课下巩固精练卷(19) 函数与方程的综合应用（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

课下巩固精练卷(十九)　函数与方程的综合应用 【基础巩固题】 1．若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则 a的取值范围是(　　 ) A．(0，3) B．[0，3] C．(－3，0) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 解析：选A.令f(x)＝－x2＋ax＋4，则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，由二次函数的图象可知即解得0<a<3. 2．已知函数f(x)＝若a，b，c均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　 ) A．(1，10) B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24) 解析：选C.函数的图象如图所示，不妨设a＜b＜c，则－lg a＝lg b＝－c＋6∈(0，1)，所以ab＝1，0＜－c＋6＜1，所以ab＝1，10＜c＜12，所以10＜abc＜12. 3．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.根据题意有解得. 4．(2024·福州联考)已知函数f(x)＝sin πx＋，则y＝f(x)的图象在(－2，4)内的零点之和为(　　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选B.由f(x)＝sin πx＋＝0可得sin πx＝－， 则函数y＝sin πx与函数y＝－的图象在(－2，4)内交点的横坐标即为函数y＝f(x)的零点． 又函数y＝sin πx与函数y＝－的图象都关于点(1，0)对称， 作出函数y＝sin πx与函数y＝－的大致图象，如图所示． 由图象可知y＝f(x)在(－2，4)内有四个零点，零点之和为4. 5．若关于x的方程9x＋(a＋4)·3x＋4＝0有实数解，则实数a的取值范围是(　　 ) A．[0，＋∞) 　 B．(－∞，－8] C．(－∞，－8]∪[0，＋∞) 　 D．(－∞，－8)∪(0，＋∞) 解析：选B.令t＝3x>0，则9x＝t2， 由9x＋(a＋4)·3x＋4＝0，得t2＋(a＋4)t＋4＝0. 则问题转化为关于t的二次方程t2＋(a＋4)t＋4＝0在t>0时有实数根． 由t2＋(a＋4)t＋4＝0，可得－(a＋4)＝t＋， 由基本不等式得－(a＋4)＝t＋≥2＝4， 当且仅当t＝2时，等号成立， 所以－(a＋4)≥4，解得a≤－8. 因此，实数a的取值范围是(－∞，－8]. 6．设m是不为0的实数，已知函数f(x)＝若函数F(x)＝2[f(x)]2－mf(x)有7个零点，则m的取值范围是(　　 ) A．(－2，0)∪(0，16) 　 B．(0，16) C．(0，2) 　 D．(－2，0)∪(0，＋∞) 解析：选C.f(x)的图象如图所示， 由F(x)＝f(x)[2f(x)－m]＝0，得f(x)＝0或2f(x)－m＝0， 当f(x)＝0时，f(x)有3个零点，当2f(x)－m＝0时，f(x)＝， 即y＝f(x)与y＝有4个交点， 所以0<<1，解得0<m<2. 7．(多选)已知x＞0时，x＞log2x，则关于函数f(x)＝下列说法正确的是(　　 ) A．方程f(x)＝x的解只有1个 B．方程f(f(x))＝1的解有5个 C．方程f(f(x))＝t(0＜t＜1)的解有5个 D．方程f(f(x))＝t(t＞1)的解有5个 解析：选ACD.作出f(x)＝的图象，如图， 对于A，因为x＞log2x，显然y＝x与f(x)的图象有唯一交点，故A正确； 对于B，令f(x)＝t，则f(t)＝1⇒t＝0或t＝或t＝2⇒f(x)＝0或f(x)＝或f(x)＝2⇒6个解，故B错误； 对于C，令u＝f(x)，则f(u)＝t∈(0，1)⇒u1＜0，u2∈(0，1)，u3∈(1，2)⇒f(x1)＜0，f(x2)∈(0，1)，f(x3)∈(1，2)⇒x1∈∅，x2有3个解，x3有2个解，共有5个解，故C正确； 对于D，令u＝f(x)，则f(u)＝t∈(1，＋∞)⇒u1∈(0，)，u2∈(2，＋∞)⇒f(x1)∈(0，)，f(x2)∈(2，＋∞)⇒x1有3个解，x2有2个解，共有5个解，故D正确． 8．(多选)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程f(g(x))＝x有实数解，则下列式子中可以为g(f(x))的是(　　 ) A．x2＋2x B．x＋1 C．ecos x D．ln (|x|＋1) 解析：选ACD.由方程f(g(x))＝x有实数解可得g(f(g(x)))＝g(x)，再用x替代g(x)，即x＝g(f(x))有实数解． 对于A，x＝x2＋2x，即x2＋x＝0，方程有实数解，故A正确； 对于B，x＝x＋1，即0＝1，方程无实数解，故B错误； 对于C，当ecos x＝x时，令h(x)＝ecos x－x，因为h(0)＝e>0，h＝1－<0，由函数零点存在定理可知，h(x)在上存在零点，所以方程有实数解，故C正确； 对于D，当ln (|x|＋1)＝x时，x＝0为方程的解，所以方程有实数解，故D正确． 9．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程x ln x＝1的解，则x1x2＝________． 解析：x1，x2分别是函数y＝ex，函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，所以A，B两点关于y＝x对称，则x1＝，因此x1x2＝1. 答案：1 10．已知函数f(x)＝且关于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个不同的实数解，则实数m的取值范围为________． 解析：由题意，f(x)的图象如图所示， 因为[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个实数解， 设f(x)＝t，则方程t2－(2m＋1)t＋m2＋m＝0有2个不相等的实根t1＝m，t2＝m＋1且0<t1<1≤t2<2或1≤t1<2，t2＝2. 当1≤t1<2，t2＝2时，m＝1，满足题意；当0<t1<1≤t2<2时，0<m<1≤m＋1<2，解得m∈(0，1). 综上，m∈(0，1]. 答案：(0，1] 【综合应用题】 11．若存在实数a使得函数f(x)＝2x＋2－x－ma2＋a－3有唯一零点，则实数m的取值范围是(　　 ) A． B．(－∞，0] C． D． 解析：选A.令t＝2x(t>0)，则t是增函数，令y＝t＋，由对勾函数的性质知y＝t＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当t＝1时，ymin＝2，此时x＝0， 因此f(x)有唯一零点，则零点为x＝0， f(0)＝－ma2＋a－1＝0，当m＝0时，a＝1有解；当m≠0时，Δ＝1－4m≥0，m≤且m≠0. 综上，m≤. 12．已知f(x)是定义域为(0，＋∞)的单调函数，若对任意的x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－log2x)＝3，则函数y＝2f(x)－的零点为(　　 ) A． B． C．2 D．3 解析：选A.因为f(x)是定义域为(0，＋∞)的单调函数，且对任意的x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－log2x)＝3，故可设存在唯一的实数C∈(0，＋∞)，使得f(C)＝3，则f(x)－log2x＝C，所以f(x)＝log2x＋C， 所以f(C)＝log2C＋C＝3，则log2C＝3－C， 由于函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝3－x在(0，＋∞)上单调递减， 又log22＝1＝3－2，所以C＝2， 故f(x)＝log2x＋2＝log2(4x)， 再令2f(x)－＝0，x∈(0，＋∞)，得4x－＝0， 解得x＝(负值舍去)． 则函数y＝2f(x)－的零点为. 13．(2024·杭州段测)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)＝f(x＋2)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3－x2＋x，则方程4f(x)－x＋2＝0所有的根之和为(　　 ) A．6 B．12 C．14 D．10 解析：选D.因为f(－x)＋f(x)＝0，x∈R， 所以f(x)为奇函数． 又因为f(－x)＝f(x＋2)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称． 所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)， 得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， 所以f(x)的一个周期为4. 又因为x∈[0，1]时，f′(x)＝3x2－2x＋1＝32＋>0， 所以f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)＝0，f(1)＝1. 由题意如图所示， 直线y＝(x－2)与y＝f(x)的交点的横坐标为方程4f(x)－x＋2＝0的根， 可得在(－2，2)与(2，6)上均有两个交点，且关于(2，0)对称，加上(2，0)点，共5个点， 所以这5个交点的横坐标之和为2×2×2＋2＝10. 14．(2024·石家庄模拟)已知函数f(x)＝则x1x2＝________，(x3－3)·(x4－3)的取值范围是________． 解析：作出函数f(x)＝的图象，如图所示， 因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，x1＜x2＜x3＜x4， 所以由图可知，－log3x1＝log3x2，＝9，且3＜x3＜6，得x1x2＝1，x3＋x4＝18， 所以(x3－3)(x4－3)＝x3x4－3(x3＋x4)＋9＝x3(18－x3)－45＝－＋18x3－45， 因为y＝－＋18x3－45在(3，6)上单调递增， 所以0＜y＜27， 即(x3－3)(x4－3)的取值范围是(0，27)． 答案：1　(0，27) 【创新拓展题】 15．函数f(x)＝x2 025|x|，若方程(x＋sin x)f(x)－ax2＝0只有三个解x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则sin x2＋2 025x1x3的取值范围是(　　 ) A．(0，＋∞) B．(2 025，＋∞) C．(－∞，－2 025) D．(－∞，0) 解析：选D.因为(x＋sin x)f(x)－ax2＝0，f(x)＝x2 025|x|， 所以(x＋sin x)x2 025|x|－ax2＝0， ①当x＝0时，方程成立； ②若x≠0，(x＋sin x)x2 025|x|－ax2＝0可化为(x＋sin x)x2 023|x|－a＝0⇔(x＋sin x)x2 023|x|＝a， 令F(x)＝(x＋sin x)x2 023|x|，因为定义域关于原点对称，且F(－x)＝[－x＋sin (－x)](－x)2 023|－x|＝(x＋sin x)x2 023|x|＝F(x)， 所以F(x)为偶函数，图象关于y轴对称， 所以F(x)与y＝a的两个交点对应的横坐标关于y轴对称，即方程(x＋sin x)x2 023|x|＝a的另外两解一定一正一负， 又x1<x2<x3， 所以x1<0，x2＝0，x3>0，且x1＝－x3≠0， 所以sin x2＋2 025x1x3＝－<0. 16．已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(x)＝m有4个不同的根，记为x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，且λ>x1－x2＋恒成立，则λ的取值范围是________． 解析：f(x)＝ ＝ 作出函数的图象如图所示， 则可得－2<x1<－1<x2<0<x3<1<x4， 因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝m， 所以－ln (x1＋2)＝－ln (－x2)＝－ln x3＝ln x4， 所以x1＋2＝－x2＝x3＝， 所以x1＝x3－2，x2＝－x3，x4＝， 因为λ>x1－x2＋恒成立， 所以>2x3－， 所以λ>＋2，对任意x3∈(0，1)恒成立，即λ>[]max， 所以当x3＝时，函数y＝－＋2取到最大值2，所以λ>2， 即λ的取值范围为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $