8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系高考核心考点，按必备知识（定义、公式）、必记结论（切线方程、弦长公式等）、题型分类（位置判断、切线弦长、最值问题）构建知识体系。通过考点梳理、方法指导（几何法与代数法）、真题训练（含新课标卷例题）等环节，帮助学生系统突破难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义特色在于融合数学思维与实战应用，如切线问题中对比几何法（距离公式）与代数法（方程联立）培养逻辑推理能力，弦长问题结合直角三角形模型提升直观想象。设置基点诊断、例题精讲、分层练习三级训练，配合即时反馈，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

8．4　直线与圆、圆与圆的位置关系 [课标要求]　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．　2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 【必备知识】 1．直线与圆的位置关系 圆心到直线的距离为d，半径为r. 位置关系 相交 相切 相离 图形 量化 几何观点 d<r d＝r d>r 方程观点 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 2.圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝(r1>0)，O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝(r2>0)． 位置关系 圆心距d与半径的关系 公切线条数 相离 d>r1＋r2 4 外切 d＝r1＋r2 3 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 2 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 1 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 0 3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2． (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝＝. 【必记结论】 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．切线长公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝. 3．两圆相交时公共弦的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 设C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，　② 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线的方程可由①－②得到，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0. 4．圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数； (2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　 ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　 ) (3)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系为(　　 ) A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 解析：选A.圆O1：x2＋y2＝1的圆心为O1(0，0)，半径为r1＝1. 圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的圆心为O2(2，0)，半径为r2＝. |O1O2|＝2，r2－r1<|O1O2|<r2＋r1，所以两圆相交． 3．直线2x－y＋2＝0被圆(x－1)2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________． 解析：圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝2，圆心到直线的距离d＝，所以弦长l＝. 答案： 4．已知圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值是________． 解析：设⊙O1：x2＋y2＝1，⊙O2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25， 故O1(0，0)，r1＝1，O2(－4，a)，r2＝5. (1)当两圆外切时，|O1O2|＝r1＋r2， 即＝6，解得a＝±2. (2)当两圆内切时，|O1O2|＝|r1－r2|， 即＝4，解得a＝0. 综上所述，a的值为±2或0. 答案：±2或0 5．已知圆C的方程为x2＋(y－3)2＝4，则过点P(2，－1)的圆C的切线方程为____________． 解析：当过点P的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2， 圆心C(0，3)到直线x＝2的距离为2，此时直线x＝2与圆C相切． 当过点P的圆C的切线的斜率存在时，设切线方程为y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0，则圆心C(0，3)到切线的距离为＝2，解得k＝－， 所以切线方程为－x－y－2×－1＝0，即3x＋4y－2＝0. 综上所述，切线方程为x＝2或3x＋4y－2＝0. 答案：x＝2或3x＋4y－2＝0 题型一　直线与圆的位置关系 【例1】　(1)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　　 ) A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切 解析：选C.方法一　直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1，2)． 因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1，2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交． 方法二　圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1，0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为≤2<3，所以直线与圆相交． (2)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 解析：A(－2，3)关于y＝a对称的点的坐标为A′(－2，2a－3)，B(0，a)在直线y＝a上， 所以A′B所在直线即为直线l，所以直线l为y＝x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0； 圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－3，－2)，半径r＝1， 依题意圆心到直线l的距离d＝≤1， 即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得，即a∈. 答案： 思维升华　判断直线与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：求出圆心到直线的距离，利用d与r的大小关系判断； (2)代数法：联立方程后利用解的情况判断． 【对点练习】　1.(1)若直线＝1与圆x2＋y2＝1相交，则(　　 ) A．<1 B．>1 C．a2＋b2<1 D．a2＋b2>1 解析：选B.由直线＝1，可化为bx＋ay－ab＝0，因为直线bx＋ay－ab＝0与圆x2＋y2＝1相交，可得<1，整理得a2＋b2>a2b2，所以>1. (2)已知直线l：y＝kx与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，则“0<k<”是“直线l与圆C相交”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1可得圆心(2，1)，半径为1，所以直线l与圆C相交⇔圆心(2，1)到直线l：kx－y＝0的距离d＝<1，解得0<k<，所以“0<k<”是“直线l与圆C相交”的充分不必要条件． 题型二　圆的切线、弦长问题 角度1　切线问题 【例2】　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　 ) A. 1 B． C． D． 