2.2 函数的单调性与最值(一)（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学讲义紧扣函数单调性与最值高考核心考点，以定义为根基，性质为脉络，应用为导向构建知识体系，通过必备知识梳理、必记结论提炼、基点诊断检测、题型分类精讲等环节，帮助学生形成从概念理解到解题应用的完整认知链。 资料突出数学思维与数学语言培养，如通过定义法证明单调性引导学生经历严谨推理过程，用复合函数“同增异减”法则强化抽象能力，设置基础巩固与能力提升分层练习，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生解题与应试能力。

2．2　函数的单调性与最值(一) [课标要求]　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值．　2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义． 【必备知识】 1．函数单调性的定义 (1)单调函数的定义 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，I是定义域D上的一个区间：如果对于任意的x1，x2∈I，当x1＜x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 那么就称函数y=f(x)在区间I上单调递增 那么就称函数y=f(x)在区间I上单调递减 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是减函数 图示 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最大(小)值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 【必记结论】 1．(1)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (2)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 2．在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减． 3．复合函数y＝f[g(x)]的单调性判断方法：“同增异减”． 4．函数y＝f(x)满足∀x1，x2∈D，x1≠x2，>0(<0)⇔f(x)在D上单调递增(减)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　　 ) (2)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　 ) (3)因为y＝x与y＝ex都是增函数，所以y＝xex在定义域内为增函数．(　　 ) (4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)下列结论正确的有(　　 ) A．函数y＝|x|－1的单调递减区间是(0，＋∞) B．函数y＝－x在区间(0，＋∞)上单调递减 C．若y＝f(x)在区间I上单调递增，则函数y＝kf(x)(k<0)，y＝在区间I上都单调递减 D．若函数y＝f(x)满足∀x1，x2∈I，x1≠x2，>0(<0)，则能判定f(x)在区间I上的单调性 解析：选BD.对于A，函数y＝|x|－1的单调递减区间应为(－∞，0)，A错误； 对于B，y＝－x在(0，＋∞)上是减函数，B正确； 对于C，若y＝f(x)在区间I上单调递增，则∀x1，x2∈I，且x1<x2，有f(x2)－f(x1)>0，由此可推出k[f(x2)－f(x1)]<0(k<0)，即y＝kf(x)在区间I上单调递减，y＝在区间I上不一定单调递减，如f(x)＝x，I＝[－1，1]，所以y＝在区间I上不单调，且x＝0时没有意义，C错误； 对于D，>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(单调递减)，D正确． 3．已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，则函数的最大值为________，最小值为________． 解析：∀x1，x2∈[2，6]，且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝. 由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0， 于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 所以函数f(x)＝在区间[2，6]上单调递减， 因此，函数f(x)＝在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值．在x＝2时取得最大值，最大值是2；在x＝6时取得最小值，最小值是. 答案：2　 4．函数f(x)＝9x2＋的最小值为________. 解析：因为f(x)的定义域为[1，＋∞)，且y＝9x2与y＝在[1，＋∞)上均为增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9. 答案：9 5．函数f(x)＝的单调递增区间为__________________． 解析：由x2－2x－3>0得x<－1或x>3，故f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，又函数y＝x2－2x－3在(－∞，－1)上单调递减，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1) 题型一　确定函数的单调性(区间) 【例1】　(1)(2024·四川成都一模)已知函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(　　 ) A．(－2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，－2) 解析：选C.由函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减可知a＜0，∴g(x)＝a(x2－4x＋3)的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，∴g(x)的单调递增区间为(－∞，2). (2)(2024·湖南常德三模)已知奇函数y＝f(x)是定义域为R的连续函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则下列说法正确的是(　　 ) A．函数y＝f(x)＋x2在R上单调递增 B．函数y＝f(x)－x2在(0，＋∞)上单调递增 C．函数y＝x2f(x)在R上单调递增 D．函数y＝在(0，＋∞)上单调递增 解析：选C.因为y＝f(x)是奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，所以y＝f(x)在(－∞，0)上也为单调递增函数， 对于A：不妨令f(x)＝x，y＝f(x)＋x2＝x＋x2＝2－，所以y＝f(x)＋x2在单调递减，在单调递增，故A错误； 对于B：不妨令f(x)＝x，y＝f(x)－x2＝x－x2＝，所以y＝f(x)－x2在单调递增，在单调递减，故B错误； 对于C：y＝x2f(x)，其定义域为R， 又(－x)2f(－x)＝－x2f(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数， 取0<x1<x2，则，0<f(x1)<f(x2)，故f(x2)， 所以y1－y2＝f(x1)－f(x2)<0，则函数y＝x2f(x)在(0，＋∞)为递增函数； 所以函数y＝x2f(x)在(－∞，0)也为递增函数，且当x＝0时，y＝x2f(x)＝0， 所以y＝x2f(x)在R上单调递增，故C正确； 对于D：不妨令f(x)＝x，y＝，x≠0，由反比例函数的单调性可知y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，故D错误． 思维升华　求函数的单调区间和判断函数的单调性，应先求定义域．要在定义域内求单调区间和判断单调性，常用方法：①定义法；②导数法；③图象法；④性质法． 【对点练习】　1.(1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　 ) A． B． C．[1，＋∞) D． 解析：选B.g(x)＝x·|x－1|＋1＝画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递减区间为. (2)(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　 ) A．y＝x－ B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg (x＋1) 解析：选ACD.∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； ∵y′＝2－2sin x≥0，∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确； 函数y＝lg (x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确． 题型二　利用定义证明函数的单调性 【例2】　(人教A版必修一P86) 已知a＞0，函数f(x)＝x＋(x＞0)，利用定义法证明：函数f(x)在上单调递减，在上单调递增． 证明：任取x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝， 因为x1＞x2＞0，所以x1－x2＞0，x1x2＞0. 当x1，x2∈(0，]时，0＜x1x2＜a，所以x1x2－a＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在上单调递减； 当x1，x2∈[，＋∞)时，x1x2＞a， 所以x1x2－a＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)在[，＋∞)上单调递增． [变式]　本例变为：a＜0，函数f(x)＝x＋(x＞0)，用定义证明函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 证明：任取x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝， 因为x1＞x2＞0，所以x1－x2＞0，x1x2＞0. 因为a＜0，所以x1x2－a＞0， 所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 思维升华　利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2), 并通过因式分解、通分、配方等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号． (4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及单调性的定义判断单调性． 注意：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果一般写成几个因式乘积的形式． 【对点练习】　2.试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 解：方法一(定义法)　设－1<x1<x2<1， 因为f(x)＝， 所以f(x1)－f(x2)＝， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 方法二(导数法)　f′(x)＝. 故当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 对勾函数和飘带函数 对勾函数 飘带函数 形式 y＝ax＋(a>0，b>0) y＝ax－(a>0，b>0) 图象 性 质 奇偶性 奇函数 奇函数 单调性 增区间，；减区间， 增区间(－∞，0)，(0，＋∞) 渐近线 y＝ax和x＝0 x＝0 【典例】　(1)函数f(x)＝|x|－(x∈R)的图象不可能是(　　 ) 解析：选C.当m＝0时，f(x)＝|x|(x≠0)，选项A有可能； 当m＝1时，f(x)＝易得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，根据对勾函数图象易得在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，选项D有可能； 当m＝－1时，f(x)＝易得f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，选项B有可能，所以选项C不可能． (2)已知函数f(x)＝(a∈R)，方程f(x)＝4在[0，＋∞)有两个解x1，x2，记g(a)＝|x1－x2|，则下列结论正确的是(　　 ) A．函数f(x)的值域是[0，＋∞) B．若a＝－1，则f(x)的增区间为[－1，0)和[1，＋∞) C．若a＝4，则g(a)＝0 D．函数g(a)的最大值为4 解析：选B.当a＝1时，f(x)＝， f(－x)＝＝f(x)， 即f(x)为偶函数， 当x>0时，f(x)＝x＋， 则函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 由偶函数性质知f(x)min＝1＋＝2，故A错误； 当a＝－1时，f(－x)＝＝f(x)，则f(x)为偶函数， 当x∈(0，1)时，f(x)＝－x＋， 易知f(x)在(0，1)上单调递减， 当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x－， 易知f(x)在[1，＋∞)上单调递增， 由偶函数对称性知，f(x)的增区间为[－1，0)，[1，＋∞)，故B正确； 若a＝4时，f(x)＝， 令f(x)＝4时，则x1＝－2，x2＝2， 此时g(a)＝4，故C错误； 若a＝0时，f(x)＝|x|， 令f(x)＝4时，则x＝±4，g(a)＝8， 此时与函数g(a)的最大值为4矛盾，故D错误． 题型三　复合函数的单调性 【例3】　已知函数f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝f(5－x2)，试求g(x)的单调区间． 解：令u(x)＝5－x2，则u(x)在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，且u(0)＝5. f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． 即u(x)的单调性是以“0”为界来划分的，f(x)的单调性是以“1”为界来划分的，由此可确定g(x)的单调性． 令5－x2＝1，则x＝±2. x (－∞，－2] [－2，0] [0，2] [2，＋∞) u(x)＝5－x2 增 增 减 减 u (－∞，1] [1，5] [1，5] (－∞，1] f(u) 减 增 增 减 f(5－x2) 减 增 减 增 所以函数g(x)的单调递减区间是(－∞，－2]，[0，2]，单调递增区间是[－2，0]，[2，＋∞). 思维升华　求复合函数y＝f(g(x))的单调区间，一要注意先确定函数的定义域，二要利用外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，判断的依据是“同增异减”． 【对点练习】　3.(1)函数f(x)＝的单调递增区间为(　　 ) A． B．(0，1) C． 　 D． 解析：选A.令t＝，显然t＝在[0，＋∞)上单调递增． 又y＝t－t2＝－＋在上单调递增，由得，所以f(x)的单调递增区间是(也可写为). (2)(2024·唐山模拟)函数f(x)＝的单调递增区间为________． 解析：令t＝2x2－3x－2>0， 解得x>2或x<， 则f(x)的定义域为∪(2，＋∞)， 由f(t)＝在(0，＋∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间，再结合f(x)的定义域可知，f(x)的单调递增区间为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $