10.4 随机事件与概率（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学讲义围绕随机事件与概率专题，覆盖样本空间、事件关系、古典概型、概率性质及频率估计概率等高考核心考点，按“必备知识-必记结论-基点诊断-题型突破”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导（如事件关系辨析、古典概型计数）、真题训练（含2024全国甲卷等例题），帮助学生构建概率问题分析框架。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如通过“互斥与对立事件辨析实例”“古典概型树状图计数”等活动，发展学生逻辑推理与抽象能力。设置基点诊断（基础检测）、题型例题（方法示范）、对点练习（高考真题）分层训练，保障复习效率，助力教师精准把控节奏，提升学生概率综合应用与应考能力。

10．4　随机事件与概率 [课标要求]　1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系．　2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算．　3.理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率．　4.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则．　5.结合实例，会用频率估计概率． 【必备知识】 1．有限样本空间与随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本空间：一般地，将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间，记作Ω. ②样本点：样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点，记作ω. ③有限样本空间：如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间. (2)随机事件 ①定义：将一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件． ②表示：常用A，B，C等表示． ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 2．两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B 至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，A∪B＝Ω 3.古典概型 (1)古典概型的定义 一般地，若试验E具有如下特征： ①有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限，即样本空间Ω为有限样本空间； ②等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等. 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型. (2)古典概型的概率公式 对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)==. 4．概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 5．概率与频率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 【必记结论】 1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件． 2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(　　 ) (2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　 ) (3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　 ) (4)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”．则下列结论中正确的是(　　 ) A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥 C．A与B相等 D．P(A)＝P(B) 解析：选D.样本空间可表示为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，A包含的样本点：(正，正)，(正，反)，B包含的样本点：(正，反)，(反，反)，所以P(A)＝，P(B)＝，故P(A)＝P(B)． 3．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则(　　 ) A．A∪B表示向上的点数是1或3或5 B．A＝B C．A∪B表示向上的点数是1或3 D．A∩B表示向上的点数是1或5 解析：选A.设A＝{1，3}，B＝{1，5}，则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，5}，∴A≠B，A∩B表示向上的点数是1，A∪B表示向上的点数为1或3或5. 4．抛掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数相等的概率是________． 解析：抛掷两枚质地均匀的骰子，所有基本事件为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共有36种，两个点数相等的基本事件为：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，共有6种，所以两个点数相等的概率是P＝. 答案： 5．从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方片”，P(A)＝P(B)＝，设C＝“抽到红花色”，则P(C)＝___________； 设D＝“抽到黑花色”，则P(D)＝________． 解析：因为C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝P(A)＋P(B)＝. 因为C与D互为对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－. 答案： 题型一　随机事件及关系 角度1　随机事件间关系的判断 【例1】　(1)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是(　　 ) A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少有一个红球；都是白球 D．至多有一个红球；都是红球 解析：选B.对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件； 对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件； 对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件； 对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件． 角度2　利用互斥、对立事件求概率 【例2】　某商场的有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)1张奖券的中奖概率； (2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解：(1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C. ∵A，B，C两两互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝. 故1张奖券中奖的概率为. (2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N， 则事件N与事件“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件， ∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 思维升华　事件关系的运算策略 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式． 【对点练习】　1.(1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的有(　　 ) A．A⊆D B．B∩D＝∅ C．A∪B＝B∪D D．A∪C＝D 解析：选ABD.用(x1，x2)表示试验的射击情况，其中x1表示第1次射击的情况，x2表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，则样本空间Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}． 由题意得，A＝{(1，1)}，B＝{(0，0)}，C＝{(0，1)，(1，0)}，D＝{(0，1)，(1，0)，(1，1)}，则A⊆D，A∪C＝D，且B∩D＝∅，即A，B，D都正确； 又B∪D＝Ω，A∪B＝{(0，0)，(1，1)}≠Ω，所以A∪B≠B∪D，故C不正确． (2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示． 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. ①确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； ②估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率． 解：①由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20. 则顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为×(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10)＝1.9(分钟)． ②记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟” “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟” “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，则可估计概率约为P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， 因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝， 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率约为. 题型二　随机事件的频率与概率 【例3】　 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率； (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径． 解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， 用频率估计相应的概率为P＝＝0.44. (2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为 所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站． 由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0＋0.1＋0.4＝0.5. ∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1. 同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0＋0.1＋0.4＋0.4＝0.9. ∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2. 思维升华　计算简单随机事件的频率或概率的步骤 (1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数； (2)由频率公式得所求，由频率估计概率． 【对点练习】　2.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40] 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表中数据可知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6. 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时， 若最高气温低于20 ℃，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100； 若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300； 若最高气温不低于25 ℃，则Y＝450×(6－4)＝900， 所以利润Y的所有可能值为－100，300，900. Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃， 由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8. 因此Y大于零的概率的估计值为0.8. 题型三　古典概型 【例4】　(1)(2024·湖北省十一校联考)在“2，3，5，7，11，13，17，19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.这8个素数中，任取2个不同的数，有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(2，11)，(2，13)，(2，17)，(2，19)，(3，5)，(3，7)，(3，11)，(3，13)，(3，17)，(3，19)，(5，7)，(5，11)，(5，13)，(5，17)，(5，19)，(7，11)，(7，13)，(7，17)，(7，19)，(11，13)，(11，17)，(11，19)，(13，17)，(13，19)，(17，19)，共28个样本点，这两个数之和仍为素数的样本点有(2，3)，(2，5)，(2，11)，(2，17)，共4个，所以这两个数之和仍为素数的概率是. (2)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选B.画出树状图： 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为. 思维升华　古典概型中求样本点个数的三种方法 【对点练习】　3.(1)(2022·新课标Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有＝21(种)不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，故所求概率P＝. (2)(2024·山东临沂模拟)阿基米德多面体是由两种或三种正多边形面组成的半正多面体．它共有13种，其特点是棱长相等．如图①所示，顺次连接棱长为2的正方体各棱的中点，得到一个阿基米德多面体，如图②所示，在此阿基米德多面体的所有棱中任取两条，则两条棱垂直的概率为________． 解析：此阿基米德多面体共有24条棱，任取2条，共有＝12×23＝276(种)取法．两条棱垂直有两类情况：①都来自同一个正方形：6×4＝24(种)；②来自对面的两个正方形：3×8＝24(种)．故所求概率为P＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $