2.14 函数模型的应用（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

2．14　函数模型的应用 [课标要求]　1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及一元一次函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．　2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用． 【必备知识】 1．指数、对数、幂函数模型的性质比较 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与 y轴平行 随x的增大逐渐表现为与 x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，使得当x>x0时，有logax<xn<ax [提醒]　易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性． 2．几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　 ) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　 ) (3)不存在x0，使ax0<<logax0.(　　 ) (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　　 2．针对下列一组实验数据，用下列四个函数拟合最符合的一个是(　　 ) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1) C．y＝log2x D．y＝ 解析：选B.由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合． 3．某商场规定：顾客购物总金额不超过800元时，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800时，那么超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算． 可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过500元的部分 5% 超过500元的部分 10% 某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为y＝若y＝30元，则他购物实际所付金额为________元． 解析：若x＝1 300，则y＝5%(1 300－800)＝25＜30，因此x＞1 300.由10%(x－1 300)＋25＝30，得x＝1 350(元). 答案：1 350 4．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是_______________． 解析：日销售金额y＝(－t＋35)(t＋10)＝－，∵t∈N，∴t＝12或13时，ymax＝506. 答案：506 题型一　用函数图象刻画变化过程 【例1】　(1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是(　　 ) A．首次服用1单位该药物，约10 min后药物发挥治疗作用 B．每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2 h时，一定会产生药物中毒 C．首次服用1单位该药物，约5.5 h后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用1单位该药物，3 h后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒 解析：选ABC.从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10 min后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1 h后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2 h时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5 h时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物4 h后与再次服用1单位该药物1 h后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误． (2)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律(　　 ) A．y＝mx2＋n(x＞0) B．y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1) C．y＝max＋n(m＞0，a＞1) D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，a≠1) 解析：选B.由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m＞0，0＜a＜1. 思维升华　判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 【对点练习】　1.(1)(人教A版必修一P155)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法： ①浮萍每月的增长率为1； ②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2； ③浮萍每月增加的面积都相等； ④若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的说法是(　　 ) A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 解析：选C.∵图象过点(1，2)，∴a1＝2，即a＝2，∴y＝2t，∴＝1，∴每月的增长率为1，①正确； 当t＝5时，y＝25＝32>30，②正确； 第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，③错误； ∵2＝2t1，3＝2t2，6＝2t3，∴t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26，∴t1＋t2＝log22＋log23＝log26＝t3，④正确． (2)(2024·内蒙古赤峰一模)在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是(　　 ) 解析：选D.对于A，点P在第一条边上时，y＝x，但点P在第二条边上运动时，y随x的增大先减小(减到最小时y即为三角形的第二条边上的高的长度)，然后再增大，对比图象可知，A错误； 对于B，y与x的函数图形一定不是对称的，B错误； 对于C，一开始y与x的关系不是线性的，C错误； 对于D，因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为a， 点P在第一条边上时(即0≤x≤a时)，y＝x， 点P在第二条边上运动时(即a≤x≤2a时)，y＝，依然单调递增， 点P在第三条边上运动时(即2a≤x≤3a时)，y＝，单调递减， 点P在第四条边上运动时(即3a≤x≤4a时)，y＝4a－x，单调递减， 且已知y与x的图象关于x＝2a＝(其中l＝4a)对称，D正确． 题型二　已知函数模型的实际问题 【例2】　(1)(2024·广东茂名一模)Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：f(x)＝kab－x(其中k>0，b>0，a为参数).某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a＝e.若x＝1表示该新产品今年的年产量，估计明年(x＝2)的产量将是今年的e倍，那么b的值为(e为自然数对数的底数)(　　 ) A． B． C．－1 D．＋1 解析：选A.由a＝e，得到f(x)＝， ∴当x＝1时，f(1)＝；当x＝2时，f(2)＝. 依题意，明年(x＝2)的产量将是今年的e倍，得＝＝e，∴＝1，即b2＋b－1＝0，解得b＝， ∵b>0，∴b＝. (2)(2024·河北沧州模拟)某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为2.25 g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21 g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型rn＝r0＋(r1－r0)·30.25n＋t(t∈R，n∈N*)，其中r0为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.65 g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为(　　 ) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48 ) A．12 B．13 C．14 D．15 解析：选D.由题意知r0＝2.25 g/m3，r1＝2.21 g/m3， 当n＝1时，r1＝r0＋(r1－r0)×30.25＋t，故30.25＋t＝1，解得t＝－0.25， 所以rn＝2.25－0.04×30.25(n－1). 由rn≤0.65，得30.25(n－1)≥40，即0.25(n－1)≥， 得n≥＋1≈14.33 ，又n∈N*， 所以n≥15， 故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为15. 思维升华　已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 【对点练习】　2.(1)(2024·陕西安康模拟)若一段河流的蓄水量为v m3，每天水流量为k m3，每天往这段河流排r m3的污水，则t天后河水的污染指数m(t)＝＋(m0为初始值，m0>0).现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的，需要的天数大约是(　　 ) (参考数据：ln 7≈1.95) A．98 B．105 C．117 D．130 解析：选C.由题意可知：r＝0，＝60，所以m(t)＝＋， 设约t天后，河水的污染指数下降到初始值的，即m0， 所以－t＝ln ⇒t＝60ln 7≈60×1.95＝117. (2)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05 mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度μ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位：天)近似满足函数关系式μ(t)＝＋0.05(λ∈R)，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(　　 ) (参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6) A．32天 B．33天 C．34天 D．35天 解析：选C.依题意可知当t＝0时，μ(t)＝6.05， 即6.05＝＋0.05，解得λ＝6， 所以μ(t)＝＋0.05， 由μ(t)＝＋0.05≤0.1，得， 即－≤ln ，即≥ln 120＝3ln 2＋ln 3＋ln 5≈3×0.7＋1.1＋1.6＝4.8，所以t≥33.6， 又t∈N，所以tmin＝34， 故至少需要放置的时间为34天． 题型三　构建函数模型解实际问题 【例3】　(2024·文山模拟)汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9). 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3 距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝ m (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？ 解：(1)根据题意，d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋＝30＋v＋(0≤v≤33.3). (2)根据题意，对任意的k∈[0.5，0.9]，d<90恒成立，即对任意的k∈[0.5，0.9]，30＋v＋<90恒成立． 易知当v＝0时，满足题意； 当0<v≤33.3时，有<对任意的k∈[0.5，0.9]恒成立， 由k∈[0.5，0.9]，得∈， 所以， 即v2＋10v－600<0，解得－30<v<20， 所以0<v<20. 综上，0≤v<20. 所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s以下． 思维升华　构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解． (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 【对点练习】　3.(1)(2024·福建福州模拟)当药品A注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少，另一种药物B注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少．现同时给两位患者分别注射800 mg药品A和500 mg药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为(　　 ) (参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) A．0.57 h B．1.36 h C．2.58 h D．3.26 h 解析：选C.设经过t小时后两位患者体内药品的残余量恰好相等，由题意得800×(1－25%)t＝500×(1－10%)t，整理得， 两边取常用对数得t lg ＝lg ，即t(lg 5－lg 6)＝lg 5－lg 8，即t(1－2lg 2－lg 3)＝1－4lg 2， 所以t＝，即t≈≈2.58， 所以大约经过2.58 h时，两位患者体内药品的残余量恰好相等． (2)(2024·江西南昌模拟)酒驾最新标准规定：100 ml血液中酒精含量达到20 mg的驾驶员即为酒后驾车，达到80 mg及以上认定为醉酒驾车．如果某驾驶员酒后血液中酒精浓度为1.2 mg/ml，从此刻起停止饮酒，血液中酒精含量会以每小时25 %的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？(　　 ) (参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选B.由1.2(1－25%)t<0.2，即<，两边取对数可得t>＝6.224， 故至少经过7个小时才能驾驶． 学科网（北京）股份有限公司 $