2.13 函数与方程的综合应用（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦函数与方程综合应用这一高考核心考点，系统梳理零点分布求值（范围）、多个零点的和（积）、复合函数零点三大题型，按角度细分考点内在联系。通过题型解读明确考查要求，例题精讲提炼方法，方法指导总结规律，对点练习巩固提升，形成完整复习链条，助力学生突破压轴题难点。 资料突出新课标核心素养导向，以数学眼光观察函数图象与零点关系，用数学思维构建零点问题逻辑推理框架。创新设计“换元法分析复合函数零点”等教学活动，如将复合函数零点转化为内外层函数交点问题，配合分层练习实现高效突破。既提升学生用数学语言表达解题思路的能力，也为教师精准把控复习节奏提供清晰路径。

2．13　函数与方程的综合应用 [题型解读]　函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置． 题型一　由零点分布求值(范围) 角度1　二次函数的零点分布 【例1】　(1)(人教B版必修一P141)如果关于x的方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0的两根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则实数a的取值范围是________． 解析：设f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2，方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0的两根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则有 即 解得－2<a<－1或3<a<4， 故a的取值范围是(－2，－1)∪(3，4)． 答案：(－2，－1)∪(3，4) (2)(2024·河北石家庄模拟)设函数f(x)＝－cos 2x＋a sin x＋a＋，若方程f(x)＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________． 解析：f(x)＝－(1－2sin2x)＋a sinx＋a＋＝3sin2x＋a sinx＋a＋3，x∈(0，π)，令sin x＝t，t∈(0，1]，h(t)＝3t2＋at＋a＋3.当0<t<1时，sin x＝t有两个不相等的实数根，当t＝1时，sin x＝t有且仅有一个实数根．因为方程f(x)＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，所以原问题等价于h(t)＝3t2＋at＋a＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根， 所以 解得－3<a<6－6. 答案： 方法指导　判断二次函数零点分布的依据 (1)开口方向； (2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系； (3)判别式，决定函数与x轴的交点个数； (4)区间端点值． 角度2　其他函数的零点分布 【例2】　已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0，1]时，f(x)＝－log2x.若函数F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值范围是(　　 ) A．[3.5，4) B．(3.5，4] C．(5，5.5] D．[5，5.5) 解析：选A.由f(2－x)＋f(x)＝0⇒f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，得f(x)是一个周期为2的奇函数， 当x∈(0，1]时，f(x)＝－log2x， 因此f＝－log2＝1，f(1)＝0， 所以f(0)＝0，f＝－1，f(－1)＝0， 且g(x)＝sin πx的周期为T＝＝2， 且g(－1)＝0，g＝－1，g(0)＝0，g＝1，g(1)＝0， 求F(x)＝f(x)－sin πx的零点个数，即求f(x)与g(x)图象的交点个数， 如图为f(x)与g(x)在区间[－1，1]的图象， 因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数， 因此交点也呈周期出现， 若在区间[－1，m]上有10个零点，则第10个零点坐标为(3.5，－1)，第11个零点坐标为(4，0)，因此3.5≤m<4. 【对点练习】　1.(1)已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是(　　 ) A．(－5，－4]∪[4，＋∞) 　 B．(－5，－4] C．(－5，＋∞) 　 D．[－4，－2)∪[4，＋∞) 解析：选B.方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧， 根据图象得，方程的判别式Δ≥0，f(2)>0，函数图象的对称轴－>2， 即解得－5<m≤－4. (2)(2023·四川成都联考)若关于x的方程9x－(a＋1)3x＋a2－1＝0有两个不相等的正根，则实数a的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.原方程可化为(3x)2－(a＋1)3x＋a2－1＝0，设t＝3x>1，则t2－(a＋1)t＋a2－1＝0有两个大于1的不等实数根t1，t2， 所以 解得<a<. 题型二　求函数多个零点的和(积)问题 【例3】　(1)(2024·贵州贵阳模拟)设方程3x·|log3x|＝1的两根为x1，x2(x1<x2)，则(　　 ) A．0<x1<1，x2>3 B．x1> C．0<x1x2<1 D．x1＋x2>4 解析：选C.由3x·|log3x|＝1可得|log3x|＝＝x， 在同一直角坐标系中同时画出函数y＝|log3x|和y＝ 的图象，如图所示， 因为 ＝＝log32> ＝， 由图象可知，0<x1<1<x2<2, 所以1<x1＋x2<3故A，D错误； log3(x1x2)＝log3x1＋log3x2＝， 因为x1<x2，所以， 所以log3(x1x2)<0， 所以0<x1x2<1，即x1<，故B错误，C正确． (2)(多选)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　 ) A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．1<x4<2 D．0<x1x2x3x4<1 解析：选BCD.由函数f(x)＝作出其函数图象： 由图可知，x1＋x2＝－2，－2<x1<－1，故A错误； 当y＝1时，|log2x|＝1，有x＝或2，所以<x3<1<x4<2，故C正确； 由f(x3)＝f(x4)，有|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3＋log2x4＝0，所以x3x4＝1，故B正确； x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1)，故D正确． 思维升华　求解函数多个零点的和(积)的值或范围，常常根据函数图象，借助函数的性质(如函数本身关于点的对称、直线的对称等)得到两个或多个变量的和(积)为常数，减少变量的个数来求解． 【对点练习】　2.已知函数f(x)＝函数y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则＝________． 解析：y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，即方程f(x)＝a有四个不同的解， 即y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个交点． 在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图所示， 由二次函数的对称性可得，x3＋x4＝4. 因为－1， 所以＝2，故. 答案： 题型三　复合函数的零点 角度1　复合函数的零点个数判定 【例4】　已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是(　　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B.令t＝f(x)，g(x)＝0， 则f(t)－2t＋1＝0，即f(t)＝2t－1， 分别作出函数y＝f(t)和直线y＝2t－1的图象，如图所示， 由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2， 则t1＝0，1<t2<2，对于t＝f(x)，分别作出函数y＝f(x)和直线y＝t2的图象，如图所示， 由图象可得，当f(x)＝t1＝0时，函数y＝f(x)与x轴有两个交点，即方程f(x)＝0有两个不相等的根， 当t2＝f(x)时，函数y＝f(x)和直线y＝t2有三个交点，即方程t2＝f(x)有三个不相等的根， 综上可得g(x)＝0的实根个数为5， 即函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是5. 角度2　根据复合函数零点求参数 【例5】　(2024·安徽合肥三模)设a∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(f(x))恰有5个零点，则实数a的取值范围为(　　 ) A．(－2，2) 　B．(0，2) C．[－1，0) D．(－∞，－2) 解析：选D.设t＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝2|x-1|－1，此时t≥0， 由f(t)＝0得t＝1，即f(x)＝2|x-1|－1＝1，解得x＝0或x＝2， 所以y＝f(f(x))在[0，＋∞)上有2个零点； x<0时，若a≥0，f(x)＝－x2＋ax，对称轴为x＝，函数y＝f(x)的大致图象如图， 此时f(x)＝－x2＋ax<0，即t<0，则f(t)<0， 所以f(t)＝0无解，则t＝f(x)无零点，y＝f(f(x))无零点， 综上，此时y＝f(f(x))只有两个零点，不符合题意； 若a<0，此时f(x)的大致图象如图， 令－t2＋at＝0，解得t＝a<0(t＝0舍去)， 显然f(x)＝a在(－∞，0)上存在唯一负解， 所以要使y＝f(f(x))恰有5个零点， 需f>1，即－>1，解得a<－2， 所以a∈(－∞，－2)． 思维升华　对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下： (1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)； (2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1，2，3，…，n)； (3)确定直线u＝ui(i＝1，2，3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an. 【对点练习】　3.已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2的零点个数为(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B.由g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2＝0，得f(x)＝2或f(x)＝－＝12x2－12x＝12x(x－1)，所以当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝4－6＋1＝－1.又x＜0时，f(x)＝ex，画出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2的零点个数为3. 学科网（北京）股份有限公司 $