2.9 对数与对数函数（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

2．9　对数与对数函数 [课标要求]　1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．　2.了解对数函数的概念及其单调性与特殊点．　3.知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． 【必备知识】 1．对数的概念 (1)一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． (2)常用对数：以10为底的对数，记为lg_N． (3)自然对数：以e为底的对数，记为ln_N． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0，logaa＝1； ＝N； ③logaaN＝N(a>0且a≠1)． (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)； ＝loga． (3)换底公式 logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)． 3．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0) 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 【必记结论】 ．logab(a>0，且a≠1，b>0)； logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. 2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b，由此在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　　 ) (2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　 ) (3)log2x2＝2log2x.(　　 ) (4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　　 ) (5)函数f(x)＝loga是奇函数．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．对数lg a与lg b互为相反数，则有(　　 ) A．a＋b＝0 B．a－b＝0 C．ab＝1 D．＝1 解析：选C.由已知得lg a＋lg b＝0，即lg (ab)＝0，则ab＝1. 3．计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　 ) A．0 B．2 C．4 D．6 解析：选D.原式＝2log2 3×2log3 2＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6. 4．函数f(x)＝lg (x2－2x－3)的单调递增区间为(　　 ) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(3，＋∞) D．(1，3) 解析：选C.设g(x)＝x2－2x－3，可得函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又由函数y＝lg (x2－2x－3)满足x2－2x－3＞0，解得x＜－1或x>3，故函数f(x)＝lg (x2－2x－3)的单调递增区间是(3，＋∞)． 5．函数y＝loga(x－2)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________． 解析：∵loga1＝0，令x－2＝1，得x＝3，∴y＝loga1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3，2)． 答案：(3，2) 题型一　对数的运算 【例1】　(1)计算：－log5－log514＝________． 解析：原式＝2＝＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. 答案：2 (2)(2024·洛阳模拟)已知3a＝5b＝m，且＝1，则实数m的值为________． 解析：由3a＝5b＝m，可知m>0，显然m≠1. 则a＝log3m＝，b＝log5m＝， 所以， 由＝1， 可得＝logm45＝1， 所以m＝45. 答案：45 【对点练习】　1.(1)(2024·河南安阳模拟)已知正实数x，y，z满足3x＝4y＝ ，则(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.令3x＝4y＝z＝a，则x＝log3a，y＝log4a，z＝，故＝loga3，＝loga4，＝loga2，故＝loga12＝2loga . (2)(2024·全国甲卷)已知a>1且则a＝________． 解析：根据题意有，即3loga2－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－，解得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以＝2，所以a＝64. 答案：64 题型二　对数函数的图象及应用 【例2】　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　 ) A．0<a-1<b<1 B．0<b<a-1<1 C．0<b-1<a<1 D．0<a-1<b-1<1 解析：选A.由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1. 函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)， 由函数图象可知－1<logab<0， 解得<b<1. 综上，0<a-1<b<1. (2)当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数的图象如图所示，可知f<即2<loga，则a>，所以a的取值范围为. [变式1]　若将本例(2)中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则a的取值范围为________． 解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在上有交点．由图象可知解得0＜a≤，即a的取值范围为. 答案： [变式2]　将本例(2)变为：当0＜x≤时，＜logax，则实数a的取值范围为________． 解析：若＜logax在x∈上恒成立，则0＜a＜1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示，由图象知＜loga， 所以解得＜a＜1. 即实数a的取值范围是. 答案： 思维升华　对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【对点练习】　2.