2.8 指数与指数函数（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学讲义围绕指数与指数函数高考核心考点，按指数幂运算、指数函数概念图象及性质的逻辑层次系统梳理知识，通过必备知识清单、必记结论提炼、基点诊断检测，结合题型分类讲解和真题演练，帮助学生构建知识网络，突破运算化简、图象分析、性质应用等难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，如比较指数式大小时引导学生用中间量法、分类讨论发展推理能力，解不等式结合图象培养几何直观。融入2023全国甲卷等真题，设置分层练习配合方法总结，助力教师把控复习节奏，提升学生解题规范性和应考能力。

2.8 指数与指数函数 [课标要求]　1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．　2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．　3.能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 【必备知识】 1．指数 (1)n次方根与分数指数幂 ①a的n次方根：一般地，如果 xn＝a，那么x叫作a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. ②根式：式子叫作根式，这里n叫作根指数，a叫作被开方数． (2)根式的性质(n>1，且n∈N*) ①n＝a； ②n为奇数时， ＝a； ③n为偶数时， ＝|a|＝ (3)分数指数幂 正数的正分数指数幂 规定＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 正数的负分数指数幂 规定＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 (4)指数幂的运算性质 ①aαaβ＝aα＋β(a>0，α，β∈R)． ②(aα)β＝aαβ(a>0，α，β∈R)． ③(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α∈R)． 2．指数函数 (1)概念 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫作指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． (2)图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【必记结论】 1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象应抓住三个关键点：(0，1)，(1，a)，. 2．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大(小)． 3．指数函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1) ＝－4.(　　 ) (2)函数y＝－1的值域是(0，＋∞)．(　　 ) (3)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　 ) (4)n＝a.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　 2．设a>0，m，n是正整数，且n>1，下列式子：；②a0＝1；.其中正确的个数是(　　 ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选A.∵a＞0，m，n是正整数，且n＞1，∴，①正确，显然a0＝1，②正确，而，③正确． 3．已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　　 ) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b 解析：选C.因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a. 4．计算：＋(π－1)0－＝________． 解析：原式＝3＋1－3-2＝3-2＋1－3-2＝1. 答案：1 5．函数y＝2x+1的图象是(　　 ) 解析：选A.由y＝2x向左平移一个单位得到y＝2x+1，底数2>1，是增函数，所以A正确． 题型一　指数幂的运算 【例1】　 (1)(人教A版必修一P107)计算下列各式(式中字母均是正数)： ①； ②； ③. 解：＝4ab0＝4a. ②8＝m2n-3＝. ③－a. (2)计算：. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝. 思维升华　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 【对点练习】　1.(1)(多选)下列计算正确的是(　　 ) A． B．－0＝1 C． D．已知x2＋x-2＝2，则x＋x-1＝2 解析：选BC.对于A，≠，所以A错误； 对于－0＝－1＝1，所以B正确； 对于C，，所以C正确； 对于D，因为(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝4，所以x＋x-1＝±2，所以D错误． (2)(人教A版必修一P110)①已知10m＝2，10n＝3，则的值为_________； ②已知a2x＝3，则的值为_________． 解析：①原式＝. ②原式＝ ＝a2x－1＋a-2x＝3－1＋. 答案：①　② 题型二　指数函数的图象及应用 【例2】　　(1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是(　　 ) A．a<b 　　 B．若a<0，则b<a<0 C．|a|<|b| 　　 D．若0<a<log32，则ab<ba 解析：选BCD.如图，由指数函数的图象可知，0<a<b或者b<a<0，所以A错误，B，C正确； D选项中，0<a<log32⇒0<a<b<1，则有ab<aa<ba，所以D正确． (2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________． 解析：在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示． ∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点． ∴实数b的取值范围是(0，2)． 答案：(0，2) (3)(人教A版必修一P120)已知函数f(x)＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交． ①求该函数的解析式，并画出图象； ②判断该函数的奇偶性和单调性． 解：①由题意知，a＋b＝0，b＝2，∴a＝－2， ∴f(x)＝－2＋2， ∴f(x)＝图象如图． ②∵f(x)＝－2＋2， ∴f(－x)＝－2＋2＝－2＋2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数， 又f(x)＝ ∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数． 思维升华　指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除； (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到，特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 【对点练习】　2.(1) (多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b的取值范围可能为(　　 ) A．0<a<1，b<0 B．0<a<1，0<b≤1 C．a>1，b<0 D．a>1，0<b≤1 解析：选ABC. 若0<a<1，则函数y＝ax的图象如图所示， 要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b>0或－1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A，B正确； 若a>1，则函数y＝ax的图象如图所示，要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b>0，解得b<0，故C正确，D错误． (2)(2024·深圳质检)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个交点，则a的取值范围是________． 解析：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，保持x轴上及其上方的图象不变得到的． 当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不符合题意； 当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，即0＜a＜. 综上可知，a的取值范围是. 答案： 题型三　指数函数性质的应用 角度1　比较指数式的大小 【例3】　(1)(2024·苏州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是(　　 ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞c＞b 解析：选B.∵函数y＝0.3x在R上是减函数， ∴0＜0.30.7＜0.30.3＜0.30＝1， 又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，0.3＜0.7， ∴0＜0.30.3＜0.70.3，∴0＜a＜b＜1，而函数y＝1.2x是R上的增函数， ∴c＝1.20.3＞1.20＝1，∴c＞b＞a. (2)(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　　 ) A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 解析：选A.令g(x)＝－(x－1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x＝1， ∵＝，且>>， ∴>>， ∴g>g>g， 又y＝ex为增函数，故f>f>f，即b>c>a. 方法指导　比较指数式大小的四种方法 (1)直接法：当指数式的底数相同时，直接运用指数函数的单调性比较； (2)转化法：当指数式的底数不同时，利用幂的运算法则将底数化为相同； (3)中间量法：若指数式的底数不同且不能化为同底，可利用中间量“1”进行比较； (4)分类讨论法：当指数式的底数含参数时，需讨论底数与“1”的大小关系以确定单调性再比较． 角度2　解简单的指数方程或不等式 【例4】　(1)已知p：ax<1(a>1)，q：2x+1－x<2，则p是q的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.∵ax<1，当a>1时，y＝ax是增函数，∴p：{x|x<0}． 对于不等式2x+1<x＋2，作出函数y＝2x+1与y＝x＋2的图象，如图所示． 由图象可知，不等式2x+1<x＋2的解集为{x|－1<x<0}，∴q：{x|－1<x<0}． 又∵{x|－1<x<0}⊆{x|x<0}， ∴p是q的必要不充分条件． (2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． 解析：当a＜1时，41-a＝21，解得a＝；当a＞1时，2a－(1-a)＝4a-1，无解．故a的值为. 答案： 思维升华　(1)解指数方程的依据 af(x)＝ag(x)(a＞0，且a≠1)⇔f(x)＝g(x). (2)解指数不等式的思路方法 ①对于形如ax＞ab(a＞0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； ②对于形如ax＞b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解． 角度3　指数函数性质的综合应用 【例5】　已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)是奇函数． (1)求a的值； (2)若∀x∈[1，2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝， 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 即， 所以＝0， 即＋1＝0，解得a＝－1. (2)由(1)知a＝－1，所以f(x)＝－2x，x∈[1，2]， 所以， 所以m≥＋2x，x∈[1，2]， 令t＝2x，t∈[2，4]， 设y＝＋2x，则y＝t＋，t∈[2，4]， 由于y＝t＋在[2，4]上单调递增， 所以m≥4＋. 所以实数m的取值范围是. 思维升华　涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 【对点练习】　3.(1)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是(　　 ) A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0 解析：选D.∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb　(*)， 令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数， (*)式即为f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0. (2)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为________． 解析：当a>1时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递增， 由题意可得，f(2)－f(1)＝a2－a＝， 解得a＝或a＝0(舍去)； 当 0<a<1时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递减， 由题意可得，f(1)－f(2)＝a－a2＝， 解得a＝或a＝0(舍去)， 综上所述，a＝或 a＝. 答案：或 (3)(2024·泸州诊断)已知函数f(x)＝ex－，若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是________． 解析：因为f(x)＝ex－，定义域为R， f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)， 所以f(x)＝ex－为奇函数． 又因为f(x)＝ex－在R上为增函数， 所以f(a－2)＋f(a2)≤0⇒f(a－2)≤－f(a2)⇒f(a－2)≤f(－a2)， 即a－2≤－a2，则a2＋a－2≤0， 解得－2≤a≤1. 答案：[－2，1] 学科网（北京）股份有限公司 $