二模)半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用f(t)表示从t＝0开始，晶体管数量随时间t变化的函数，若f(0)＝1 000，则下面选项中，符合摩尔定律公式的是(　　 ) A．若t是以月为单位，则f(t)＝1 000＋t B．若t是以年为单位，则f(t)＝1 000×()t C．若t是以月为单位，则lg f(t)＝3＋t D．若t是以年为单位，则lg f(t)＝3＋ 解析：选BC.选项A，f(24)＝2 000＝2f(0)，f(48)＝3 000≠2f(24)，A不符合； 选项B，f(2)＝2 000＝2f(0)，f(4)＝4 000＝2f(2)，f(2n)＝1 000×2n，n∈N*，符合； 选项C，lg f(t)＝3＋t，则 f(t)＝＝1 000×，f(24)＝2×1 000，f(48)＝4 000＝2f(24)，f(24n)＝1 000×2n，n∈N*，符合； 选项D，lg f(t)＝3＋，f(t)＝1 000×，f(2)＝2×1 000＝f(0)，f(4)＝1 000× ≠2f(2)，不符合． 15．(2024·广东广州模拟)“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于10－18 s，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示．《庄子·天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1 m，按照此法，至少需要经过______天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离．(参考数据：光速为3×108 m/s，lg 2≈0.3，lg 3≈0.48) 解析：依题意，光在2“阿托秒”内走的距离为2×10－18×3×108＝6×10－10(m)， 经过n天后，剩余的长度f(n)＝ m，由f(n)<6×10－10，得 <6×10－10， 两边同时取对数，得n>＝＝＝ ≈≈30.73， 而n∈N*，则n＝31，所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走的距离． 答案：31 16．(2024·陕西商洛模拟)人工智能(Artificial Intelligence)，英文缩写为AI.它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．人工智能研究的一个主要目标是使机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作．在疫情期间利用机器人配送、机器人测控体温等都是人工智能的实际运用．某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金5 000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底各项人员工资、税务等支出合计1 500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为an万元，第m(m∈N*)年年底企业的剩余资金超过21 000万元，则整数m的最小值为__________．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 解析：由题意得，a1＝5 000(1＋50%)－1 500＝7 500－1 500＝6 000，an＋1＝an(1＋50%)－1 500＝an－1 500. 即an＋1－3 000＝(an－3 000)，＝， 数列{an－3 000}是以3 000为首项，是为公比的等比数列，即an－3 000＝3 000×， am＝3 000×＋3 000>21 000，即>6， ≈4.42，又m∈N*，故m≥6， 所以m的最小值为6. 答案：6 学科网（北京）股份有限公司 $