10.7 二项分布、超几何分布与正态分布（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

10．7　二项分布、超几何分布与正态分布 [课标要求]　1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．　2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．　3.了解服从正态分布的随机变量．借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征．　4.了解正态分布的均值、方差及其含义． 【必备知识】 1．两点分布 (1)定义：若随机变量X的分布列如下表所示： X 1 0 P p q 其中0<p<1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0—1分布或伯努利分布). (2)两点分布的均值和方差：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝p，DX=p(1－p). 2．伯努利试验与二项分布 (1)伯努利试验 ①伯努利试验：若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为1－p，则称这样的试验为伯努利试验. ②n重伯努利试验：一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n). 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p). 显然，两点分布是二项分布在参数n＝1时的特殊情况. (3)二项分布的均值和方差 若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)． 3．超几何分布 (1)定义：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}.其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布. (2)均值与方差 设随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则EX＝，DX＝. 4．正态分布 (1)概念：由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图所示，对应的分布密度函数解析式为：，x∈（-∞，+∞），其中实数μ，σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线. 正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型. (2)正态曲线的几何意义 如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X在区间(a，b］的概率可以用P(a<X≤b)来表示.它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间(a，b］对应的曲边梯形面积的值(如图所示). 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ>0)确定，记为X～N(μ，).其中EX＝μ，DX＝. (3)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交. ②曲线是单峰的，关于直线x=μ对称. ③曲线最高点位于x=μ处. ④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线. ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“高瘦”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散． (4)正态分布的3σ原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，)的随机变量X只取区间[μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，这在统计学中称为3σ原则． P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 4.． 【必记结论】 1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理． 2．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值EX＝，方差DX＝. 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．(　　 ) (2)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　 ) (3)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情况．(　　 ) (4)正态曲线落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外的部分对应事件的概率很小，接近于0.(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的均值EX＝(　　 ) A．2 B．1 C． D． 解析：选A.由题意可知，X～B，EX＝4×＝2. 3．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，则c＝________． 解析：随机变量X服从正态分布N(3，1)， ∵P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)， ∴＝3，∴c＝. 答案： 4．已知随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，且EX＝7，DX＝6，则p的值为________． 解析：由题意，得解得p＝. 答案： 5．学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，则P(X≤1)＝________. 解析：P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝. 答案： 题型一　n重伯努利试验与二项分布 【例1】　(1)(2024·湖南长沙三模)如图，在数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔1 s向左或向右移动一个单位，向右移动的概率为，共移动4 s，设随机变量X为移动4 s后质点的坐标． ①求移动4 s后质点的坐标为正数的概率； ②求随机变量X的分布列及数学期望． 解：①设4次移动后坐标为正为事件A，由题X＝－4，－2，0，2，4， 则P(A)＝P(X＝2)＋P(X＝4)， 由题P(X＝2)＝3×，P(X＝4)＝4＝， 所以P(A)＝. ②X的可能取值为－4，－2，0，2，4, 由(1)知P(X＝4)＝，P(X＝2)＝， 又P(X＝0)＝2×2＝， P(X＝－2)＝3＝， P(X＝－4)＝4＝， ∴分布列为 X 4 2 0 -2 -4 P ∴EX＝4×＋(－2)×＋(－4)×. (2)(人教A版选择性必修三P81)如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次．求下列事件的概率． ①质点回到原点； ②质点位于4的位置． 解：设质点向右移动的次数为X，又质点每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位， 共移动6次，且每次移动是相互独立，则X～. ①质点回到原点，则X＝3， P(X＝3)＝3·3＝， 所以质点回到原点的概率是. ②当质点位于4的位置时，则X＝5， P(X＝5)＝5·＝， 所以质点位于4的位置的概率是. 思维升华　二项分布问题的解题关键 (1)定型：①在每一次试验中，事件发生的概率相同． ②各次试验中的事件是相互独立的． ③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生． (2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． 【对点练习】　1. (2024·太原模拟)第22届世界杯足球赛在卡塔尔举办，各地中学掀起足球热．甲、乙两名同学进行足球点球比赛，每人点球3次，射进点球一次得50分，否则得0分．已知甲每次射进点球的概率为，且每次是否射进点球互不影响；乙第一次射进点球的概率为，从第二次点球开始，受心理因素影响，若前一次射进点球，则下一次射进点球的概率为，若前一次没有射进点球，则下一次射进点球的概率为. (1)设甲3次点球的总得分为X，求X的分布列和均值； (2)求乙总得分为100分的概率． 解：(1)设甲3次点球射进的次数为Y， 则Y～B， Y的可能取值为0，1，2，3，且X＝50Y， 则X的所有可能的取值为0，50，100，150. P(X＝0)＝P(Y＝0)＝，P(X＝50)＝P(Y＝1)＝，P(X＝100)＝P(Y＝2)＝，P(X＝150)＝P(Y＝3)＝， 所以X的分布列为 X 0 50 100 150 P EX＝0×＝100，(或EX＝E(50Y)＝50EY＝50×3×)． (2)设“乙第i次射进点球”为事件Ai(i＝1，2，3)， 则乙总得分为100分的事件为B＝A2A3. 因为A2A3互斥， 所以P(B)＝＝， 故乙总得分为100分的概率为. 题型二　超几何分布 【例2】　(2024·安庆模拟)乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、亲近自然、寻味乡愁的美好追求．某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表： 民宿点 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 普通型民宿 16 8 12 14 13 18 9 20 品质型民宿 6 16 4 10 11 10 9 12 (1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率； (2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数，求X的分布列和均值． 解：(1)由题可知这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于10间的有6家，品质型民宿和普通型民宿的房间均不低于10间的有4家． 记“这3家的普通型民宿的房间均不低于10间”为事件A，“这3家的品质型民宿的房间均不低于10间”为事件B， 则P(A)＝，P(AB)＝， 所以P(B|A)＝. (2)这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于15间的有3家， 故X的所有可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以EX＝0×. 【对点练习】　2.(2024·郑州调研)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列，并求EX． 解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”， 则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝. (2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝. 综上，X的分布列为 X 0 1 2 P 所以EX＝0×. 题型三　正态分布及其应用 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴为x＝μ； (2)标准差为σ； (3)分布区间． 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0. ·教考衔接· 链接高考·【例3】　(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则 P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 解析：选BC.由题意可知，X～N(1.8，0.12)，所以P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，P(X<1.9)≈0.841 3，所以P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，所以A错误，B正确．因为Y～N(2.1，0.12)，所以P(Y<2.2)≈0.841 3，P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.841 3－0.5＝0.341 3，所以P(Y>2)＝P(2<Y<2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.341 3＋0.5＝0.841 3>0.8(另解：P(Y>2)＝P(Y<2.2)≈0.841 3>0.8)，所以C正确，D错误． 教材溯源·(人教A版选择性必修三P86)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，通过统计相关数据后，发现坐公交车用时X和骑自行车用时Y都近似服从正态分布．绘制了概率分布密度曲线，如图所示，则下列哪种情况下，应选择骑自行车(　　 ) A．有26 min可用 B．有30 min可用 C．有34 min可用 D．有38 min可用 解析：选D.由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具． 根据X和Y的分布密度曲线图可知， P(X≤26)>P(Y≤26)，P(X≤30)>P(Y≤30)，P(X≤34)>P(Y≤34)，P(X≤38)<P(Y≤38)． 所以如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车． 【对点练习】　3.(1)(多选)(2024·泉州部分学校联考)已知某地区有20 000名同学参加某次模拟考试(满分为150分)，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(90，σ2)(σ>0)，则下列说法正确的是(　　 ) (参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) A．根据以上数据无法估计本次数学考试的平均分 B．σ的值越大，成绩不低于100分的人数越多 C．若σ＝15，则这次考试分数高于120的约有46人 D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90的概率为 解析：选BD.对于A，由题意知，数学考试成绩X的平均值为90，故A错误； 对于B，根据N(90，σ2)(σ>0)中标准差的意义，σ的值越大则高于90分低于100分的人数越少，所以成绩不低于100分的人数越多，故B正确； 对于C，当σ＝15时，P(X>120)＝[1－P(60≤X≤120)]≈×(1－0.954 5)＝0.022 75，故这次考试分数高于120的约有20 000×0.022 75＝455(人)，故C错误； 对于D，由数学考试成绩X近似服从正态分布N(90，σ2)(σ>0)知P(X>90)＝，由n重伯努利试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90的概率为＋，故D正确． (2)(2024·佛山模拟)佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X～N(800，σ2)，且P(X<801)＝0.6，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记Y表示800≤X<801的瓷砖片数，则EY＝_________________. 解析：因为X～N(800，σ2)，均值μ＝800，且P(X<801)＝0.6，所以P(800≤X<801)＝P(X<801)－P(X<800)＝0.6－0.5＝0.1，由题可得Y～B(10，0.1)，所以EY＝10×0.1＝1. 答案：1 学科网（北京）股份有限公司 $