(1)若函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是(　　 ) 解析：选C.根据函数f(x)＝loga(x＋b)的图象，可得0<a<1，0<b<1，根据指数函数y＝a－x(0<a<1)的图象与性质，结合图象变换向下移动b个单位长度，可得函数g(x)＝a－x－b的图象大致为C选项． (2)已知函数f(x)＝|log3x|，若a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　　 ) A． B． C．[5，＋∞) D．(5，＋∞) 解析：选D. 画出f(x)＝|log3x|的图象如图所示， 因为a<b，且f(a)＝f(b)，所以－log3a＝log3b，故＝b，且0<a<1， 令y＝a＋4b，所以y＝a＋，由对勾函数的性质可知y＝a＋在(0，1)上单调递减，故y＝a＋>1＋＝5，故a＋4b的取值范围是(5，＋∞)． (3)(2024·广东广州调研)设x1，x2，x3均为实数，且＝lg x3，则(　　 ) A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x2＜x1＜x3 解析：选D.画出函数y＝，y＝ln x，y＝ln (x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，数形结合，知x2＜x1＜x3. 题型三　对数函数性质及应用 角度1　比较对数式的大小 【例3】　若a＝lg 0.2，b＝log32，c＝log64，则关于a，b，c的大小关系，下列说法正确的是(　　 ) A．c>b>a B．b>c>a C．c>a>b D．a>b>c 解析：选A.∵a＝lg 0.2<lg 1＝0，b＝log32>0，c＝log64>0，<1， ∴b<c，即c>b>a. 角度2　解对数方程或不等式 【例4】　(2024·湖州调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式的解集为___________________． 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可将＞＝log3，即2x－5＞8或0＜2x－5＜，解得x＞或＜x＜. 答案： 思维升华　简单对数不等式问题的求解策略 (1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． (2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论． (3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 角度3　对数函数性质的综合应用 【例5】　(1)设函数f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，则f(x)(　　 ) A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 解析：选D.由f(x)＝ln ，关于坐标原点对称， 又f(－x)＝ln |1－2x|－ln |－2x－1|＝ln |2x－1|－ln |2x＋1|＝－f(x)， ∴f(x)为定义域上的奇函数，故排除A，C； 当x∈时，f(x)＝ln (2x＋1)－ln (1－2x)， ∵y＝ln (2x＋1)在上单调递增，y＝ln (1－2x)在上单调递减， ∴f(x)在上单调递增，故排除B； 当x∈时，f(x)＝ln (－2x－1)－ln (1－2x)＝ln ＝ln ， ∵u＝1＋在上单调递减，f(u)＝ln u在(0，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减，故D正确． (2)(人教A版必修一P161)已知f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0且a≠1)． ①求F(x)＝f(x)＋g(x)的定义域； ②判断F(x)＝f(x)＋g(x)的奇偶性，并说明理由． 解：①令x＋1>0，得x>－1，∴f(x)定义域为(－1，＋∞)， 令1－x>0，得x<1，∴g(x)定义域为(－∞，1)， ∴F(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为(－1，1)． ②由题意得：F(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)＝loga(1－x2)，x∈(－1，1), ∴F(－x)＝loga(1－(－x)2)＝loga(1－x2)＝F(x)， ∴F(x)＝f(x)＋g(x)为定义在(－1，1)上的偶函数． 思维升华　求对数型复合函数单调性的步骤 一求 求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内 二判 判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0<a<1两种情况 判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性 【对点练习】　3.(1)设实数a>0，则“2a>2”是>0”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由2a>2，可得a>1. 由loga>0，可得loga>loga1， 所以或 解得a>1或0<a<. 因此“2a>2”是“loga>0”的充分不必要条件． (2)已知函数f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　 ) A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，0] 解析：选A.由题意得，x2－2x>0⇒x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)， 而函数y＝x2－2x的对称轴为x＝1， 所以函数y＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的原则，函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)， 又因为函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增， 所以a∈[2，＋∞)． (3)若函数f(x)＝loga有最大值，则a的取值范围为(　　 ) A． B． C． D．(1，2) 解析：选B.令t＝x2－2ax＋a－1， 根据复合函数的单调性，要使函数f(x)＝loga有最大值， 则函数t＝x2－2ax＋a－1有最小正值，且函数f(t)＝logat为减函数，可知0<a<1. 要使函数t＝x2－2ax＋－1有最小正值， 则Δ＝4a2－4<0，解得<a<2. 综上，a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $