10.5 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学高考复习资料围绕事件的相互独立性、条件概率及全概率公式等核心考点，严格对标课标要求，按“必备知识（定义、性质、公式）—必记结论—基点诊断”架构梳理知识体系，通过分题型讲解、高考真题示例及对点练习，帮助学生构建从概念到应用的逻辑链条，突破概率计算难点。 资料突出真题导向与分层突破特色，如条件概率教学中总结三种解题策略，结合射击、信号传输等实例培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置三级练习配合即时反馈，助力学生高效掌握分析方法，为教师把控复习进度、提升学生应考能力提供有力支持。

10．5　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 [课标要求]　1.了解两个随机事件独立性的含义，能利用独立性计算概率．　2.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率．　3.了解条件概率与独立性的关系，会利用乘法公式计算概率．　4.会利用全概率公式计算概率． 【必备知识】 1．条件概率 (1)条件概率的定义 设A，B是两个事件，且P(A)>0，则称P(B│A)＝为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率． (2)条件概率的性质 条件概率是概率的一种，具有概率的一般性质．设P(A))>0，则 ①P(Ω│A)＝1． ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C│A)＝P(B│A)＋P(C│A)． ③设和B互为对立事件，则P＝1－P(B│A)． 2．事件的相互独立性 (1)独立事件的概念 设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)相互独立的性质 若事件A与B相互独立，那么A与，与与也都相互独立． (3)n个事件相互独立 对于n个事件，，…，，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件，，…，相互独立． (4)独立事件的概率公式 ①若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B). ②若事件，，…，相互独立，则P(…)＝P()P()…P(). (5)概率的乘法公式 对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B│A). 3．全概率公式 设，，…，为样本空间Ω的一个划分，若P（）>0（i=1,2，…，n）， 则对任意一个事件A有P（A）=.称上式为全概率公式.如果我们把看成导致事件A发生的各种可能“原因”，那么，全概率公式告诉我们：事件 A发生的概率恰好是事件A在这些“原因”下发生的条件概率的平均． 【必记结论】 1．若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 2．贝叶斯公式： 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P>0，有，i＝1，2，…，n. 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　) (2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　　) (3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第2枚正面朝上”为事件B，则A，B相互独立．(　　) (4)若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，都有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.8，0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为________． 解析：由题意目标未被击中的概率是(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02，所以目标被击中的概率为1－0.02＝0.98. 答案：0.98 3．已知一种节能灯使用寿命超过10 000 h的概率为0.95，而使用寿命超过12 000 h的概率为0.9，则已经使用了10 000 h的这种节能灯，使用寿命能超过12 000 h的概率为________． 解析：由题意，设该节能灯使用寿命超过10 000 h为事件A，则事件A的概率为P(A)＝0.95，设该节能灯使用寿命超过12 000 h为事件B，则事件B的概率为P(B)＝0.9，则P(AB)＝0.9.由条件概率的计算公式可得P(B|A)＝. 答案： 4．现有8道四选一的单选题，小明同学对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率只有0.25.小明同学从这8道题中随机选择1题，则小明做对该题的概率为_______． 解析：设事件A表示小明“答对”，事件B表示“小明选到有思路的题”，则小明从这8道题中随机选1题，他答对该题的概率为P(A)＝P(B)PP＝0.75×0.9＋0.25×0.25＝0.737 5. 答案：0.737 5 5．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为________． 解析：记目标被命中为事件A，甲命中目标为事件B，乙命中目标为事件C， P(A)＝1－P＝1－0.4×0.5＝0.8， 所以目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为P(C|A)＝. 答案： 题型一　相互独立事件的概率 角度1　事件相互独立性的判断 【例1】　(2021·新课标Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　 ) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 解析：选B.事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝，事件丁发生的概率P(丁)＝. 事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误； 事件甲与事件丁同时发生的概率为，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确； 事件乙与事件丙同时发生的概率为，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误； 事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误． 角度2　相互独立事件的概率 【例2】　(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)．(　　 ) A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3 D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 解析：选ABD.对于A，依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正确； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1和1，1，1这4个事件的和，它们互斥，所求的概率为β(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故C错误； 对于D，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5，因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′，故D正确． 思维升华　求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积． (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 【对点练习】　1.(1)(多选)甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签．其中，甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签6；事件C：抽取的两个号签和为3；事件D：抽取的两个号签编号不同．则下列选项中，正确的是(　　 ) A．P(AB)＝ B．P(C)＝ C．事件A与事件C相互独立 D．事件A与事件D相互独立 解析：选ABD.对于A，事件A，B相互独立，P(AB)＝P(A)P(B)＝，A正确； 对于B，样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，共18种，事件C包括(1，2)，(2，1)2种情况，P(C)＝，B正确； 对于C，由P(AC)＝≠＝P(A)P(C)，得事件A，C不相互独立，C错误； 对于D，由P(AD)＝＝P(A)P(D)，得事件A，D相互独立，D正确． (2)(2024·成都诊断)甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制(当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束)，则甲获胜的概率为________． 解析：甲获胜的情况分三类： ①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为； ②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为； ③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为. 故甲获胜的概率为. 答案： 题型二　条件概率 角度1　条件概率 【例3】　某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加该市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲同学被选出，则乙同学也被选出的概率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.法一(缩样法)　根据题意可知，相当于从除甲以外的5人中选3人的概率，所以P＝. 法二(基本事件法)　设“甲同学被选出”记为事件A，“乙同学被选出”记为事件B，则n(AB)＝＝6，n(A)＝＝10，所以P(B|A)＝. 法三(定义法)　设“甲同学被选出”记为事件A，“乙同学被选出”记为事件B，则P(AB)＝，P(A)＝＝. 角度2　条件概率性质的应用 【例4】　(多选)(2024·武汉模拟)设分别为随机事件A，B的对立事件，已知0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列说法正确的是(　　 ) A．P＝1 B．P＝0 C．若A，B是相互独立事件，则P(A|B)＝P(A) D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)＝P(B) 解析：选AC.P＝＝1，故A正确； 当A，B是相互独立事件时，则P＝2P(B)≠0，故B错误； 因为A，B是相互独立事件，则P(AB)＝P(A)P(B)，所以P(A|B)＝＝P(A)，故C正确； 因为A，B是互斥事件，P(AB)＝0，则根据条件概率公式P(B|A)＝0，而P(B)∈(0，1)，故D错误． 角度3　乘法公式的应用 【例5】　经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么该射击运动员两次均击中9环的概率为(　　 ) A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75 解析：选C.设该射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”为事件B，由题意得P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.8，所以该射击运动员两次均击中9环的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.8＝0.48. 思维升华　条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝ 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 【对点练习】　2.(1)(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　 ) A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 解析：选A.令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰， 则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5， P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4， 所以P(C)＝P(A|B)＝＝0.8. (2)(多选)甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“从甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则(　　 ) A．P(A)＝ B．P(B|A)＝ C．P(B)＝ D．P(A|B)＝ 解析：选ACD.对于A，∵甲罐中有3个红球、2个黑球，∴P(A)＝，故A正确； 对于C，记A1表示事件“从甲罐取出的球是黑球”，则P(A1)＝.当A发生时，乙罐中有3个红球，2个黑球，此时B发生的概率为， 当A1发生时，乙罐中有2个红球，3个黑球， 此时B发生的概率为， ∴P(B)＝，故C正确； 对于B，∵P(AB)＝， ∴P(B|A)＝，故B不正确； 对于D，P(A|B)＝，故D正确． 题型三　全概率公式及其应用 【例6】　(1)(2024·石嘴山模拟)一堆苹果中大果与小果的比例为9∶1，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.记事件A1：放入水果分选机的苹果为大果，事件A2：放入水果分选机的苹果为小果， 记事件B：水果分选机筛选的苹果为“大果”， 则P(A1)＝，P(A2)＝＝＝， 由全概率公式可得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝， P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝， 因此，P(A1|B)＝. (2)(2023·天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________． 解析：法一　设A＝“从甲盒子中取一个球是黑球”，B＝“从乙盒子中取一个球是黑球”，C＝“从丙盒子中取一个球是黑球”， 由题意可知P(A)＝40%＝，P(B)＝25%＝，P(C)＝50%＝. 现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝； 设D1＝“取到的球是甲盒子中的”，D2＝“取到的球是乙盒子中的”，D3＝“取到的球是丙盒子中的”，E＝“取到的球是白球”，由题意可知P(D1)＝，P(D2)＝，P(D3)＝＝1－＝1－＝1－， 所以P(E)＝P(D1E＋D2E＋D3E)＝P(D1E)＋P(D2E)＋P(D3E)＝P(D1)P(E|D1)＋P(D2)P(E|D2)＋P(D3)P(E|D3)＝. 法二　设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5，4，6，其中甲盒子中黑球的个数为2，白球的个数为3；乙盒子中黑球的个数为1，白球的个数为3；丙盒子中黑球的个数为3，白球的个数为3. 则从三个盒子中各取一个球，共有5×4×6种结果，其中取到的三个球都是黑球有2×1×3种结果，所以取到的三个球都是黑球的概率为； 将三个盒子中的球混合在一起共有5＋4＋6＝15(个)球，其中白球共有3＋3＋3＝9(个)， 所以混合后任取一个球，共有15种结果，其中取到白球有9种结果，所以混合后任取一个球，是白球的概率为. 答案： 思维升华　利用全概率公式求解概率的步骤 【对点练习】　3.(1)(2024·上海卷)某校举办科学竞技比赛，有A、B、C 3种题库，A题库有5 000道题，B题库有4 000道题，C题库有3 000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是______． 解析：由题意知，A、B、C题库的比例为5∶4∶3, 各占比分别为， 则根据全概率公式知所求正确率p＝×0.92＋×0.86＋×0.72＝0.85. 答案：0.85 (2)某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道A类试题，8道B类试题，12道C类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对A，B，C这3类试题的概率分别为.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是B类试题的概率为________． 解析：设“学生选1道A类试题”为事件A，“学生选1道B类试题”为事件B，“学生选1道C类试题”为事件C，“学生答对试题”为事件D， 则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝＝＝＝， 所以P(D)＝， 所以P(B|D)＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $