课下巩固精练卷(88) 概率、统计与其他知识的交汇问题（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

课下巩固精练卷(八十八)　概率、统计与其他知识的交汇问题 1．(2024·湖南衡阳三模)现有A，B两个不透明盒子，都装有m个红球和m个白球，这些球的大小、形状、质地完全相同． (1)若m＝3，甲、乙、丙依次从A盒中不放回的摸出一球，设X表示三人摸出的白球个数之和，求X的分布列与数学期望； (2)若m＝1，从A、B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，n(n∈N*)次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为Xn，求： (ⅰ)X2＝1的概率； (ⅱ)Xn的分布列． 解：(1)法一：X的可能取值有0，1，2，3， 则P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望E(X)＝0×. 法二：X的可能取值为0，1，2，3， 则P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望E(X)＝0×. (2)(ⅰ)P(X1＝2)＝，P(X1＝1)＝，P(X1＝0)＝，P(X2＝1|X1＝2)＝1，P(X2＝1|X1＝1)＝，P(X2＝1|X1＝0)＝1， 所以P(X2＝1)＝P(X1＝2)P(X2＝1|X1＝2)＋P(X1＝1)P(X2＝1|X1＝1)＋P(X1＝0)P(X2＝1|X1＝0)＝. (ⅱ)设P(Xn＝2)＝pn，P(Xn＝1)＝qn，P(Xn＝0)＝rn， 则 所以qn＝qn－1， 所以 因为q1＝， 所以{qn＋1＋qn}是以1为首项的常数列，{qn＋1－qn}是以为首项，－为公比的等比数列 所以 所以qn＝]＝， pn＝，rn＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 2.(2024·河北衡水模拟)已知甲口袋有m(m≥1，m∈N*)个红球和2个白球，乙口袋有n(n≥1，n∈N*)个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球． (1)当m＝4，n＝2时， (ⅰ)求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； (ⅱ)设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的数学期望； (2)当m＝n时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？ 解：(1)小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为＝， 从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为＝. (ⅰ)设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件A，则“小明4次摸球中，摸出的都是红球”为事件，且P()＝(1－)2×(1－)2＝， 所以P(A)＝1－P()＝1－＝. (ⅱ)X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 由(ⅰ)，得P(X＝0)＝P()＝ ， P(X＝1)＝×(1－)××(1－)2＋(1－)2××(1－)×＝， P(X＝2)＝()2×(1－)2＋(1－)2×()2＋×(1－)×××(1－)×＝， P(X＝3)＝()2××(1－)×＋×(1－)××()2＝， P(X＝4)＝()2×()2＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. (2)由m＝n，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验， 设小明每次摸出一个红球的概率为k(0<k<1)， 则P(k)＝k3(1－k)＝4(k3－k4). 因为P′(k)＝－16k2(k－)， 所以当0<k<时，P′(k)>0；当<k<1时，P′(k)<0， 所以P(k)在区间(0，)上单调递增，在区间(，1)上单调递减， 所以当k＝时，P(k)最大， 此时k＝＝，解得m＝6， 故当m＝6时，P最大． 3．(2024·广东广州三模)甲进行摸球跳格游戏，图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外其他都相同).每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为Pn(n＝1，2，3，…，25). (1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望； (2)求{Pn}的通项公式． 解：(1)根据题意可知，X的所有可能取值为0，1，2, 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝， 可得X的分布列如下： X 0 1 2 P 期望值为E(X)＝0×. (2)依题意，当3≤n≤24时，棋子跳到第n格有两种可能： 第一种，棋子先跳到第n－2格，再摸出两球颜色不同， 第二种，棋子先跳到第n－1格，再摸出两球颜色相同， 又可知摸出两球颜色不同，即跳两格的概率为，摸出两球颜色相同，即跳一格的概率为， 因此可得Pn＝Pn－1(3≤n≤24)， 所以Pn－Pn－1＝(Pn－1－Pn－2)， 因此可得≠0，且P1＝1，P2＝， 即数列{Pn－Pn－1}(2≤n≤24)是首项为－，公比为－的等比数列， 即Pn－Pn－1＝n-1(2≤n≤24)， 所以Pn＝(Pn－Pn－1)＋(Pn－1－Pn－2)＋…＋(P2－P1)＋P1 ＝n-1＋n-2＋…＋＋1 ＝n， 由题意P25＝×＝23， 综上，Pn＝ 4．(2024·郑州调研)某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3的称为“神投小组”，已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为p1，p2. (1)若p1＝，求他们在第一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率； (2)已知p1＋p2＝，则 ①p1，p2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？并求出此时的最大概率； ②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，则他们平均要进行多少轮游戏？ 解：(1)每小组投进的次数之和不少于3的称为“神投小组”， 则可能的情况有①甲投中一次，乙投中两次；②甲投中两次，乙投中一次；③甲投中两次，乙投中两次． ∵p1＝， ∴他们在第一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率为. (2)①由题意得他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率p＝·p1·p2(1－p2)＋＝2p1p2(p1＋p2)－. ∵p1＋p2＝，∴p＝， 又0≤p1≤1，0≤p2≤1，p1＋p2＝， ∴≤p1≤1. 令m＝p1p2＝－，则m∈ ∴ ∵上单调递增， ∴pmax＝f， 此时p1＝p2＝. ②他们小组在n轮游戏中获得“神投小组”称号的次数ξ满足ξ～B， ∵np＝297，则n＝＝625， ∴平均要进行625轮游戏． 学科网（北京）股份有限公司 $