解析：选B.因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2，0)，半径r＝， 过点P(0，－2)作圆C的切线，设切点为A，B， 因为|PC|＝＝， 可得sin ∠APC＝，cos ∠APC＝， 则sin ∠APB＝sin (2∠APC)＝2sin ∠APCcos ∠APC＝2×， cos ∠APB＝cos (2∠APC)＝cos2∠APC－sin2∠APC＝2－2＝－＜0， 即∠APB为钝角， 所以sinα＝sin (π－∠APB)＝sin ∠APB＝. (2)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于________． 解析：已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴， 又圆心C(3，1)，半径r＝3， 所以直线l过圆心C(3，1)， 故3＋a－1＝0，即a＝－2，所以点A(－1，－2)， |AC|＝＝5， |AB|＝＝4. 答案：4 思维升华　解决直线与圆相切问题的策略 角度2　弦长问题 【例3】　(1)(多选)已知直线l：kx－y＋2k＝0和圆O：x2＋y2＝r2，则(　　 ) A．存在k使得直线l与直线l0：x－2y＋2＝0垂直 B．直线l恒过定点(2，0) C．若r>4，则直线l与圆O相交 D．若r＝4，则直线l被圆O截得的弦长的取值范围为 解：选AC.A：当k＝－2时，直线l：－2x－y－4＝0，即2x＋y＋4＝0，斜率为－2，与直线l0：x－2y＋2＝0垂直，故A正确； B：直线l：kx－y＋2k＝k(x＋2)－y＝0，恒过(－2，0)，故B不正确； C：圆心到直线的距离为d＝<4，则d<2，若r>4，则直线l与圆O相交，故C正确； D：r＝4，则直线l被圆O截得的弦长d1＝2，k2＋1≥1，0<≤4，则12<12＋≤16，所以弦长4<d1≤8，故D不正确． (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值______． 解析：由条件知圆心C(1，0)，点C到直线l：x－my＋1＝0的距离d＝， |AB|＝2. 由△ABC的面积为，得＋2＝0， 解得m＝±2或m＝±，不妨取m＝2. 答案：2(答案不唯一，可以是± ，±2中的任意一个) 思维升华　直线被圆截得的弦长的两种求法 (1)几何法：运用弦心距d，半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2； (2)代数法：解直线与圆的方程组成的方程组，计算弦长|AB|＝. 角度3　最值问题 【例4】　(1)已知点A，B在直线l：x－2y－2＝0上运动，且|AB|＝2，点C在圆(x＋1)2＋y2＝5上，则△ABC的面积的最大值为(　　 ) A．8 B．5 C．2 D．1 解析：选A.设圆心到直线的距离为d，C到直线的距离为d1， 又圆心坐标为(－1，0), 则d＝， 又半径为，则当d1最大时，d1＝d＋，此时△ABC面积也最大，S△ABC＝＝8. (2)若直线l1：x＋my－2＝0与l2：mx－y＋2＝0(m∈R)相交于点P，过点P作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝1的切线，切点为M，则|PM|的最大值为________． 解析：直线l1：x＋my－2＝0过定点A(2，0)，直线l2：mx－y＋2＝0过定点B(0，2)． 显然这两条直线互相垂直，因此P在以AB为直径的圆上，设该圆的圆心为D，显然点D的坐标为(1，1)，所以该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，由圆的切线性质可知：|PM|＝ ＝，所以. 答案： 【对点练习】　2.(1)直线l过点(0，2)，被圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0截得的弦长为2，则直线l的方程是(　　 ) A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2 C．y＝2 D．y＝x＋2或y＝2 解析：选D.因为直线l被圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，所以圆心到直线距离为＝1，设直线l的方程为y＝kx＋2(斜率不存在时不满足题意)，则＝1.∴k＝0或k＝ ，即直线l的方程是y＝x＋2或y＝2. (2)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为________． 解析：圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C(1，1)，半径r＝1， 如图，连接PC， 因为S四边形PACB＝2S△PAC＝2×＝|AP|＝， 所以求S四边形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圆心到直线3x＋4y＋8＝0的距离d，即d＝＝3，即四边形PACB面积的最小值为. 答案：2 题型三　圆与圆的位置关系 【例5】　(1)(多选)已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是(　　 ) A．C1与C2的公切线恰有4条 B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0 C．C1与C2相交弦的弦长为 D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12 解析：选BD.由已知得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝4，|C1C2|＝＝5，r2－r1<d<r1＋r2，故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，故A错误； 作差可得C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0，C1到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为2，故B正确，C错误； 若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12，故D正确． (2)(2022·新课标Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程____________． 解析： 设圆x2＋y2＝1的圆心O(0，0)，半径为r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心C(3，4)，半径r2＝4，则|OC|＝5＝r1＋r2，因此两圆外切． 由图象可知，共有三条直线符合条件，显然x＋1＝0符合题意； 又由方程(x－3)2＋(y－4)2＝16和x2＋y2＝1相减可得方程3x＋4y－5＝0，即为过两圆公共切点的切线方程； 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x－3y＝0，直线OC与直线x＋1＝0的交点为，设过该点的直线为y＋＝k(x＋1)，则＝1，解得k＝，从而该切线的方程为7x－24y－25＝0. 答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＝－1(填一条即可) 【对点练习】　3.(1)(2024·四川遂宁模拟)若圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：(x－5)2＋(y－3)2＝30－m有且仅有3条公切线，则m＝(　　 ) A．14 B．28 C．9 D．－11 解析：选A.圆C1：(x－1)2＋y2＝1的圆心C1(1，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－5)2＋(y－3)2＝30－m的圆心C2(5，3)，半径r2＝， 因为圆C1与圆C2有且仅有3条公切线，所以两圆外切，则|C1C2|＝r1＋r2，即解得m＝14. (2)(2024·长沙联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________． 解析：圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0， 则圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1， 则圆C是以C(4，0)为圆心，1为半径的圆． 若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点， 则圆心C到直线y＝kx－2的距离d≤2， 即≤2，解得0≤k≤， 即k的最大值为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $