4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学高考复习教案围绕任意角、弧度制及三角函数概念核心考点，按定义分类、公式应用、终边关系的逻辑架构梳理知识，通过必备知识清单、必记结论归纳、基点诊断检测、题型精讲及对点练习环节，帮助学生系统突破概念辨析与综合应用难点。 资料以数学眼光借助单位圆构建三角函数定义理解，通过题型变式和分层训练培养数学思维，如例2用基本不等式解决扇形周长最值，强化运算与推理能力。设置即时反馈练习，助力学生高效建立知识网络，为教师把控复习进度提供清晰教学路径。

4．1　任意角和弧度制、三角函数的概念 [课标要求]　1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．　2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 【必备知识】 1．任意角 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制 (1)定义：在单位圆中，把长度等于半径的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝rad；1 rad＝ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝＝ 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α，＝tan α(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． (3)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 【必记结论】 1．象限角 2．轴线角 3．若角α∈，则sin α<α<tan α. 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　　) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．－660°等于(　　) A．－π rad B．－π rad C．－π rad D．－π rad 解析：选C.－660°＝－660× rad＝－π rad. 3．下列各角中，与－457°是同一象限角的是(　　) A．600° B．520° C．－190° D．－380° 解析：选A.－457°是第三象限角，600°是第三象限角，520°是第二象限角，－190°是第二象限角，－380°是第四象限角． 4．已知角θ的终边过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选D.|OP|＝＝13，∴sin θ＝，cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝－. 5．已知扇形的圆心角为2 rad，半径为5 cm，则此扇形的面积为________． 解析：扇形面积S＝r2＝×2×52＝25 cm2. 答案：25 cm2 题型一　角及其表示 【例1】　(1)(2024·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B．是第三象限角 C．＋α是第二象限角 D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上 解析：选D.因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误；对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，的终边在第一象限；当k为奇数时，的终边在第三象限，所以是第一或第三象限角，B错误；对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误；对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上，D正确． (2)已知角θ在第二象限，且＝－sin ，则角在(　　) A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C.∵角θ是第二象限角，∴θ∈，k∈Z，∴∈(，kπ＋)，k∈Z，∴角在第一或第三象限．又＝－sin ，∴sin ＜0，∴角在第三象限． 思维升华　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． (2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置． 【对点练习】　1.(1)如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为____________． 解析：终边落在射线OA上的角的集合是{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合是{γ|γ＝k·360°＋105°，k∈Z}，所以终边落在阴影部分(含射线OA，不含射线OB)的角的集合是{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}． 答案：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z} (2)－2 025°角是第__________象限角，与－2 025°角终边相同的最小正角是__________，最大负角是________. 解析：因为－2 025°＝－6×360°＋135°， 所以－2 025°角的终边与135°角的终边相同． 所以－2 025°角是第二象限角，与－2 025°角终边相同的最小正角是135°. 又135°－360°＝－225°， 故与－2 025°角终边相同的最大负角是－225°. 答案：二　135°　－225° 题型二　弧度制及其应用 【例2】　(1)已知一扇形的圆心角α＝，半径R＝10 cm，则此扇形的弧长为____cm，面积为____cm2. 解析：由已知得α＝，R＝10 cm， 所以l＝αR＝(cm)， S扇形＝(cm2)． 答案： [变式]　若本例(1)条件不变，求扇形的弧所在弓形的面积． 解：S弓形＝S扇形－S三角形＝·R2·sin (cm2)． (2)在面积为定值9的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径为______． 解析：设半径为r，扇形弧度为α，则周长为(2＋α)r， ∵扇形面积为定值9， ∴αr2＝9，即α＝，则周长为2r＋， 由基本不等式得2r＋＝12，当且仅当r＝3时，等号成立，∴所求半径为3. 答案：3 思维升华　应用弧度制解决问题的策略 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 【对点练习】　2.(1)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是(　　) A． B．2π＋2 C． D．2π－2 解析：选D.由已知得，则AB＝BC＝AC＝2，故扇形的面积为，弓形AB的面积为，∴所求面积为3＋×22＝2π－2. (2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　) A． B． C．3 D． 解析：选D.如图， 等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形， 则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂足为M， 在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝， ∴AM＝r，∴l＝r， 由弧长公式得α＝. 题型三　三角函数的定义及应用 【例3】　(1)(2024·北京模拟)在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点P，则cos 2α等于(　　) A．－ B．± C． D． 解析：选A.∵在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点P，∴sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝－. (2)(多选)(2024·衢州质检)若sinx cos x>0，sin x＋cos x>0，则可以是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选AC.因为sin x cos x>0，sin x＋cos x>0， 所以sin x>0，cos x>0， 故x是第一象限角， 由2kπ<x<2kπ＋，k∈Z， 得kπ<<kπ＋，k∈Z， 当k为偶数时，是第一象限角， 当k为奇数时，是第三象限角． 思维升华　(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标． (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 【对点练习】　3.(1)(2024·重庆市模拟)角α终边上有一点P(m，2)，则“cos α＝－”是“m＝”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.角α终边上有一点P(m，2)，cos α＝<0，解得m＝－，所以“cos α＝－”是“m＝－”的充要条件． (2)若sin αtan α<0，且>0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选B.由sin αtan α<0，知α是第二象限或第三象限角，由>0，知α是第一象限或第二象限角，所以角α是第二象限角． 学科网（北京）股份有限公司 $