1.5 基本不等式的综合应用（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

1．5　基本不等式的综合应用 [课标要求]　1.会求与基本不等式有关的恒成立问题．　2.理解基本不等式在实际问题中的应用．　3.掌握基本不等式在其他知识中的应用． 题型一　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 【例1】　(1)已知x>0，y>0，且＝1，若2x＋y<m2－8m有解，则实数m的取值范围为(　　 ) A．(－∞，－1)∪(9，＋∞) B．(－∞，－1]∪[9，＋∞) C．(－9，－1) D．[－9，1] 解析：选A.因为x>0，y>0，且＝1， 所以2x＋y＝(2x＋y)＝9， 当且仅当，且＝1，即x＝y＝3时取等号，此时2x＋y取得最小值9， 若2x＋y<m2－8m有解，则9<m2－8m，解得m>9或m<－1， 即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． (2)“∀x∈(1，4]，不等式x2－mx＋m>0恒成立”的充分不必要条件是(　　 ) A．m>4 B．m< C．m<4 D．m<2 解析：选D.已知∀x∈(1，4]，由不等式x2－mx＋m>0恒成立，得>m恒成立， 因为＋2＝4， 当且仅当x－1＝，即x＝2时取等号， 所以m<4， 所以m<2是m<4的充分不必要条件． 思维升华　∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a. 【对点练习】　1.(1)若任意的x>0，不等式≥a恒成立，则实数a的取值范围为(　　 ) A．[5，＋∞) B．(5，＋∞) C．(－∞，5] D．(－∞，5) 解析：选C.令f(x)＝， 由题意可得a≤f(x)min， f(x)＝x＋＋3＝5， 当且仅当x＝，即x＝1时等号成立， a≤f(x)min＝5， 所以实数a的取值范围为(－∞，5]. (2)(2024·佛山模拟)若两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是________. 解析：因为正实数x，y满足4x＋y－xy＝0， 所以xy＝4x＋y≥2， 即≥4⇒xy≥16，当且仅当y＝4x时等号成立， 由xy≥m2－6m恒成立，可得16≥m2－6m，解得－2≤m≤8. 答案：[－2，8] 题型二　基本不等式的实际应用 【例2】　第33届奥运会于2024年7月在巴黎举办，某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格． (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？ 解：(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)， 供货单价为50＋＝52(元)， 总利润为5×(100－52)＝240(万元)． 所以能获得的总利润为240万元． (2)每套会徽及吉祥物售价为x元时，销售量为(15－0.1x)万套，供货单价为元，单套利润为x－50－， 因为15－0.1x>0，所以0<x<150， 所以单套利润为y＝x－50－＝－＋100≤100－2＝80， 当且仅当150－x＝10，即x＝140时取等号． 所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元． 【对点练习】　2.某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为________ cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)． 解析：设直角梯形的高为x cm， ∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝＋1 472，当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立． ∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少． 答案：12 题型三　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 【例3】　(1)在△ABC中，点D在线段BC上，且满足＝，点E为线段AD上任意一点．若实数x，y满足，则的最小值为(　　 ) A．2 B．4 C．4＋2 D．9＋4 解析：选D.因为＝， 所以， 由A，E，D三点共线可得x＋4y＝1，且x>0，y>0， 所以(x＋4y)＝9＋，当且仅当，即时取等号． (2)(2024·江苏南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是双曲线E：＝1的左，右焦点，设点P是E的右支上一点，则的最大值为________． 解析：双曲线E：＝1中a＝2，b＝，则c＝＝3， 设|PF1|＝m(m≥a＋c＝5)，|PF2|＝n(n≥c－a＝1)， 由双曲线的定义可得m－n＝2a＝4， 则(m－n)＝＝＝， 当且仅当，即n＝＋1>1，即m＝时取等号， 所以的最大值为. 答案： 【对点练习】　3.(2024·黑龙江哈尔滨三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，BC边上中线AD长为1，则bc最大值为(　　 ) A． B． C． D．2 解析：选A.由题意得∠ADB＋∠ADC＝π， 所以cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0， 又a＝，且D是BC的中点，所以DB＝DC＝， 在△ABD中，cos ∠ADB＝， 在△ADC中，cos ∠ADC＝， 所以cos ∠ADC＋cos ∠ADB＝＝0， 即b2＋c2＝，得2bc≤b2＋c2＝⇒bc≤，当且仅当b＝c＝取等号． 学科网（北京）股份有限公司 $